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2015-2016 学年山东省青岛九中高三(上)期初数学试卷(文科)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的口号内(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分)1.集合 M={x|x2﹣2x≤0},N={x|x 2≥1},则 M∩N=( )A.[0,1] B.[1,2] C.[0,2] D.[﹣1,1]2.函数 y= 的定义域是( )A.[﹣ ,﹣ 1)∪(1, ] B. (﹣ ,﹣1)∪(1, ) C.[﹣ 2,﹣1)∪(1,2]D. (﹣2,﹣1)∪(1,2)3.已知 Sn 是等差数列{a n}的前 n 项和,若 a1+a3+a5=3,则 S5=( )A. B.5 C.7 D.94.已知函数 f(x)= ,则下列结论正确的是( )A.f(x)是偶函数 B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域为[﹣1,+∞)5.已知一元二次不等式 f(x )<0 的解集为{x|x<﹣1 或 x> },则 f(10 x)>0 的解集为( )A.{x|x<﹣1 或 x>﹣ lg2} B.{x|﹣ 1<x<﹣lg2}C.{x|x>﹣lg2} D.{x|x< ﹣lg2}6.设函数 f(x) (x∈R)满足 f(x+π)=f(x)+sinx.当 0≤x<π 时,f(x)=0,则 f()=( )A. B. C.0 D.﹣7.设 x,y∈R,向量 =(x, 1) , =(1,y) , =(2,﹣4)且 ⊥ , ∥ ,则| + |=( )A. B. C. D.108.若两个非零向量 , 满足| + |=| ﹣ |=2 丨 丨,则向量 与 的夹角为( )A. B. C. D.9.函数 f(x)=2sinω x 在区间 上的最小值为﹣2,则 ω 的取值范围是( )A. B. C.D.10.已知函数 f(x)=ax 3﹣3x2+1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则实数 a 的取值范围是( )A. (1,+∞) B. (2,+∞ ) C. (﹣ ∞,﹣1) D. (﹣∞,﹣2)二、填空题:请把答案写在题中横线上(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分)11.设△ABC 的内角 A,B ,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 b+c=2a,3sinA=5sinB ,则角 C= .12.函数 f(x)=sin(x+2φ )﹣2sin φcos(x+φ)的最大值为 .13.在△ABC 中, ,则 = .14.已知各项皆为正数的等比数列{a n}(n∈N *) ,满足 a7=a6+2a5,若存在两项 am、a n 使得=4a1,则 + 的最小值为 .15.若函数 f(x)=2 |x﹣a|(a∈ R)满足 f(1+x)=f(1﹣x) ,且 f(x)在[m ,+∞)上单调递增,则实数 m 的最小值等于 .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 6 个大题,共 75 分)16.已知函数 ,其图象过点( , ) .(Ⅰ)求 φ 的值;(Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象上个点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到函数y=g(x)若 A 是锐角△ABC 的最小内角,求 g(A )的值域.17.已知向量 =(sin x, sinx) , =(sinx ,﹣cosx) ,设函数 ,若函数g(x)=﹣ f(﹣x) .(Ⅰ)求函数 g(x)在区间[﹣ , ]上的最大值,并求出此时 x 的取值;(Ⅱ)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 f( ﹣ )+g( + )=﹣,b+c=7,bc=8,求边 a 的长.18.设函数 f(x)=mx 2﹣mx﹣1(Ⅰ)若存在实数 x,f(x)< 0 成立,求 m 的取值范围;(Ⅱ)若对于 x∈[1,4],f(x)<﹣m +5 恒成立,求 m 的取值范围.19.已知等差数列{a n}的公差大于零,且 a2、a 4 是方程 x2﹣18x+65=0 的两个根;各项均为正数的等比数列{b n}的前 n 项和为 Sn,且满足 b3=a3,S 3=13.(1)求数列{a n}、{b n}的通项公式;(2)若数列{c n}满足 cn= ,求数列的前项和 Tn.20.已知函数 f(x)=x 3﹣ax2﹣3x.(1)若 f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围;(2)若 x=3 是 f(x)的极值点,求 f(x)的单调区间及在 [2,4]上的最值.21.设函数 f(x)=lnx+a(1﹣x) .(Ⅰ)讨论:f(x)的单调性;(Ⅱ)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a﹣2 时,求 a 的取值范围.2015-2016 学年山东省青岛九中高三(上)期初数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的口号内(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分)1.集合 M={x|x2﹣2x≤0},N={x|x 2≥1},则 M∩N=( )A.[0,1] B.[1,2] C.[0,2] D.[﹣1,1]【考点】交集及其运算.【分析】求解一元二次不等式化简集合 M,N,然后直接利用交集运算求解.【解答】解:由 M={x|x2﹣2x≤0}=[0,2],N={x|x 2≥1}=(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞) ,得 M∩N=[1,2].故选:B.2.函数 y= 的定义域是( )A.[﹣ ,﹣ 1)∪(1, ] B. (﹣ ,﹣1)∪(1, ) C.[﹣ 2,﹣1)∪(1,2]D. (﹣2,﹣1)∪(1,2)【考点】函数的定义域及其求法;对数的运算性质.【分析】由函数表达式知,被开方数大于或等于 0,故对数的真数大于 0 且对数值小于或等于 1,x 2﹣1> 0,且 x2﹣1≤1;解可得答案.【解答】解:﹣ ≤x <﹣ 1 或 1<x≤ .∴y= 的定义域为[﹣ ,﹣1)∪(1, ].答案:A3.已知 Sn 是等差数列{a n}的前 n 项和,若 a1+a3+a5=3,则 S5=( )A. B.5 C.7 D.9【考点】等差数列的前 n 项和.【分析】由等差数列{a n}的性质,a 1+a3+a5=3=3a3,解得 a3.再利用等差数列的前 n 项和公式即可得出.【解答】解:由等差数列{a n}的性质,a 1+a3+a5=3=3a3,解得 a3=1.则 S5= =5a3=5.故选:B.4.已知函数 f(x)= ,则下列结论正确的是( )A.f(x)是偶函数 B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域为[﹣1,+∞)【考点】余弦函数的单调性.【分析】由三角函数和二次函数的性质,分别对各个选项判断即可.【解答】解:由解析式可知当 x≤0 时,f(x)=cosx 为周期函数,当 x>0 时,f(x)=x 2+1,为二次函数的一部分,故 f(x)不是单调函数,不是周期函数,也不具备奇偶性,故可排除 A、B、C,对于 D,当 x≤0 时,函数的值域为 [﹣1,1],当 x>0 时,函数的值域为(1,+∞) ,故函数 f(x)的值域为[﹣1,+∞) ,故正确.故选:D5.已知一元二次不等式 f(x )<0 的解集为{x|x<﹣1 或 x> },则 f(10 x)>0 的解集为( )A.{x|x<﹣1 或 x>﹣ lg2} B.{x|﹣ 1<x<﹣lg2}C.{x|x>﹣lg2} D.{x|x< ﹣lg2}【考点】其他不等式的解法;一元二次不等式的解法.【分析】由题意可得 f(10 x)> 0 等价于﹣1<10 x< ,由指数函数的单调性可得解集.【解答】解:由题意可知 f( x)>0 的解集为{x|﹣1<x< },故可得 f(10 x)>0 等价于﹣1<10 x< ,由指数函数的值域为(0,+∞)一定有 10x>﹣1,而 10x< 可化为 10x< ,即 10x<10 ﹣lg2,由指数函数的单调性可知:x<﹣lg2故选:D6.设函数 f(x) (x∈R)满足 f(x+π)=f(x)+sinx.当 0≤x<π 时,f(x)=0,则 f()=( )A. B. C.0 D.﹣【考点】抽象函数及其应用;函数的值.【分析】利用已知条件,逐步求解表达式的值即可.【解答】解:∵函数 f(x) ( x∈R)满足 f(x+π)=f(x)+sinx .当 0≤x<π 时,f(x)=0,∴f( )=f( )=f( )+sin=f( )+sin +sin=f( )+sin +sin +sin=sin +sin +sin== .故选:A.7.设 x,y∈R,向量 =(x, 1) , =(1,y) , =(2,﹣4)且 ⊥ , ∥ ,则| + |=( )A. B. C. D.10【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系;向量的模;平面向量共线(平行)的坐标表示.【分析】由两个向量垂直的性质可得 2x﹣4=0,由两个向量共线的性质可得﹣ 4﹣2y=0,由此求出 x=2,y=﹣ 2,以及 的坐标,从而求得| |的值.【解答】解:∵向量 =(x,1) , =(1,y) , =(2,﹣4)且 ⊥ , ∥ ,则有2x﹣4=0, ﹣4﹣2y=0,解得 x=2,y=﹣2,故 =(3,﹣1 ) .故有| |= = ,故选 B.8.若两个非零向量 , 满足| + |=| ﹣ |=2 丨 丨,则向量 与 的夹角为( )A. B. C. D.【考点】数量积表示两个向量的夹角.【分析】设| |=1,则| + |+| ﹣ |=2,故以 、 为邻边的平行四边形是矩形.设向量与 的夹角为 θ,则由 cosθ= = 求得 θ 的值.【解答】解:设| |=1,则| + |=| ﹣ |=2,故以 、 为邻边的平行四边形是矩形,且| |= .设向量 与 的夹角为 θ,则 cosθ= = ,∴θ= ,故选 B.9.函数 f(x)=2sinω x 在区间 上的最小值为﹣2,则 ω 的取值范围是( )A. B. C.D.【考点】正弦函数的图象.【分析】根据正弦函数图象及性质对 ω>0,ω <0 讨论即可得到答案.【解答】解:当 ω>0 时,x∈ ,那么 ωx∈[ , ],由题意: 解得:ω≥2.当 ω<0 时,ωx∈[ ,﹣ ],由题意: 解得:ω≤所以:ω 的取值范围是( ]∪[2,+∞)故选 B.10.已知函数 f(x)=ax 3﹣3x2+1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则实数 a 的取值范围是( )A. (1,+∞) B. (2,+∞ ) C. (﹣ ∞,﹣1) D. (﹣∞,﹣2)【考点】函数的零点与方程根的关系.【分析】由题意可得 f′(x)=3ax 2﹣6x=3x(ax﹣2) ,f(0) =1;分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可.【解答】解:∵f(x)=ax 3﹣3x2+1,∴f′(x)=3ax 2﹣6x=3x(ax﹣2) ,f(0)=1;①当 a=0 时,f(x)=﹣3x 2+1 有两个零点,不成立;②当 a>0 时, f(x)=ax 3﹣3x2+1 在(﹣∞,0)上有零点,故不成立;③当 a<0 时, f(x)=ax 3﹣3x2+1 在(0,+∞)上有且只有一个零点;故 f(x)=ax 3﹣3x2+1 在(﹣∞, 0)上没有零点;而当 x= 时,f(x)=ax 3﹣3x2+1 在(﹣∞,0)上取得最小值;故 f( )= ﹣3• +1>0;故 a<﹣2;综上所述,实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣2) ;故选:D.二、填空题:请把答案写在题中横线上(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分)11.设△ABC 的内角 A,B ,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 b+c=2a,3sinA=5sinB ,则角 C= .【考点】余弦定理;正弦定理.【分析】由 3sinA=5sinB,根据正弦定理,可得 3
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