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1、第四次月考数学理试题本试卷分选择题和非选择题两部分。第 I 卷(选择题) ,第 II 卷(非选择题) ,满分 150分,考试时间 120 分钟。注意事项:1答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号。3答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。4所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。5考试结束后,只将答题卡交回。第 I 卷(选择题 共 50 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分在每小题给
2、出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的)1.向量 , ,若 ,则(1,)ax(2,1)babA. B. C. D. 55322. 甲、乙两人在 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如0右图则这 天甲加工零件的平均数及乙加工零件的中位数分别为1A. B. C. D.23,42,42,3,3.设随机变量 服从正态分布 ,若 ,则(9)N()()PababA. B. C. D. 1344.设 na是公差不为零的等差数列,其前 n项和为 nS,且 成等比数列,则124,S41aA3 B4 C6 D75.设圆 与圆 ,点 为一动点,由点 作圆 与圆1:21yxC222:3xyPP1C的切线 ,切点分别
3、为 若 ,则点 的轨迹方程为2,P,APBA B C D03yx0yx03yx03yx6. 某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,从“ ”到“”共 个号码公司规定:凡卡号的后四位带有数字“ ”或“ ”的一律91 47作为“优惠卡” ,则这组号码中“优惠卡”的个数为A B C D204096590483207. 设 满足约束条件 ,若目标函数 的最大值为 8,则,xy28 ,xy,zabxy的最小值为210aba(第 8 题)0 图)是否开始S=0, n=1203ncosSn=n+1结束输出 S123甲 乙9 7 11 4 2 40 2 09 80 1 3 2 01 1 5A B
4、C D32334358. 运行如图所示的流程图,则输出的结果 是SA B C D40142012012019. 已知 *1log()nanN,把使得乘积 为13na整数的 叫做“成功数” ,则区间 内所有成功数的和为(1,03)A B C D024226204810. 设定义在 上函数 若曲线 上存在点 使1,elnfxxaR1cosyx0,xy得 ,则实数 的取值范围是0fyaA B C D,2ln02l, 21,e20,e第卷(非选择题 共 100 分)二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,请按要求作答 5 小题,共 25 分,把答案填写在答题卡相应位置上)11. 复数 ( 为虚
5、数单位)的虚部为_3+1iz12. 在区间 上随机取一个数 ,则 的值介于 与 之间的概率为_,xcos2x01213. 已知双曲线 的右焦点为 ,若过点 且倾斜角为 的直线与双曲210,xyabF60o线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率 的取值范围是_e考生注意:1416 题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分14. 如图,圆 的半径为 1,直线 与圆 相切于点 ,且OABOB,连接 并延长交圆 于 两点,则 的面积3ABDC、 C为 _15. 直线 ( 为参数)与曲线 ( 为参数且23xty2cosa)相切,则 _ 0aa16.若不等式 的解集为 ,则实数 的取
6、值范围是_211xaxa三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. (本题共 13 分,第问 6 分,第问 7 分)已知函数 2535sincosfxxx()求 的最小正周期; f DCOBA()求 的单调递增区间,并求出 在 上的最大值与最小值fxfx5,3618. (本题共 13 分,第问 6 分,第问 7 分)现有 道题,其中 道甲类题, 道乙类题,张同学从中任取 道题解答1043()求张同学至少取到 道乙类题的概率;1()已知所取的 道题中有 2 道甲类题, 道乙类题设张同学答对甲类题的概率都是 ,答对31 35每道乙类题的概率都是
7、,且各题答对与否相互独立用 表示张同学答对题的个数,求 的分45XX布列和数学期望 EX19. (本题共 13 分,第问 6 分,第问 7 分)在 中,角 、 、 所对的边分别为 、 、 ,且 .ABCCabc1os2aCcb()求角 的大小;()若 ,求 面积的最大值2ABAB20. (本题共 12 分,第问 6 分,第问 6 分)已知函数 , 21lnfxaxa0()讨论函数 的单调性;()若函数 的图象与 轴有 个不同的交点,求 的取值范围23yfxx3a21. (本题共 12 分,第问 4 分,第问 8 分)设椭圆 过点 ,且左焦点为 2:10Cab(2,1)M1(2,0)F()求椭圆
8、 的方程;()当过点 的动直线 与椭圆 相交于不同两点 时,在线段 上取点 ,满足(4,)PlC,ABQ证明:点 总在某定直线上AQBQ22. (本题共 12 分,第()问 4 分, 第()问 8 分)已知曲线 从点 向曲线 引斜率为 的22:01,2nCxynN 1,0PnC(0)nk切线 ,切点为 nl,nP()求数列 的通项公式;xy,()证明: 135212sinnnxxx y数学(理科) 参考答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A C B D A C B C C B二、填空题11. 12. 13. 2132,14. 15. 16. 3411,0三、解答题17. ()
9、 235cossin5)( xxxf51co23sin23ins(in2cos2sin)33xx最小正周期 T= )i(x2()由 得kxk32 5()112kxkZ的递增区间是)(xf)(5,1Z5364233xminmax53,()5.2fxf19. () 11cossincosini22aCbACB()12sini()coscos3AACA将 两边平方可得: ,即 ,由均值不等式,B 42bc 42b,则 ,所以 ,当且仅当 时,bccb242434sin21bcAbcSABC cb取到最大值 .320. () xaxaaxf )()()()( 1112 当 时, 在 和 上单增,在 上
10、单减.1af,0,),(当 时, 在 上单增.)(x)当 时, 在 和 上单增,在 上单减;0f,a),(1),(1a()令 则axxxg 32232ln)( )(xfg当 时, 且 即 且 ,显然无解;1a0g00ln当 时, 在 上单增,显然不满足题意;)(x),当 时, 且 即 且 ,0a01(2ea52a2512ae综上, 2512e21. () 4xy()方法一:设点 Q、A、B 的坐标分别为 。12(,),(,)xyxy由题设知 均不为零,记 ,则 且,PAPQB01又 A,P,B, Q 四点共线,从而 ,AP于是 , , 124x12y12x12y从而 , (1) , (2)21
11、 12y 又点 A、B 在椭圆 C 上,即 214,(3)xy 24,()xy (1)+(2)2 并结合(3) , (4)得 s即点 总在定直线 上(,)Qxy20xy22. 解 : ()设 直 线 : ,联立 得nl)1(xkyn 02ynx,则 , (0)2()1( 22nnnkxkx 0)1(4)2(2nnkk 12n舍去), 即 , 222)1(1nkxn 1nx 12)(nxkynn()证 明 : 21nxn 12534321531 nxn nnx12531由于 ,可令函数 ,则 ,令nnyxxxfsin2)(xfcos21)(,得 ,给定区间 ,则有 ,则函数 在 上单调递0)(xf 2cosx)4,0(0)(f)(f4,0减, ,即 在 恒成立,又 ,)(ff xsin),( 312n则有 ,即 . 12sin12 nnyxsi2