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1、第一章 行列式线性代数的特点是这些内容联系非常紧密。不但后面的知识用到前面的知识，而且有时前面的知识也用到后面的一些结论。因此，把它们串在一起学习，同学们会发现线性代数是1 条主线，2 种运算，3 个工具。 即：一条主线是方程组；二种运算是求行列式和求矩阵的初等行（列）变换；三个工具是行列式，矩阵，向量（组） 。行列式的核心考点是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。另外，用简单的递推公式求行列式的方法也应掌握。【大纲内容】行列式的概念和基本性质；行列式按行（列）展开定理。【大
2、纲要求】了解行列式的概念，掌握行列式的性质。会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。【考点分析】考研试题中关于行列式的题型主要是填空题,纯粹考行列式的题目很少，但行列式是线性代数中必不可少的工具，它在处理以下问题中都有重要应用：1.判定方阵是否可逆以及应用公式 求逆矩阵；2.判定 n 个 n 维向量的线性相关性；3.计算矩阵的秩；4.讨论系数矩阵为方阵的线性方程组的解的情况并利用克莱姆法则求方程组的解；5.求方阵的特征值；6.判定二次型及实对称矩阵的正定性。同时，上述内容也可与行列式知识相结合构造新的关于行列式的题型。在复习过程中，请大家注意及时归纳总结。相应知识点精讲一、行列
3、式的定义1.行列式的形式： 个数排列成 n 行、n 列，组装成一个正方形，两边画两根竖线，即形如： ，称为一个 n 阶行列式。其中数 称为行列式的元素，横排的一行元素 称为行列式的第 i 行，自上而下计序，共有 n 行。竖排的一列元素称为行列式的第 j 列，自左向右计序，共有 n 列。自左上角到右下角倾斜的一列元素 称为行列式的主对角线，自右上角到左下角倾斜的一列元素称为行列式的次对角线或副对角线。2.行列式的值：行列式的数学属性是一个数，称为该行列式的值。当一个行列式的元素给定后，该行列式的值可通过特定的运算，从其元素计算得到。例如：（1）一阶行列式 的值规定即为其元素 本身，即 。（2）二
4、阶行列式 ，即二阶行列式 的值等于其主对角线元素的乘积减去次对角线元素的乘积。我们常常称之为二阶行列式的对角线法则。【例 1】计算下列行列式的值： 。答疑编号：21201101 针对该题提问 【解】 。3.行列式的定义：即： 个数构成的 n 阶行列式等于所有取自不同行与不同列元素乘积的代数和。一共有 项，一半带负号，一半带正号。其中 为任意一个 n 级排列，为 n 级排列 的逆序数。我们知道 n 级排列一共有 种。4.五个特殊行列式的值下面介绍五个特殊行列式的值。（1）如果一个行列式中有一行或一列的元素全为 0，则此行列式的值为 0。（2）如果一个行列式中有两行（两列）所有对应元素都成比例，则
5、该行列式等于 0.特别地，如果一个行列式中有两行（两列）相同，则该行列式等于 0。（3）形如 的行列式称为上三角形行列式，其特点是主对角线下面的元素全为 0。上三角形行列式的值等于其主对角线上所有元素的乘积，即：（4）形如 的行列式称为下三角形行列式，其特点是主对角线上面的元素全为 0。下三角形行列式的值也等于其主对角线上所有元素的乘积，即：（5）形如 的行列式称为对角形行列式，其特点是主对角线上面和下面的元素全为 0。对角形行列式的值也等于其主对角线上所有元素的乘积，即：【例 2】计算下列行列式的值：（1）答疑编号：21201102 针对该题提问 （2）答疑编号：21201103 针对该题提
6、问 （3）答疑编号：21201104 针对该题提问 解：（1） =0（2） =40（3） =0二、行列式的性质性质 1.转置性质：行列式的行和列互换，其值不变。这个性质说明行列式中行和列的地位是相当的，对称的。通常，人们把一个行列式的第 i 行元素依次写成第 j 列（ ）的元素，所得的新的行列式称为原行列式的转置行列式。如果原行列式记作 D，则其转置行列式记作 。由性质 1 知， 。例如：设行列式 ，则其转置行列式，显然 。性质 2.互换性质：行列式的两行（两列）互换，其值变号.也就是说，交换行列式两行（两列）的所有对应位置上的元素，所得的新的行列式的值等于原行列式的值的相反数。例如：已知 ，
7、显然，性质 3.数乘性质：若行列式的某行（某列）有公因子 k，则可把公因子 k 提到行列式外面。即： 若把上述等式反过来看，即：，也可认为：数 k 与一个行列式的乘积等于在该行列式的某一行或某一列中各元素乘以 k。性质 4.倍加性质：把行列式某行（某列）的所有元素的 k 倍，加到另一行（另一列）的相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值。【例 3】计算下列行列式的值： 。答疑编号：21201105 针对该题提问 解：本题可分成三步进行计算。第一步：利用性质 4 可知，将原行列式 的第 2 列的所有元素的-1 倍，加到第四列的相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值，即。第二
8、步：再将新行列式 的第 2 行的所有元素的-1 倍，加到第四行的相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值，即。第三步：将新行列式 的第 1 行的所有元素的-1 倍，加到第四行的相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值，即（因为，如果一个行列式中有一行或一列的元素全为 0，则此行列式的值为 0）综上所述，原行列式 。性质 5.加法性质：如果行列式有某行（列）的所有元素均可写成两个加数的和，即该行（列）有两个分行（分列） ，则这个行列式等于两个行列式的和，而这两个行列式分别以这两个分行（分列）为该行（列） ，其他行（列）与原行列式相同。抽象的性质，如：设【例 4】计算下列行列式
9、的值： 。答疑编号：21201106 针对该题提问 【解】分析发现，第二列元素均为三位数，但均接近于百位整数。所以利用性质 5 计算比较方便。典型例题剖析【考点一】行列式按行、按列展开公式为：【例 5】n 阶行列式 。答疑编号：21201107 针对该题提问 解：按第一列展开可得【考点二】形如 的行列式称为范德蒙行列式。范德蒙行列式的特点是：其每列元素 按 的升幂排列，构成一个等比数列，第二行的元素分别为每列元素的公比，且第一行元素为 1. 范德蒙行列式的值为【例 6】计算四阶行列式 。答疑编号：21201108 针对该题提问 解：根据范德蒙行列式得：【例 7】计算四阶行列式 （其中 均不为0
10、）答疑编号：21201109 针对该题提问 解：把第一列提出 ，第二列提出 ，第三列提出 ，第四列提出 ，D=【考点三】形如 的行列式称为三对角形（三斜线形）行列式。三对角形行列式的特点是沿主对角线方向三列元素不为零，其余元素均为零。对于这类三对角形行列式通常可用递推法。【例 8】五阶行列式 的值为。答疑编号：21201110 针对该题提问 递推公式 ，移项得可得： =【考点四】形如 的行列式称为箭形、爪形或扇形行列式，其特点是行列式中主对角线上的元素和第一行、第一列上的元素不为零，其余元素均为零。对于箭形、爪形或扇形行列式，可用主对角线上的元素化其为上（下）三角形行列式进行计算。【例 9】计
11、算 n 阶行列式答疑编号：21201201 针对该题提问 解：第二列乘以 加到第一列上得第三列乘以 加到第一列上得：最后一列乘以 加到第一列上得【考点五】计算含子块的四分块的分块矩阵的行列式：掌握简化行列式运算的两个重要公式：设 A 是 m 阶方阵，B 是 n 阶方阵，则（1） ；（2） 。【例 10】四阶行列式 的值等于（）（A）（B）（C）（D）答疑编号：21201202 针对该题提问 解：=正确答案：D【考点六】若行列式中含有变量 x，则该行列式展开后成为关于 x 的多项式，可考查该多项式的次数、零点等问题。【例 11】设多项式则 p(x)的次数至多是（） 。（A）1（B）2 （C）3（
12、D）4答疑编号：21201203 针对该题提问 解：正确答案：A【考点七】计算代数余子式线性组合的值：1.行列式元素的余子式和代数余子式：在行列式 中，取元素 ，其中 表示位于该行列式中第 i 行、第 j 列的一个元素，我们去掉 所在的第 i 行和第 j 列的所有元素，把剩余的 个元素按其原来的位置关系组装成一个新的n-1 阶行列式，记作 ，并称其为原行列式中元素 的余子式。因为在该行列式中一共有 个元素，每个元素都有一个余子式，所以这个 n 阶行列式一共有 个余子式. 如果在元素 的余子 之前加上符号，则称其为元素 的代数余子式，记作。将 两边都乘以 得，因此， 。2.行列式元素的代数余子式
13、的性质和特点：设行列式（1） 和 的大小无关；（2） （称为行列式按第 i 行展开） 。（称为行列式按第 j 列展开） 代数余子式的这个性质称为行列式的按行按列展开定理或行列式的按行按列展开公式.显然，行列式可按任何一行展开，也可按任何一列展开。（3） 。这表示行列式一行的元素分别与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为 0。（4）利用行列式按行按列展开公式计算代数余子式的代数和的方法：替换法。所谓替换法实质上就是将行列式按行按列展开公式反过来使用，我们去掉代数余子式 所在的第 i 行的所有元素，换成代数余子式 前面的系数 ，其余元素不变，按其原来的位置关系组装成一个新的 n 阶行列式，即。【
14、例 12】计算行列式 中第一行各元素的余子式 和代数余子式。答疑编号：21201204 针对该题提问 ， ， ，【例 13】设 4 阶行列式 ，求 。答疑编号：21201205 针对该题提问 = =0【例 14】已知 5 阶行列式，求： 。答疑编号：21201206 针对该题提问 解：把第四行展开得：由此可得方程：和组成方程组根据消元方可算出：第个方程左右两端乘以 2 倍然后得【例 15】设 A 是三阶可逆矩阵， 的特征值为 1，2，3，求 的代数余子式之和：答疑编号：21201207 针对该题提问 解：A 为可逆矩阵本题用到定理：设 A 有特征值 ，则特征值为 1，2，3， 的行列式1236
15、设伴随矩阵设 特征值为【考点八】计算抽象矩阵的行列式：主要利用矩阵行列式的性质。设 A 为 n 阶矩阵，则有（1）（2）（3）（4）设 A 为 n 阶可逆矩阵，则（5）利用行列式加法运算的性质：设 为 n 维列向量， 为 n 维行向量，则，【例 16】设 A 为 33 矩阵， ，把 A 按列分块为 ，其中是 A 的第 j 列，则 。答疑编号：21201208 针对该题提问 解：根据考点八第五条性质得【例 17】设 n 阶矩阵 ， ，其中为 n 维列向量。已知行列式 ，求行列式 的值。答疑编号：21201209 针对该题提问 解：根据行列式加法的性质得：【例 18】若 A 是 n 阶方阵，且 ，
16、 ，证明 。答疑编号：21201210 针对该题提问 解：【例 19】设 A、B 均为 n 阶矩阵， ，则 =。答疑编号：21201211 针对该题提问 第二章矩阵矩阵主要是研究解矩阵方程，如矩阵是线性代数的主要研究对象，有着广泛的应用。学习线性代数的目标之一，就是要学会利用矩阵这一工具去刻画你所面对的问题，并能利用矩阵的运算和性质去解决问题。矩阵考试的重点是：矩阵的乘法运算，逆矩阵，伴随矩阵，初等矩阵，矩阵的秩。以计算题为主，技巧性强。【大纲内容】矩阵的概念；矩阵的线性运算；矩阵的乘法；方阵的幂；方阵乘积的行列式；矩阵的转置；逆矩阵的概念和性质；矩阵可逆的充分必要条件；伴随矩阵；矩阵的初等变
