江苏省扬州市2016届高三上学期期中考试数学试题含答案

2015-2016 学年度第一学期高三期中调研测试数 学 试 题Ⅰ（全卷满分 160 分，考试时间 120 分钟）2015．11注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合 ， ，则 AB= ▲ ． {|2}Ax{|321}Bx2．已知复数 z满足 （ i为虚数单位） ，则 z= ▲ ．1i3．命题“ ”的否定是 ▲ ． ,snR4．若 ，则 ▲ ． si[2,3]25．设 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为 ▲ ．xy052xy32zxy6．已知双曲线 的一条渐近线与直线 平行，则实数 ▲ ． 21a0a7．在 中，若 ， ， ，则 的值是ABC2BC5ABCAB▲ ． 8．已知函数 ，则不等式 的解集为 ▲ ． (0)()1xef2())fxf9．将函数 图象上每一点的横坐标变为原来sin)(,fA的 2 倍（纵坐标不变） ，然后把所得图象上的所有点沿 x 轴向右平移 3个单位，得到函数 的图象，则 ▲ ．siyx()f10．已知直线 与圆 相交于 两点，若 ，3022:(0)Oxyr,MN3ON则圆的半径 　 ▲　 　． r11． 若 轴是曲线 的一条切线，则 ▲ ． x()ln3fxkk12．已知定点 ，动点 N在单位圆 上运动，以 OM， N为邻边作平行四(1,2)M21xy边形 ，则点 到直线 距离的取值范围是　 ▲　 ．OP34013． 中， ， ．若椭圆 以 为长轴，且过点 ，则椭圆 的离心ABCtanBEABCE率是 ▲ ． 14．实数 、 、 满足 ，则 的最大值为 ▲ bc225bc2687abc．二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15． （本小题满分 14 分）设函数 ．()sin)cos464fxx（1 ）求 的单调增区间；（2 ）若 ，求 的值域．(0,)x()yfx16． （本小题满分 14 分）在 ABC中，角 ， ， C的对边分别为 a， b， c，向量 ，(cos,in)2Cm，且 ．(sin,co)2/mn（1 ）求角 的大小；（2 ）若 ，求 Ata的值．2ab17． （本小题满分 14 分）如图，已知椭圆 ，离心率为 ．过原点的直线与椭圆2:1(0)xyCab12交C于 ， 两点（ ， 不是椭圆 的顶点） ．点 在椭圆 上，且 ．ABDCADB（1 ）若椭圆 的右准线方程为： ，求椭圆 的方程；4x（2 ）设直线 、 的斜率分别为 、 ，求 的值．DA1k21k18． （本小题满分 16 分）有一块三角形边角地，如图中 ，其中 （百米） ， （百米） ，ABC86AC．某市为迎接 2500 年城庆，欲利用这块地修一个三角形形状的草坪（图中60A）供市民休闲，其中点 在边 上，点 在边 上．规划部门要求 的面EFEFEF积占 面积的一半，记 的周长为 （百米） ．BCl（1 ）如果要对草坪进行灌溉，需沿 的三边安装水管，求水管总长度 的最小值；l（2 ）如果沿 的三边修建休闲长廊，求长廊总长度 的最大值，并确定此时 、 的l位置． FE CBAyxODBA（18 题图）（17 题图）19． （本小题满分 16 分）已知直线 与圆 相交，截得的弦长为 ．20xy2:40Cxym25（1 ）求圆 的方程；C（2 ）过原点 作圆 的两条切线，与抛物线 相交于 、 两点（异于原点） ．证明：O2MN直线 与圆 相切；MN（3 ）若抛物线 上任意三个不同的点 P、 Q、 R，且满足直线 PQ和 R都与圆 相切，2yx C判断直线 QR与圆 的位置关系，并加以证明．C20． （本小题满分 16 分）已知函数 ．33()||fxxa()R（1）解关于字母 的不等式 ；a2[1)]ff（2）若 ，求 的最小值；0()fx（3）若函数 有两个零点 ，试判断 的符号，同时比较 与 的12,12()fx12()fxa大小，并说明理由．2015-2016 学年度第一学期高三期中调研测试数 学 试 题Ⅱ（全卷满分 40 分，考试时间 30 分钟）2015．1121． （本小题满分 10 分）已知矩阵 ，属于特征值 4 的一个特征向量为 ，求 ．2aAb 232A22． （本小题满分 10 分）3 个女生，4 个男生排成一排，记 表示相邻女生的个数，求随机变量 的概率分布及XX数学期望．23． （本小题满分 10 分）如图，已知直三棱柱 中，1ABC， ， ， ．ABC341（1 ）求 的长．1（2 ）在线段 存在点 ，使得二面角 大小的余弦值为 ，求 的值．1P1AC31BP24． （本小题满分 10 分）已知 （ ） ．0()[()()]nknkFxCfx*N（1 ）若 ，求 的值；kf215（2 ）若 （ ， ，…， ） ，求证：()x{}n．!(1)2()nnFx （23 题图）ACAB11CP2015-2016 学年度第一学期高三期中调研测试数 学 试 题Ⅰ 参 考 答 案2015．11一、填空题1． [,2] 2．2 3． ,sin1R 4． 73 5．9 6． 7．1458． (,) 9．0 10． 11． 2e 12． 13． 3 6[2,]14． 45二、解答题15．解：（1） 3()sin)cossincos3sin()46424fxxxx……4 分∵ 223kk ∴ 1088kk， Z∴ ()fx的单调增区间为： 10[,]()3Z ……7 分（2 ） ∵ )4,0 ∴ 4x ∴ 3sin()1243x∴ ()fx的值域为： 3(,]2 ……14 分16．解：（1）∵ /mn ∴ 22cosin0C ……3 分∴ 整理得： ，解得： 1cos2C或2coss0Ccos10co∵ (0,) ∴ 3 ……7 分（2 ） ∵  ∴ 222cos3cabab∵ 2ab ∴ 2 ∵ 0 ∴ 3 ∴ 7cb ……10 分∴ ∵ ∴ ……14 分2791cos7A(,)AtanA17．解：（1）∵ 24cea，解得： 21ac∴ 3b∴椭圆方程为：2143xy……6 分（2 ）法（一） 设 ， ，则 ，∵ ， 在椭圆上1(,)Axy2(,)Dy1(,)BxyAD∴ ∴212xyab121212122()()0xxyyab∴ ∵ ∴ ∴ ……11 分210ADBkabce234a134ADk∵ ∴ ∴ ……14 分21ADk12ADk法（二） 设 0(,)xy， 1(,)x，则 0(,)Bxy则 ，下同法（一）22012 2100110()ADB xby bak a18．解：（1）设 Ex（百米）∵ 2AEFABCS ∴ 1sinsin22AFABC ∵ 8， 6 ∴ 4x ∵0846x∴ 8x ……2 分∵ AEF中，222()cos4xx∴ 244,[8]lx ……5 分2246lx，当且仅当 26x时取“=”∴ min6 ……8 分（2 ）由（1 ）知：224,[8]lxx令 4,[8]tx ∴224(6)()'1xt列表得： (4,26) (26,8)'t 0 A极小值 46A且 4x时， 10t； 8x时， 1t，则 [46,1]t ……12 分27lt在 [6,]上单调增 ∴当 时， max8l， 此时 8,3AEF 答：水管总长度 l的最小值为 百米；当点 E在 A处，点 F在线段 C的中点时，长廊总长度 l的最大值为 18 百米． ……16 分19．解：（1）∵ (0,2)C ∴圆心 到直线 20xy的距离为 |042|5d，∵截得的弦长为 5 ∴ 2225()1r ∴圆 C的方程为： ……4 分221xy（2 ）设过原点的切线方程为： kx，即 0y ∴ 2||1k，解得： 3k∴过原点的切线方程为： 3y，不妨设 3x与抛物线的交点为 M，则23yx，解得： (,)M，同理可求： (,)N ∴直线 :3Ny ……7 分∵圆心 (0,)C到直线 N的距离为 1 且 r ∴直线 与圆 C相切； ……9 分 （3 ）直线 QR与圆 相切．证明如下：设 222(,)(,,)Pabc，则直线 PQ、 R、 的方程分别为：： 0xya， ： ()0acxy； ： ()0bcxy∵ Q是圆 C的切线 ∴ 2||1()b，化简得： 22(1)3aa ①∵ PR是圆 的切线，同理可得： 2230ac ② ……12 分则 ,bc为方程 22(1)30ax的两个实根 ∴223,1abcbc∵圆心到直线 QR的距离为：222 423||||()141()bcad ra∴直线 与圆 C相切． ……16 分 20．解：（1）∵ 2[(1)]()ff ∴ 21)5a，即 2410a，解得： ． ……3 分 33a（2 ） ∵ 3,()|1|21xfxxa∴ 2,'()61xfxa设 260a，则 6，若 0，则 1a，∴当 1x时， '()fx，当 1时， '()fx，∴ 在 上单调减，在()fx,)上单调增，故函数 ()f有最小值 1a； ……6 分(,)若 6a，则 1a，∴当 x时， '()0fx，当 6a