陕西省咸阳市彩虹中学2012-2013学年高二下学期第一次月考数学（理）试题 含答案

陕西省咸阳市彩虹中学 2012-2013 学年高二第二学期第一次月考数学（理科）试题一、选择题（单选题，每题 5 分，共 10 题，共 50 分）1. 已知集合 , ,则 =（　　）320AxR(1)30BxRABA． B． C． D．(,1)(1)2,(3,)2. 一个物体的运动方程为 其中 的单位是米， 的单位是秒，2tsst那么物体在 秒末的瞬时速度是（ ）3A． 米/秒 B． 米/秒 C． 米/ 秒 D． 米/秒76583. 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数 中恰有一个偶数”正确的abc， ，反设为（　 　）A． 都是奇数 B． 都是偶数abc， ， ， ，C． 中至少有两个偶数 D． 中至少有两个偶数或都是奇数， ， ， ，4. 用数学归纳法证明： （ ）能被 整除．从假设 成立到21nxyNxynk成立时，被整除式应为（ ）1nkA． B． C． D． 2323kxy22kk21kk2kxy5. 下列各式中，最小值等于 的是（ ）A． B． C． D．xy4521tan2x6. 函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，)(f ),(b)(xf,ba则函数 在开区间 内有极小值点（　 ）x,aĠabxy)(xfOȠ A． 个 B． 个 C． 个 D． 个12347. 设 ，且 恒成立，则 的最大值是（ ）,abcnNcanba1nA． B． C． D．23468. 若 则 是 的（ ）,xyR"1x21"yA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9. 设函数 f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图 1 所示，则导函数 y=f (x)可能为 （ 　）10. 已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 且斜率为 的2:1(0)xyCab＞ ＞ 32F(0)k＞直线与 相交于 两点．若 ，则AB、 FBkA．1 B． C． D． 223一．填空题（每题 5 分，共 5 题，共 25 分）11. 曲线 在点 处的切线的斜率是_________，切线的方程为xyln(,1)Me_______________；12. ，)(1321)( Nnf经计算得 ，27)3(,16(,258,)4, ffff推测当 时，有__________________________.13. 若存在实数 使 成立，则实数 的取值范围是 .x||1|3axa14. 函数 在 时有极值 ，那么 的值分别为________.322(),fb10b,15. 若函数 在区间 上是单调递增函数，则实数 的取值范围是241x()m， m_xyO图1xyOAxyOBxyOCyODx三．解答题（共 6 题，共 75 分）16.（12 分）求证：当 a、 b、 c 为正数时， 91cba17.(12 分)在△ABC 中, 角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c，已知 os24C(1)求 sinC 的值；(2)当 a=2， 2sinA=sinC 时，求 b 及 c 的长．18.（ 12 分）已知等差数列 满足： ， ， 的前 n 项和为 ．na375726aanS（1 ）求 及 ；naS（2 ）令 bn= (n N*)，求数列 的前 n 项和 ．21bT19.（ 12 分） 已知函数 在 与 时都取得极值32()fxaxc231x(1)求 的值；,ab(2)求函数 的单调区间.f20.（13 分）如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点.已知AB=2,AD=2 ,PA=2.求:(1)三角形 PCD 的面积;(2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.21.（ 14 分）已知椭圆21(0xyab）的离心率 32e，连接椭圆的四个顶点得到 的菱形的面积为 4.（1） 求椭圆的方程；（2） 设直线 l与椭圆相交于不同的两点 ,AB，已知点 的坐标为（ ,0a） ，点AB CDPE0(,)Qy在线段 AB的垂直平分线上，且 ，求 0y的值4QBA高二数学第二学期数学（理科）第一次月考答案一．选择题（单选题，每题 5 分，共 10 题，共 50 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D C D C D A C B D B二．填空题（每题 5 分，共 5 题，共 25 分）11. 12. 13. 1,0xey2()nf4,214. 4 ，—11 15. 0,1三．解答题（共 6 题，共 75 分）16.(12 分) 证明：∵ a>0,b>0,c>0 2 分 ∴ = 11 分cba1 9233 acbca…………12 分917.（ 12 分） （Ⅰ）解：因为 cos2C=1-2sin2C= 14，及 0＜C＜π所以 sinC= 0. 4 分（Ⅱ）解：当 a=2，2sinA=sinC 时，由正弦定理 acsinAiC，得c=4 6 分由 cos2C=2cos2C-1= 14，J 及 0＜C＜π 得cosC=± 68 分由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC，得b2± b-12=0 解得 b= 6或 2 10 分所以 b= b= 6 12 分c=4 或 c=418. (12 分)解：（1）设等差数列 的公差为 d，因为 ， ，所以有na37a5726，解得 ， 4 分12706ad13,2所以 ； 5 分3)=n+n（= = 6 分S(-+2（2 ）由（Ⅰ）知 ，1na所以 bn= = = ， 10 分 22+)（ 14n(+)1(-)n所以 = = ，nT11(--431 -)4(+1)即数列 的前 n 项和 = 12 分bT4(+)19. （12 分）解：（1） 2 分 32' 2(),()3fxabxcfxab由 ， 得 '1409'101,经检验， 合题意 6 分,2（2 ） ，函数 的单调区间如下表：'()3(32)fxx()fx,),11,'()f0 0 x 极大值  极小值 所以函数 的递增区间是 和 ,递减区间是 ； 12 分()f 2(,)3(1)2(,1)320. (13 分)[解](1)因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥ CD,又 AD⊥ CD,所以 CD⊥平面 PAD, 从而 CD⊥ PD 因为 PD= ,CD=2, 32)(2所以三角形 PCD 的面积为 6 分1(2)[解法一]如图所示,建立空间直角坐标系, 则 B(2, 0, 0),C(2, 2 ,0),E(1, , 1), 2, )1,(AE)0,(B设 与 的夹角为 ,则 ,= . 12 分 224||cosBCAE4由此可知,异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 13 分4[解法二]取 PB 中点 F,连接 EF、 AF,则 EF∥ BC,从而∠ AEF(或其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角 在 中,由 EF= 、 AF= 、 AE=2 AE2知 是等腰直角三角形, 所以∠ AEF= . 4因此异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 421. （14 分） （1）解：由 3e2ca，得 2ac，再由 22ab，得 由题意可知， 4,2b即解方程组 a 得 a=2,b=1 所以椭圆的方程为214xy4 分 (2)解：由（1）可知 A（-2,0）.设 B 点的坐标为（x 1,,y1）,直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 y=k(x+2),AB CDPExyzAB CDPEF于是 A,B 两点的坐标满足方程组 2()14ykx由方程组消去 y 并整理，得 222(1)6(4)0kxk 7 分由2164,kx得 11228,,4y从 而设线段 AB 是中点为 M，则 M 的坐标为 22(,)4k9 分（1）当 k=0 时，点 B 的坐标为（2,0）.线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是000(2,y)(2,=QAyQAB） 由 4， 得10 分 （2）当 K时，线段 AB 的垂直平分线方程为2218()44kkYx令 x=0，解得 02614ky 由 010(,y)(,ABy）210 222(8)6462( ()1kkQABx） =42(65)4k=整理得 2 012147, =75y故 所 以13 分综上 0024=5yy或14 分