江苏省六合高级中学2012届高三（2）班数学选修课结业测试1

yba xo)('f江苏省六合高级中学 2012 届数学选修课结业测试（1）命题人：陶卫东 审题人：李长华班级：高三（ 2 ）班 姓名： 得分： 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卷相应位置上.1.设 i 是虚数单位，则复数 32i的实部为 ▲ 2. 已知 ，则 ▲ ．1065mA m3. 人排成一排，则甲不站在排头的排法有 ▲ 种． （用数字作答） ．64. 曲线 在点 处的切线斜率为___ ▲_____，切线方程为____ ▲yx1(,2)______．5.有 2 个红球、4 个黄球，同色球不加以区分，将这 6 个球排成一列有__▲__种不同的方法（用数字作答） ．6. 对 -------大前提 ------小前提,,2abRab12,xx所以 -------结 论 以上推理过程中的错误为 ▲ 1,x（1） 大前提 （2） 小前提 （3）结论 （4）无错误7. 函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，()f (,)ab()fx,ab则函数 在开区间 内的极值点有 ▲ 个x,8. 已知复数 满足 ，则 的最小值是 ▲ z1iz9. 已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则 　 ▲ xfxf'2'32xfxf5'f10. 若把英语单词“ ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有 ▲ god种． （用数字作答） ．11.利用数学归纳法证明“ ”时，*),1(1)()2(1 Nnnn 从假设 推证 成立时，左边应增乘的因式是___ ▲ kn12. 已知函数 （a 为常数） ，在区间 上有最大值 20，32()9fxx[2,]那么此函数在区间 上的最小值为 ▲ [,]13. 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 时，)(,xgf 0x()()0fxgf且 的解集为 ▲ 2则 不 等 式 0)(xf14. 已知 . （ ） ，下面命题中真命题的序1()sin,[π]3fx1cos30[,π]x号是 ▲ .① 的最大值为 ② 的最小值为()f0()f ()f0()fx③ 在 上是减函数 ④ 在 上是减函数x0[,] x0[,π]二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．15. 已知 ,复数 Z= 当 为何值时 ,Rmi)1m()((1)Z R; (2)Z 是虚数; (3)Z 是纯虚数; 16. 已知 为实数， 。a)(4)(2axxf⑴求导数 ； ⑵若 ，求 在[－2，2] 上的最大值和最小值；f 01f(f⑶若 在(－∞，－2] 和[2，+∞)上都是递增的，求 的取值范围。)x a17.把边长为 6 的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝) ，设容器的高为 ，容积为 .x()Vx（1）写出函数 的解析式，并求出函数的定义域；()Vx（2）求当 为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积。18.已知复数 ，且 为纯虚数．3()zbiR(13)iz（1）求复数 ；（2）若 ，求复数 的模 ．2wiw19. 已知 ， .11()()23fnnN (21)(gnN（1）当 n=1,2,3 时，分别比较 与 的大小（直接给出结论） ；)f（2）由(1)猜想 与 的大小关系，并证明你的结论 .()fng20. 已知函数 ， ，()lnfx21()gx（1）设函数 ，求 的极小值。 （2）设函数2fF)(F，若 恒成立，求实数 的取值范围。()(),(0xagxa0xa（3）若 ，总有 成立，求实数 的取1201212[)()]()()mgfxfm值范围。江苏省六合高级中学 2012 届数学选修课结业测试（1）参考答案及评分标准一、填空题：1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、二、解答题：15、(1)m=1(2)m 1(3)m=016.解：⑴由原式得： ∴,4)(23axxf .423)(axxf⑵由 得 , 此时有 .01f1a )(,1)( 22ff由 得 或 x=-1 , 又)(34x,0)2(,)(,29,75)34( ffff所以 f(x)在[－2,2]上的最大值为 最小值为9.275⑶解法一： 的图象为开口向上且过点(0,－4) 的抛物线,由条件得43)(2axxf,0)(,f即 ∴－2≤a≤2。 所以 a 的取值范围为[ －2,2].48a解法二：令 即 由求根公式得: )(xf ,0423x21,2123ax所以 在 和 上非负..4)(axxf 1,x,2由题意可知,当 x≤-2或 x≥2时, ≥0,)(f从而 x1≥-2, x2≤2,即 解不等式组得－2≤a≤2. ∴a 的取值范围是[ －2,2].6.a17.解：（Ⅰ）因为容器的高为 x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为 ----1 分.(623)x则 -------------------------4 分23()(6)4Vx函数的定义域为 ------------------------- 5 分 0,（Ⅱ）实际问题归结为求函数 在区间 上的最大值点.()Vx(0,3)先求 的极值点. ()Vx在开区间 内， --------------------7 分0,32()93693xx令 ，即令 ，解得 .()x2012,3(x 舍 去 )因为 在区间 内， 可能是极值点. 当 时， ；13(,)1x1'0Vx当 时， . ---------------------9 分x'0V因此 是极大值点，且在区间 内， 是唯一的极值点，所以 是1 (,3)1x13x的最大值点，并且最大值 ()Vx 4f即当正三棱柱形容器高为 时，容器的容积最大为 4.-------------------12 分318、解：（1） …………………………………4 分(3)()(9ibibi是纯虚数()iz，且 ……………………………………………6 分30b90， …………………………………………… 7 分1i（2） ………………………………12 分(3)2715iiwi（ ）（ ） （ ）………………………………… 14 分27()5（注：第二小问直接利用模的性质也行）19、解：（1）当 时， , , ,1n()1f()21)g()fg当 时， , , ，2f32f当 时， , , .--------------3 分3n1()2f()2g()3fg(2)猜想： ,即 .------()fg(N） 1(1)()3nN4 分下面用数学归纳法证明：①当 n=1 时，上面已证. --------------5 分②假设当 n=k 时，猜想成立，即 112(1)23k则当 n=k+1 时， (1) ()fkkk-----10122k分而 ，下面转化为证明：(1)2(1)2gkk只要证： ，需证： ，2(1)32()1kkk2(3)4()1kk即证： ，此式显然成立.所以，当 n=k+1 时猜想也成立. 49418综上可知：对 ，猜想都成立， -----15 分nN即 成立. -----16 分12(1)()23nN20．解：（I） ， 2laFxx21axF………………………2 分因 时，令 ，则 ，故 在 上单调递减，0a0xax0,a在 上单调递增，1,故 在 上的最小值为 ， Fx0, 1ln02Faa…………………4 分解得 ，所以 a 取值范围是 1ae1,e………………………6 分（II）已知可转化为 时， 恒成立，120x1122mgxfmgxf令 ，则 为单调递增的函数，lnhxmgfh……………………8 分故 恒成立，即 恒成立 ln10hxmxln1xm………………………………10 分令 ，则 ，所以lx2lx当 时， ， 单调递增0,10当 时， ， 单调递减m，故 mx1……………………………………………………………16 分