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1、,雷纪刚,,北京信息科技大学 理学院（统计系）,第一章 预备知识第一节线性空间,定义、性质及例子基与维数基变换与坐标变换子空间和维数定理,一、线性空间的定义、性质及例子,定义 设V 是一个非空集合，F 是一个数域（实数域或复数域），在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，即对于任意两个元素 与 ，在V中都有惟一的一个元素 与它们对应，称为 与 的和，记为 ；在数域F 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，对于F中任一个数k与V 中任一元素 ，在V 中都有惟一的一个元素 与它们对应，称为k与 的数量乘积，记为 若加法与数量乘法满足下述八条规则，那么V 称为数域F上的线性空
2、间,加法满足下面四条规则：,数量乘法满足下面两条规则：,数量乘法与加法满足下面两条规则：,当F 为实数域时，V 称为实空间；当F 为复数域时，V 称为复空间,(3) 判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则不能构成线性空间,说明,(2) 凡满足八条规律的加法及数乘运算，称为线性运算,(1) 线性空间不能离开某一数域来定义实际上，对于不同数域，同一个集合构成的线性空间会不同，甚至一种能成为线性空间而另一种不能成为线性空间,(1) 零元素是唯一的,线性空间的性质,(2) 负元素是唯一的,(4) 如果 ，则 或 .,若将上例中的 C 全换成 R
3、 ，则可得到 n 维实坐标向量空间，记作 ,和 是最常用的两个线性空间,同样，为一个实线性空间,定义,二、基与维数,向量组线性无关等价于,当且仅当 时成立,定理1,定义4 设S 是线性空间V 上的子集，如果S 的任意有限子集都线性无关，且V 的任何向量均可被S 表出，则称S 是V 的基,定理2 如果线性空间V 的基S 恰含n 个向量，则V 的任何基都恰含n 个向量,有上述性质的线性空间为有限维线性空间，n 为空间的维数，即作dimV=n ,定理3 n 维线性空间中任何n 个线性无关的向量都是线性空间的一组基,（1）只含有零向量的线性空间称为0维线性空间，因此它没有基,说明,（4）若向量组 是线
4、性空间 的一个基，则 可表示为,（2）若把线性空间V 看作向量组，那末V 的基就是向量组的最大无关组，维数就是向量组的秩.,（3）线性空间的基不惟一.,例7,注意 线性空间V 的任一元素在不同的基下所对应的坐标一般不同，但一个元素在一组基下对应的坐标是唯一的,例8 如果将复数集合C 看作数域C 上的线性空间，那么数1就是它的一组基，所以它是一维线性空间；如果将复数集合C 看作实数域上的线性空间，那么数1和i 就是它的一组基，这时空间是二维的空间的维数与所考虑的数域有很大的关系,三、基变换与坐标变换,问题：同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何改变呢？,在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都可以作为V的一组基对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的,由基向量的线性无关性，得坐标变换公式,解题思路 先求基变换公式，再求坐标变换公式,解 设,所以,定义5设V 是域F上的线性空间，W是V 的一个非空子集，若W 中的向量对于V 中所定义的加法和数乘运算也构成F上的一个线性空间，则称W为V的子空间,四、子空间和维数定理,定理4设V 是域F上的线性空间，W是V 的一个非空子集，则W 是V 的一个子空间的充分必要条件为W对于V中的线性运算封闭,1、子空间,定理5S、U是V的两个子空间,定义6,定理6,（和空间）,（交空间）,2、维数定理,
