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1、第 8 章 最佳接收机8.1 学习指导8.1.1 要点最佳接收机的要点主要包括数字信号的统计特性、数字信号的最佳接收和确知信号的最佳接收。1. 数字信号的统计特性假设通信系统中的噪声是均值为 0 的高斯白噪声，其单边功率谱密度为 n0，发送的二进制码元为“0”和“1” ，其发送概率分别为 P(0)和 P(1)，显然，P(0) + P(1) = 1。如果通信系统的基带截止频率小于 fH，则根据低通信号抽样定理，接收噪声电压可以用其抽样值表示，抽样速率要求不小于其奈奎斯特速率 2fH。设在一个码元持续时间 Ts 内以 2fH 的速率抽样，共得到 k 个抽样值，即 k 2fHTs。由于每个噪声电压抽
2、样值 ni 都是正态分布的随机变量，k 维联合概率密度函数又可以表示为 s20n11()exp()d (8-1)2Tkf nt其中，n = ( n1, n2, , nk)是 k 维矢量，表示一个码元内噪声的 k 个抽样值。码元持续时间 Ts、噪声单边功率谱密度 n0 和抽样数 k 给定后，f(n)仅决定于该码元期间内噪声的能量 。由于噪声的随机性，每个码元持续时间内噪声的波形和能量0(dt都是不同的，这就使被传输的码元中有一些会发生误码。设接收电压 r(t)为信号电压 s(t)和噪声电压 n(t)之和，即 r(t) = s(t) + n(t)。在发送码元确定之后，接收电压 r(t)的随机性将完
3、全由噪声决定，故它仍服从高斯分布，其方差仍为n2，但是均值变为 s(t)。所以，当发送码元 “0”的信号波形为 s0(t)时，接收电压 r(t)的 k维联合概率密度函数为 s20 00n11)expd 8-22Tkf rttr其中，r = s + n 是 k 维矢量，表示一个码元内接收电压的 k 个抽样值；s 是 k 维矢量，表示一个码元内信号电压的 k 个抽样值。同理，当发送码元“1”的信号波形为 s1(t)时，接收电压 r(t)的 k 维联合概率密度函数为 s21 10n()expd (8-3)2Tkf ttr2. 数字信号的最佳接收在数字通信系统中，传输质量的主要技术指标是误码率。因此，
4、可以将误码率最小作为数字信号接收的最佳准则。设在一个二进制通信系统中发送码元“1”的概率为 P(1)，发送码元“0”的概率为P(0)，则总误码率 Pe 等于 e(1)0/()1/ (8-4)P其中，P(0/1)和 P(1/0)分别是发送符号“1”时错判为“0” 、 发送符号“0”时错判为“1”的条件概率或转移概率。接收端收到的每个码元持续时间内的电压可以用一个 k 维矢量表示，接收机对每个接收矢量作判决，判定它是发送码元“1” ，还是“0” 。 判决接收矢量的两个联合概率密度函数分别为 f0(r)和 f1(r)。总的误码率为 0 0e 10/)(1/)()d()d (8-5)rrPPfPf决准
5、则可以表示为：若 ， 则判为“0” ；反之， 若 ，则01()fr 01()fr判为“1” 。如果发送“0”和发送“1”的先验概率相等时，上述判决准则还可以简化为：若 f0(r) f1(r)，则判为符号 “0”；反之，若 f0(r) f1(r)，则判为符号“1” 。这个判决准则常称为最大似然准则。3. 确知数字信号的最佳接收机确知信号是指其取值在任何时间都是可以预知的信号。在理想的恒参信道中传输数字信号时，接收到的信号可以被认为是确知信号。以二进制数字通信系统为例，介绍确知数字信号的最佳接收机。接收到的两种波形s1(t)和 s0(t)是确知的，设它们的持续时间为 Ts，且功率相同，高斯白噪声的
6、平均功率和单边功率谱密度分别为 2 和 n0。当发送码元为“0”时，波形为 s0(t)；当发送码元为“1”时，波形为 s1(t)。如果s s2 21 00 01()exp()d()exp(d (8-6)T TPrtPrtn 则判决接收到的波形为 s0(t)，发送符号为 “0”；如果s s2 21 000(1)e()()e() (-7)T Trt rttn 则判决接收到的波形为 s1(t)，发送符号为 “1”。将上两式的两端分别取对数，判决准则可以表示为：如果 s s2 201000 0l()dln()()d (8-)T TPrttPrtt则判决接收到的波形为 s0(t)，发送符号为 “0”；如
7、果s s2 21000ln1()l()() (-9)T Tt tt则判决接收到的波形为 s1(t)，发送符号为 “1”。由于事先假设了两种符号的功率相等，即 ss22010()d()TTtt判决准则可以进一步简化为：如果s s01001ln()()dln()()d (8-10)22T ToPrtPrtt则判决接收到的波形为 s0(t)，发送符号为 “0”；如果s s100l()l()() (-)T Tot tt则判决接收到的波形为 s1(t)，发送符号为 “1”。8.1.2 难点最佳接收机的难点主要包括确知数字信号的最佳接收机的误码率和数字通信系统的匹配滤波接收法。1. 确知数字信号的最佳接收
8、机的误码率以二进制数字通信系统为例，介绍确知数字信号的最佳接收机的误码率。接收到的两种波形分别是 s1(t)和 s0(t)，设它们的持续时间为 Ts，且功率相同，高斯白噪声的平均功率和单边功率谱密度分别为 2 和 n0。由式(8-7)可知，在求总误码率之前，需要计算出错误转移概率 P(0/1)和 P(1/0)。概率 P(1/0)就是使不等式 (8-9)成立的概率，即s s2 201000 0ln(1)()dln()()dT TrttPrtt把 r(t) = s0(t) + n(t)带入上式，可得 s s220100l()()l()()T Ttt nt化简为 s s 2001 010 ()()(
9、)d()d2 T TonPntst tt上不等式的右边仅与先验概率 P(0)和 P(1)、确知信号 s1(t)和 s0(t)、噪声的单边功率谱密度n0 有关，左边与噪声电压 n(t)有关的随机过程。如果用一个随机过程 代表上不等式的左边，用参数 a 代表上不等式的右边，则上不等式可以表示为 a其中， s s010 201()()d()2TTonttPat由于噪声电压 n(t)是一个高斯平稳过程，它经过积分运算后，仍然为高斯平稳过程。随机过程 的数学期望和方差分别为 ss 0100()()d (8-12)TTaEntsttss22 0101010 ()()()d () dTTDEntstnstt
10、nt上式中，E n(t)n(t)是噪声电压 n(t)的自相关函数，即 0n()()2R随机过程 的方差又可以表示为 s201()d (8-13)Ttt高斯随机过程 在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，其一维概率密度为 21()exp2af因此，不等式 a 成立的概率为 2a - 21()()dexpd1 ed 2aa aPf 所以，概率 P(1/0)可以表示为 21(1/0)()expd (8-14)2aa其中， s 2001()()2TonPtts 201dtt同理，概率 P(0/1)可以表示为 2(/1)()exp (8-15)2bb其中， s 2001()()d21TnPtt总的
11、误码率为2 2 e (1)0/()1/01 ed()ed (8-16)b aPP 下面，就先验概率相等的情况，讨论两种接收波形 s0(t)和 s1(t)对误码率的影响。它们的相关系数 可以表示为 s sss010122() d (8-17)()TTTtdtEt其中，接收信号的码元能量 ， 。显然，当 s0(t) = s1(t)时，s0()TEts10Et1，为最大值；当 s0(t) = -s1(t)时， 1，为最小值。所以， 的取值范围在-1 +1。当接收信号的两码元能量相等时，令 E0 = E1 = Eb，则相关系数 可以表示为s01b()d (8-1)Tt参数 可以表示为 ss 20122
12、01b()d ()(1) (8-19)TttstE误码率可以表示为 2 2 2b b(1)e (1) 1ededed (-0)EEP 令 ，则 ， ，误码率又可以表示为2x2xx2 2b b22b2e (1)/ (1)/0(1)/ 0/ b0 eded () ed1erf (8-21) 2x xE ExxExP 其中，误差函数 。20erf()ax由于s2 20100b()()d(1)TnDttnE误码率又可以表示为 b be 0 0()()rferfc (8-2)222EP其中互补误差函数 erfc(x) = 1- erf(x)。上式是一个先验概率相等情况下计算误码率的理论公式。实际通信系统
13、中得到的误码率只可能比它差，不可能优于它。当 1 时，P e = 0.5，此时误码率最大；当 -1 时，Pe = 0.5erfc(Eb/n0)0.5，此时误码率最小；当 0 时，P e = 0.5erfc(0.5Eb/n0)0.5。对于 2PSK 信号，相关系数 -1；对于 2FSK 信号， 等于或近似等于 0；对于2ASK 信号，相关系数 不确定，计算误码率时，需要首先计算参数 s s22011b0()d ()d2TTttt再计算误码率 2 2b 1be 0 1eerfc4EEPen2. 数字通信系统的匹配滤波接收法用线性滤波器对接收信号滤波，使抽样时刻上输出信号的信噪比最大，此线性滤波器被
14、称为匹配滤波器。假设线性接收滤波器的传输函数为 H( f )，冲激响应为 h(t)，滤波器输入信号为 s(t)，s(t)的频谱函数为 S( f )，每个码元的持续时间为 Ts，信道中的噪声是单边功率谱密度为 n0的高斯白噪声 n(t)。线性接收滤波器的输出 y(t)为 j2()()ed() (8-23)fto osntfSnt输出噪声 no(t)的平均功率 No 为 2200()d() (-4)HffHf在抽样时刻 t0，输出信号瞬时功率与噪声平均功率之比 r0 为 2j200()ed() (8-25)ftofSstrnN利用施瓦兹不等式，可以求出 r0 的最大值，即最大输出信噪比为22200 00()d()d()d (8-26)HfSfSfErnn其中，信号能量 。上式等号成立的条件是2()Ef 0j2()*()e (8-27)ftHfkS其中，k 为任意常数。上式表明，最佳接收滤波器传输函数 H (f )与接收信号的频谱函数 S( f )有关，它正比于 S( f
