山东省青岛九中2016届高三上学期期初数学试卷（文科）含解析

2015-2016 学年山东省青岛九中高三（上）期初数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的口号内（本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分）1．集合 M={x|x2﹣2x≤0}，N={x|x 2≥1}，则 M∩N=（　 　）A．[0，1] B．[1，2] C．[0，2] D．[﹣1，1]2．函数 y= 的定义域是（　　）A．[﹣ ，﹣ 1）∪（1， ] B． （﹣ ，﹣1）∪（1， ） C．[﹣ 2，﹣1）∪（1，2]D． （﹣2，﹣1）∪（1，2）3．已知 Sn 是等差数列{a n}的前 n 项和，若 a1+a3+a5=3，则 S5=（　　）A． B．5 C．7 D．94．已知函数 f（x）= ，则下列结论正确的是（　　）A．f（x）是偶函数 B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数 D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）5．已知一元二次不等式 f（x ）＜0 的解集为{x|x＜﹣1 或 x＞ }，则 f（10 x）＞0 的解集为（　　）A．{x|x＜﹣1 或 x＞﹣ lg2} B．{x|﹣ 1＜x＜﹣lg2}C．{x|x＞﹣lg2} D．{x|x＜ ﹣lg2}6．设函数 f（x） （x∈R）满足 f（x+π）=f（x）+sinx．当 0≤x＜π 时，f（x）=0，则 f（）=（　　）A． B． C．0 D．﹣7．设 x，y∈R，向量 =（x， 1） ， =（1，y） ， =（2，﹣4）且 ⊥ ， ∥ ，则| + |=（　　）A． B． C． D．108．若两个非零向量 ， 满足| + |=| ﹣ |=2 丨 丨，则向量 与 的夹角为（　　）A． B． C． D．9．函数 f（x）=2sinω x 在区间 上的最小值为﹣2，则 ω 的取值范围是（　　）A． B． C．D．10．已知函数 f（x）=ax 3﹣3x2+1，若 f（x）存在唯一的零点 x0，且 x0＞0，则实数 a 的取值范围是（　　）A． （1，+∞） B． （2，+∞ ） C． （﹣ ∞，﹣1） D． （﹣∞，﹣2）二、填空题：请把答案写在题中横线上（本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分）11．设△ABC 的内角 A，B ，C 所对边的长分别为 a，b，c，若 b+c=2a，3sinA=5sinB ，则角 C=　　．12．函数 f（x）=sin（x+2φ ）﹣2sin φcos（x+φ）的最大值为 　　．13．在△ABC 中， ，则 =　　．14．已知各项皆为正数的等比数列{a n}（n∈N *） ，满足 a7=a6+2a5，若存在两项 am、a n 使得=4a1，则 + 的最小值为　　．15．若函数 f（x）=2 |x﹣a|（a∈ R）满足 f（1+x）=f（1﹣x） ，且 f（x）在[m ，+∞）上单调递增，则实数 m 的最小值等于 　　．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共 6 个大题，共 75 分）16．已知函数 ，其图象过点（ ， ） ．（Ⅰ）求 φ 的值；（Ⅱ）将函数 y=f（x）的图象上个点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数y=g（x）若 A 是锐角△ABC 的最小内角，求 g（A ）的值域．17．已知向量 =（sin x， sinx） ， =（sinx ，﹣cosx） ，设函数 ，若函数g（x）=﹣ f（﹣x） ．（Ⅰ）求函数 g（x）在区间[﹣ ， ]上的最大值，并求出此时 x 的取值；（Ⅱ）在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若 f（ ﹣ ）+g（ + ）=﹣，b+c=7，bc=8，求边 a 的长．18．设函数 f（x）=mx 2﹣mx﹣1（Ⅰ）若存在实数 x，f（x）＜ 0 成立，求 m 的取值范围；（Ⅱ）若对于 x∈[1，4]，f（x）＜﹣m +5 恒成立，求 m 的取值范围．19．已知等差数列{a n}的公差大于零，且 a2、a 4 是方程 x2﹣18x+65=0 的两个根；各项均为正数的等比数列{b n}的前 n 项和为 Sn，且满足 b3=a3，S 3=13．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足 cn= ，求数列的前项和 Tn．20．已知函数 f（x）=x 3﹣ax2﹣3x．（1）若 f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数 a 的取值范围；（2）若 x=3 是 f（x）的极值点，求 f（x）的单调区间及在 [2，4]上的最值．21．设函数 f（x）=lnx+a（1﹣x） ．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当 f（x）有最大值，且最大值大于 2a﹣2 时，求 a 的取值范围．2015-2016 学年山东省青岛九中高三（上）期初数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的口号内（本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分）1．集合 M={x|x2﹣2x≤0}，N={x|x 2≥1}，则 M∩N=（　 　）A．[0，1] B．[1，2] C．[0，2] D．[﹣1，1]【考点】交集及其运算．【分析】求解一元二次不等式化简集合 M，N，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：由 M={x|x2﹣2x≤0}=[0，2]，N={x|x 2≥1}=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） ，得 M∩N=[1，2]．故选：B．2．函数 y= 的定义域是（　　）A．[﹣ ，﹣ 1）∪（1， ] B． （﹣ ，﹣1）∪（1， ） C．[﹣ 2，﹣1）∪（1，2]D． （﹣2，﹣1）∪（1，2）【考点】函数的定义域及其求法；对数的运算性质．【分析】由函数表达式知，被开方数大于或等于 0，故对数的真数大于 0 且对数值小于或等于 1，x 2﹣1＞ 0，且 x2﹣1≤1；解可得答案．【解答】解：﹣ ≤x ＜﹣ 1 或 1＜x≤ ．∴y= 的定义域为[﹣ ，﹣1）∪（1， ]．答案：A3．已知 Sn 是等差数列{a n}的前 n 项和，若 a1+a3+a5=3，则 S5=（　　）A． B．5 C．7 D．9【考点】等差数列的前 n 项和．【分析】由等差数列{a n}的性质，a 1+a3+a5=3=3a3，解得 a3．再利用等差数列的前 n 项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质，a 1+a3+a5=3=3a3，解得 a3=1．则 S5= =5a3=5．故选：B．4．已知函数 f（x）= ，则下列结论正确的是（　　）A．f（x）是偶函数 B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数 D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）【考点】余弦函数的单调性．【分析】由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可．【解答】解：由解析式可知当 x≤0 时，f（x）=cosx 为周期函数，当 x＞0 时，f（x）=x 2+1，为二次函数的一部分，故 f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除 A、B、C，对于 D，当 x≤0 时，函数的值域为 [﹣1，1]，当 x＞0 时，函数的值域为（1，+∞） ，故函数 f（x）的值域为[﹣1，+∞） ，故正确．故选：D5．已知一元二次不等式 f（x ）＜0 的解集为{x|x＜﹣1 或 x＞ }，则 f（10 x）＞0 的解集为（　　）A．{x|x＜﹣1 或 x＞﹣ lg2} B．{x|﹣ 1＜x＜﹣lg2}C．{x|x＞﹣lg2} D．{x|x＜ ﹣lg2}【考点】其他不等式的解法；一元二次不等式的解法．【分析】由题意可得 f（10 x）＞ 0 等价于﹣1＜10 x＜ ，由指数函数的单调性可得解集．【解答】解：由题意可知 f（ x）＞0 的解集为{x|﹣1＜x＜ }，故可得 f（10 x）＞0 等价于﹣1＜10 x＜ ，由指数函数的值域为（0，+∞）一定有 10x＞﹣1，而 10x＜ 可化为 10x＜ ，即 10x＜10 ﹣lg2，由指数函数的单调性可知：x＜﹣lg2故选：D6．设函数 f（x） （x∈R）满足 f（x+π）=f（x）+sinx．当 0≤x＜π 时，f（x）=0，则 f（）=（　　）A． B． C．0 D．﹣【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【分析】利用已知条件，逐步求解表达式的值即可．【解答】解：∵函数 f（x） （ x∈R）满足 f（x+π）=f（x）+sinx ．当 0≤x＜π 时，f（x）=0，∴f（ ）=f（ ）=f（ ）+sin=f（ ）+sin +sin=f（ ）+sin +sin +sin=sin +sin +sin== ．故选：A．7．设 x，y∈R，向量 =（x， 1） ， =（1，y） ， =（2，﹣4）且 ⊥ ， ∥ ，则| + |=（　　）A． B． C． D．10【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由两个向量垂直的性质可得 2x﹣4=0，由两个向量共线的性质可得﹣ 4﹣2y=0，由此求出 x=2，y=﹣ 2，以及 的坐标，从而求得| |的值．【解答】解：∵向量 =（x，1） ， =（1，y） ， =（2，﹣4）且 ⊥ ， ∥ ，则有2x﹣4=0， ﹣4﹣2y=0，解得 x=2，y=﹣2，故 =（3，﹣1 ） ．故有| |= = ，故选 B．8．若两个非零向量 ， 满足| + |=| ﹣ |=2 丨 丨，则向量 与 的夹角为（　　）A． B． C． D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】设| |=1，则| + |+| ﹣ |=2，故以 、 为邻边的平行四边形是矩形．设向量与 的夹角为 θ，则由 cosθ= = 求得 θ 的值．【解答】解：设| |=1，则| + |=| ﹣ |=2，故以 、 为邻边的平行四边形是矩形，且| |= ．设向量 与 的夹角为 θ，则 cosθ= = ，∴θ= ，故选 B．9．函数 f（x）=2sinω x 在区间 上的最小值为﹣2，则 ω 的取值范围是（　　）A． B． C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据正弦函数图象及性质对 ω＞0，ω ＜0 讨论即可得到答案．【解答】解：当 ω＞0 时，x∈ ，那么 ωx∈[ ， ]，由题意： 解得：ω≥2．当 ω＜0 时，ωx∈[ ，﹣ ]，由题意： 解得：ω≤所以：ω 的取值范围是（ ]∪[2，+∞）故选 B．10．已知函数 f（x）=ax 3﹣3x2+1，若 f（x）存在唯一的零点 x0，且 x0＞0，则实数 a 的取值范围是（　　）A． （1，+∞） B． （2，+∞ ） C． （﹣ ∞，﹣1） D． （﹣∞，﹣2）【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】由题意可得 f′（x）=3ax 2﹣6x=3x（ax﹣2） ，f（0） =1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．【解答】解：∵f（x）=ax 3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax 2﹣6x=3x（ax﹣2） ，f（0）=1；①当 a=0 时，f（x）=﹣3x 2+1 有两个零点，不成立；②当 a＞0 时， f（x）=ax 3﹣3x2+1 在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当 a＜0 时， f（x）=ax 3﹣3x2+1 在（0，+∞）上有且只有一个零点；故 f（x）=ax 3﹣3x2+1 在（﹣∞， 0）上没有零点；而当 x= 时，f（x）=ax 3﹣3x2+1 在（﹣∞，0）上取得最小值；故 f（ ）= ﹣3• +1＞0；故 a＜﹣2；综上所述，实数 a 的取值范围是（﹣∞，﹣2） ；故选：D．二、填空题：请把答案写在题中横线上（本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分）11．设△ABC 的内角 A，B ，C 所对边的长分别为 a，b，c，若 b+c=2a，3sinA=5sinB ，则角 C=　 　．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由 3sinA=5sinB，根据正弦定理，可得 3