初等函数连续性

§3 初等函数连续性(一) 教学目的：了解指数函数的定义，掌握初等函数的连续性．(二) 教学内容：指数函数的定义；初等函数的连续性．基本要求：(1) 掌握初等函数的连续性．(2) 掌握指数函数的严格定义．(三)教学建议：(1) 本节的重点是初等函数的连续性．要求学生会用初等函数的连续性计算极限．(2) 本节的难点是理解和掌握指数函数的性质．————————————————————————————从前面两节知道基本初等函数中：常函数，三角函数，反三角函数，以及有理指数幂函数，都是定义域上的连续函数.本节将讨论指数函数、对数函数与实指数幂函数在其定义域内的连续性，以及初等函数在其定义域内的连续性一 指数函数的连续性在第一章中，我们已定义了实指数的乘幂，并证明了指数函数在 上是严格单调的.下面先把关于有理指数幂的一个重要性质) 10 (ayxR推广到指数幂,然后证明指数函数的连续性先回忆一下指数的定义和相应的结论：在中学讲过 ， 为有理数情况的定义： rapqpraa/和指数的运算性质：， （1）2121rra 2121)(rr第一章给出了 为无理数时的定义，这样，对任意实数 ， 都有x, x0,a了定义：}|{sup为 有 理 数raxr自然要问：对于指数为一般实数的情况，运算性质（1）是否还成立呢？下面的定理就回答了这个问题。

定理 4.10 设 为任意实数，则有,0aaa)(证明定理之前先回顾一下，第一章讲过的几个结论：1） 时是严格递增的； 是严格递减的ax 1,x2）确界的定义： ： Asupi) （是上界）; ax,ii) ，使得 （是最小上界）0x定理的证明 不妨设 ，先证 1asra由指数的定义 }|{sup|为 有 理 数为 有 理 数rarr由上确界的定义， ，使得 ,0ar，使得 ss，（ 有理数， ）srsraa)( , srsra因为 ，由刚才回顾的结论： 时是严格递增的 sr 1x srsr由 的任意性 sr再相反的不等式： sra由 }|{sup为 有 理 数a，使得 ppa记 ，由有理数的稠密性，存在有理数 ，使得d sr,， ),2/(dr)2/(dsps /aaasrsrp)(由 的任意性 定理 4.11 指数函数 在 R 上是连续的.) 0( x证明 先设 .有第三章§2 例 4 知1a，001limax这表明 在 连续.现任取 .由定理 4.10 得x0R.000)(xxxaa令 则当 时有 ,从而有 ,0xt0xt.00000 )(limlilimxttxxxx aa这证明了 在任一点 处连续.xa当 时,令 ,则有 ,而10ab1xxba)(可看作函数 与 的复合，所以此时 亦在 上连续。

□uxR利用指数函数 的连续性，以及第三章§5 例 4 中已证明的，) 1( lim,0li aaxx可知 的值域为（ ）( 时也是如此).于是 的反函数—对数函数xa,x在其定义域( )内也连续.log 例 1 设 .证明 .bxvaxu)(lim,)(li00 bxvxau)(li0证明 补充定义 ,则 连续,从而知, 0 ,(在 点在 连续,所以 在 连续.由此得)(lnxuv0 )(ln)(xuvxveu.baxvx l)(l)(00lili二 初等函数的连续性由于幂函数 （ 为实数）可表为 ，它是函数 与 的复合， xelnuexln故有指数函数与对数函数的连续性以及复合函数的连续性，推得幂函数 在其定y义域（ ）上连续,0前面已经指出，常函数，三角函数，反三角函数都是定义域上的连续函数.因此我们有下述定定理 4.12 一切基本初等函数都是定义域上的连续性函数.由于任何初等函数都是由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到,所以有定理 4.13 任何初等函数都是定义域上的连续性函数.例 1 求 xx)1ln(im0解 利用对数函数的连续性，x/10)l(il1lnn)n(i //10 exx例 2 求 xcoslim20解 由于 是初等函数 定义域内的点，利用初等函数连续性， 0xxcos)1ln(2cos)1ln(s)l(im20x例 3 作倒代换.1li0  xxx  .1xt例 4 .1lisectgxt解 I = .)1(lim)(m1seclim0sec0 0tgxxxctxt 例 5 .insilx解 xxsin1si .21cos21si xx,0limnilm ,2co xxI = .0。