《2013高中数学 1-1 第1课时数列的概念同步导学案 北师大版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013高中数学 1-1 第1课时数列的概念同步导学案 北师大版必修5（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章数列本章概述课程目标1.双基目标（1）通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式） ，了解数列是一种特殊的函数；（2）通过实例，理解等差数列、等比数列的概念；（3）探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和的公式.在公式的推导过程中，通过观察、实验、猜想、归纳、类比、抽象、概括等过程，经过反思、交流，培养学生观察、分析、探索、归纳的能力，体会由特殊到一般，由一般到特殊的思想方法；（4）体会等差数列与一次函数，等比数列与指数函数的关系；（5）能在具体问题情境中，发现等差、等比数列模型，并能运用有关知识解决相应的问题.2.情感目标（1）通过本章学
2、习提高观察、分析、归纳、猜想的能力.（2） “兴趣是最好的老师” ，数列中的奥妙与趣味定会激发你去学习，去思考，去探索.（3）通过建立数列模型，以及应用数列模型解决实际问题的过程，培养学生提出、分析、解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础.重点难点重点：等差数列与等比数列的通项公式.前 n 项和公式及其应用，等差数列的性质及判定，等比数列的性质及应用.难点：等差数列、等比数列的性质及应用.方法探究1.结合实例，通过观察、分析、归纳、猜想，让学生经历数列概念、公式、性质的发现和推证过程，发现数列的递推公式，体会递推方法是给出数列和研究有关数列问题的重要方法.2.借
3、助类比、对比，体会数列是一种特殊的函数.经历类比函数研究数列，使用函数的思想方法解决数列问题，对比等差数列研究等比数列，对比一次函数、二次函数、指数函数研究等差数列、等比数列的过程 .3.引导学生收集有关资料，经历发现等差（等比）关系，建立等差数列和等比数列的模型的过程，探索它们的概念、通项公式、前 n 项和公式及其性质，体会它们的广泛应用.4.帮助学生不断发现、梳理和体验本章蕴含着的丰富的数学思想方法，设计适当的训练，进一步感受“观察、试验、归纳、猜想、证明”的方法和模型化思想，函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想，体验叠加、累乘、迭代、倒序相加、乘以公比错位相减等具体方法.本章注意问
4、题：（1）多结合实例，通过实例去理解数列的有关概念.数列与函数密切相关，多角度比较两者之间的异同，加深对两方面内容的理解.在解题或复习时，应自觉地运用函数的思想方法去思考和解决数列问题，特别是对等差数列或等比数列的问题.运用函数思想方法以及利用它所得到的许多结论，不仅可以深化对数列知识的理解，而且可使这类问题的解答更为快速、合理.（2）善于对比学习.学习等差数列后，再学等比数列时，可以把等差数列作为模型，从等差数列研究过2的问题入手，再探求出等比数列的相应问题，两相对照，可以发现，在这两种数列的定义、一般形式、通项形式、中项及性质中，用了一些相类似的语句和公式形式，但内容却不相同，之所以有这样
5、的区别，原因在于“差”与“比”不同.通过对比学习，加深了对两种特殊数列本质的理解，会收到事半功倍的效果.（3）要重视数学思想方法的指导作用.本章蕴含丰富的数学观点、数学思想和方法，学习时应给予充分注意，解题时多考虑与之相联系的数学思想方法.1数列第 1 课时数列的概念知能目标解读1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念.2.掌握并理解数列、数列通项公式、递推公式的概念，能区分项和项数，并能根据数列的前几项写出它的一个通项公式，能根据数列的递推公式写出数列的前几项.3.了解数列的分类.4.了解数列的表示方法：列表法、图像法、通项公式法、递推公式法.重点难点点拨重点：了解数列的概念和简单表示方法，
6、体会数列是反映自然规律的数学模型.难点：将数列作为一种函数去认识、了解.学习方法指导1.数列的定义(1)数列与数集是不同的，有序性是数列的基本属性.两组完全相同的数，由于排列的顺序不一样，就构成了不同的数列.因此用记号 an表示数列时，不能把 an看成一个集合，这是因为：数列 an中的项是有序的，而集合中的元素是无序的；数列 an中的数是可以重复的，即数列 an中可以有相等的项，如 1,1,2,2,，但集合中的元素是互异的；数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数以外的其他事物.(2)数列中的项的表示通常用英文字母加右下角标来表示，如 an.其中的右下角标 n 表示项的位置序号.(3
7、)an与 an是不同的概念， an表示数列 a1,a2,a3,an,，而 an仅表示数列的第 n 项.2.数列的项与项数数列的项与它的项数是两个不同的概念，数列的项是指出现在这个数列中的某一个确定的数 an，由于数列 an的每一项的序号 n 与这一项 an的对应关系可以看成序号集合到项的集合的函数，故数列中的项是一个函数值，即 f(n).而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是这个函数值 f(n)对应的自变量的值，即 n 的集合是自然数集（或其子集）.3.数列的分类判断一个数列是有穷数列还是无穷数列，应明确数列元素的构成以及影响构成元素的要素是有限还是无限的.4.通项公式(1)由于数列可看做是
8、定义域为正整数集 N+(或它的有限子集)的函数，数列中的各项为当自变量从小到大依次取值时，该函数所对应的一列函数值，所以数列的通项公式就是相应的函数解析式，项数 n 是相应的自变量.3(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用 1,2,3去替代公式中的 n 就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的项，如果是的话，是第几项.(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如 的近似值，精确到 1,0.1,0.01,0.001,0.0001,所构成的数列 1,1.4,1.41,1.414,1.4142，就没2有通项公式.注意：(1)一
9、个数列的通项公式不唯一，可以有不同的形式，如 an=(-1) n，可以写成 an=(-1) n+2，还-1( n 为奇数)可以写成 an= ，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列.1( n 为偶数),(2)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.如数列 2,4,8,根据有限项可以写成 an=2n，也可以写成 an=n2-n+2.只要符合已知前几项的构成规律即可.5.数列的递推公式(1)递推公式：如果已知数列的第 1 项(或前几项)，且从第二项（或第二项以后的某一项）开始的任一项an与它的前一项 an-1 (或前几项)间的关系可以
10、用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种重要方法.(2)关于递推公式及应用需注意的几个问题：通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映 an和 n 之间的关系，即 an是 n 的函数，知道任意一个具体的 n 值，通过通项公式就可以求出该项的值 an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个（或多个）相邻项之间的推导关系，不能由 n 直接得出 an.如何用递推公式给出一个数列用递推公式给出一个数列，必须给出“基础”数列 an的第 1 项或前几项；递推关系数列an的任一项 an与它的前一项 an-1 (或前几项)之间的关系，并且这个关系可以用一个公
11、式来表示.注意：(1)并不是任何数列都能写出通项公式或递推公式.(2)以后学习或研究的数列往往以递推公式的方式给出定义或提供信息.(3)根据数列的递推公式可求数列中的任一项.例如：设数列 an满足：a1=1，写出这个数的前 5 项.an=1+ (n1)1由题意可知 a1=1,a2=1+ =1+1=2,a3=1+ =1+ = ， a4=1+ =1+ = ， a5=1+ =1+ = .121331241358此数列前 5 项分别为：1，2， ， ， .58本例显示，递推公式和通项公式是反映数列构成规律的两个不同形式.递推公式反映的是相邻两项或几项4之间的关系，它虽然揭示了一些数列的性质，但要了解数
12、列的全貌，还需要进行计算，它的计算并不方便.而通项公式更注重整体性和统一性，利用通项公式可求出数列中的任意一项.知能自主梳理1.数列的概念（1）数列：一般地，按照一定排列的一列数叫做数列.（2）项：数列中的每个数都叫做这个数列的.（3）数列的表示：数列的一般形式可以写成 a1,a2,a3,an,简记为：.数列的第 1 项 a1也称 ， an是数列的第 n 项，叫数列的.2.数列的分类项数有限的数列叫作，项数无限的数列叫作 .3.数列的通项公式如果数列 an的第 n 项 an与 n 之间的函数关系可以用一个式子表示成 an=f(n)，那么式子叫作数列 an的.4.数列的表示方法数列的表示方法一般
13、有三种：、 、 .答案1.(1)次序(2)项(3) an首项通项2.有穷数列无穷数列3.通项公式4.列表法图像法解析法思路方法技巧命题方向数列的概念例 1下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？(1)0,1,2,3,4;(2)0,1,2,3,4;(3)0,1,2,3,4;(4)1,-1,1,-1,1,-1;(5)6,6,6,6,6.分析此类问题的解决，必须要对数列及其有关概念理解认识到位，结合有关概念及定义来解决.解析（1）是集合，不是数列；（2） 、 （3） 、 （4） 、 （5）是数列.其中（3） 、 （4）是无穷数列， （2） 、 （5）是有穷数列.变式应用 1下列
14、说法正确的是() A.数列 2,3,4 与数列 4,3,2 是同一数列B.数列 1,2,3 与数列 1,2,3,是同一数列C. 1,4,2, ， 不是数列35D.数列2 n-3与-1,1,3,5,不一定是同一数列答案D解析由数列的概念知 A 中的两个数列中的数虽然相同，但排列顺序不一样，B 中的两个数列前者为有穷数列，后者为无穷数列，故 A、B 均不正确，C 中显然是数列，D 中数列2 n-3是确定数列，通项公式5为 an=2n-3，但-1,1,3,5，前 4 项符合 an=2n-3,但后面的项不一定符合此规律，故不一定是同一数列.命题方向数列的通项公式例 2写出下面各数列的一个通项公式(1)
15、3,5,9,17,33,;(2) ， ， ， ，；3154638(3) ,2, ，8， ，;292(4) ， ， ， ，.1354742分析通过观察，找出所给出的项与项数 n 关系的规律，再写通项公式.解析(1)通过观察，发现各项分别减去 1，变为 2,4,8,16,32,其通项公式为 2n，故原数列的一个通项公式为 an=2n+1.(2)通过观察，发现分子部分为正偶数数列2 n，分母各项分解因式：13,35，57，79,为相邻奇数的乘积，即(2 n-1)(2n+1)，故原数列的一个通项公式为 an= .)12(3)由于在所给数列的项中，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数，再观察，在数列 ,21， ， ， ，中，分母为 2，分子为 n2，故 an= .24916252(4)数列中每一项由三部分组成，分母是从 1 开始的奇数列，其通项公式为 2n-1；分子的前一部分是从 2 开始的自然数的平方，其通项公式为( n+1) 2，分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为 n，综合得原数列的一个通项公式为 an= = .)(1说明在根据数列的前 n 项求数列的一个通项公式时，要注意观察每一项的特点.解题的注意力应集中到寻求数列的项与项数的关系上来，观察这几项的表示式中哪些部分是变化的，哪些部分是不变的，再探索各项中变化部分与对应的项数之
