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1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学 一 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。1 若 （ 为虚数单位） ，则 的 值可能是cosinz21z（A） （B） （C） （D） 6432 已知集合 ， ，则1,M124,xNZMN（A） （B） （C） （D ） , 0,03 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（A） （B） （C） （D） (1),2(1),3(1),4(2),44 设 ，则使函数 的定义域为 R 且为奇函数的所有 值为,ayx（A） （B） （C） （D ） 1,3
2、,1,31,35 函数 的最小正周期和最大值分别为sin(2)cos(2)6yxx（A） （B） （C） （D） ,2,6 给出下列三个等式： ， ，()()fxyfy)()fxfy。下列函数中不满足其中任何一个等式的是()(1fxyfyf（A） （B） （C） （D） )3xf()sinx2()logfx()tanfx7 命题“对任意的 ， ”的否定是R3210（A）不存在 ， （B ）存在 ，xxxR3210x（C）存在 ， （D）对任意的 ，xR3210xxR3210x8 某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13 秒与 19 秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成
3、绩大于等于 13 秒且小于 14 秒；第二组，成绩大于等于 14 秒且小于 15 秒；第六组，成绩大于等于 18 秒且小于 19 秒。右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。设成绩小于 17 秒的学生人数占全班总人数的百分比为 ，成绩大于等x于 15 秒且小于 17 秒的学生人数为 ，则从频率分布直方图中可分析出 和 分别为y y（A） （B） （C） （D） 0.9,350.9,450.1,350.1,459 下列各小题中， 是 的充要条件的是pq（1） 或 ； 有两个不同的零点。:2m62:3yxm（2） 是函数。():1;fx:()f（3） 。:cos;p:tantq（4） 。ABUC
4、BA（A） （B） （C） （D） (1),2(),3(),4(1),410 阅读右边的程序框图，若输入的 是 100，则输出的变量 S 和 T 的值依次是n（A） （B） （C） （D） 50,250,250,250,O 13 14 15 16 17 18 190.360.340.180.060.040.0211 在直角 中， 是斜边 上的高，则下列等式不成立的是ABCDAB（A） （B） 22C（C） （ D） 2()()BA12 位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 .质点 P 移动 5 次后位于点 的概率
5、1(2,3)为（A） （B） （C） （D） 51()2251()35()2235()C二 填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。答案须填在题中横线0,ST否 是开始 输 入 n Sn结束2?n输 出,ST0,ST1nTn1上。13 设 是坐标原点， 是抛物线 的焦点， 是抛物线上的一点，OF2(0)ypxA与 轴正向的夹角为 ，则 为_.FAx60OA14 设 是不等式组 表示的平面区域,则 中的点 到直线 距D2134xyD(,)Pxy10xy离的最大值是_.15 与直线 和曲线 都相切的半径最小的圆的标准20xy212540xyy方程是_.16 函数 的图象恒过定点
6、,若点 在直线log(3)(,)aaA上,其中 ,则 的最小值为_.10mxny0mn12三 解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分 12 分） 设数列 满足na21*13.,.3naaN(I)求数列 的通项;na(II)设 求数列 的前 项和 .,nbnbnS18（本小题满分 12 分）设 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量 表示方c和 程 实根的个数(重根按一个计).20xbc(I)求方程 有实根的概率 ;x(II) 求 的分布列和数学期望;(III)求在先后两次出现的点数中有 6 的条件下,方程方程 有实根的概率.20
7、xbc19（本小题满分 12 分）如图,在直四棱柱 中,已知1ABCD, , .12DCAB(I)设 是 的中点,求证: ;E11E平 面(II)求二面角 的余弦值.1C ED1 C1B1A1DCBA20 （本小题满分 12 分）如图,甲船以每小时 海里的速度向正北方向航行,乙船按固定302方向匀速直线航行,当甲船位于 处时,乙船位于甲船的北偏西 的方向 处,此时两船相1A1051B距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达 处时,乙船航行到甲船的北偏西 方向的 处,此2 22时两船相距 海里,问乙船每小时航行多少海里?10221 （本小题满分 12 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在
8、 轴上,椭圆 C 上的点到焦x点的距离的最大值为 3,最小值为 1.(I)求椭圆 C 的标准方程;(II)若直线 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆:lykxm过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 过定点,并求出该定点的坐标.l22（本小题满分 14 分）设函数 ,其中 .2()ln(1)fxbx0b(I)当 时,判断函数 在定义域上的单调性;0b()fx(II)求函数 的极值点;()fx(III)证明对任意的正整数 ,不等式 都成立.n2311l()n参考答案：DBDAAB，CADDCB13 【答案】: 21p14 【答案】: 4.15 【答案】:
9、. 22()()xy16 【答案】: 8。17【答案】: (I) 2113.,3naa213(2),n1().n().3na验证 时也满足上式，1*1().3naN(II) ，nb233.nnS231nn ，11nnnS113324nn18【答案】:（I）基本事件总数为 ，6若使方程有实根，则 ，即 。20bc2bc当 时， ；1c,345411.3当 时， ；2c3,456b当 时， ；当 时， ；c,当 时， ；56b当 时， ,c目标事件个数为 43219,因此方程 有实根的概率为20xbc.36(II)由题意知， ，则,1， ，7(0)36P21(),8P17(2)P故 的分布列为 0
10、 1 2P 7368736的数学期望1102.E(III)记“先后两次出现的点数中有 5”为事件 M， “方程 有实根” 为事件20axbcN，则 ， ，()36PM7()36N.()119【答案】:(I) 连结 ，则四边形 为正方形，BEDABE，且 ，1BEAD1为平行四边形，四 边 形.111DEABABD平 面 ， 平 面 ，1.平 面(II) 以 D 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，1,ACDxyz不妨设 ，则111(0)(,0)(,)(0,2)(,).BCA(,2),.B设 为平面 的一个法向量，nxyz1AD由 得 ，1,20xy取 ，则 .z(,1
11、)n设 为平面 的一个法向量，1,mxyzCBD由 得 ，,D120yzx取 ,则 .1z(,)3cos, .9mn由于该二面角 为锐角，11ABDC所以所求的二面角 的余弦值为113.20【答案】解如图，连结 ， ， ，12AB021203126A是等边三角形， ，12AB54在 中，由余弦定理得，221112cos0()00AB12.B因此乙船的速度的大小为 10263.答：乙船每小时航行 海里.3 21【答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为21(0)xyab，3,1ac2,13acb2.4xy(II)设 ，由 得12(,)(,)AxyB2143ykxm，22(34)8()0km， .61
12、3k20km212124(3),.xx2212121123(4)()()().kykmkxx以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，,0DABDk， ，121yx2112()4yxx，2223(4)(3)604mkmk，解得27160，且满足 .2,7k230k当 时， ，直线过定点 与已知矛盾；m:()lyx(,)当 时， ，直线过定点kk.7综上可知，直线 过定点，定点坐标为l2(,0).22【答案】(I) 函数 的定义域为 .2()ln1fxbx1,，()21bfx令 ，则 在 上递增，在 上递减，2()gxb()gx1,21,2.min1)当 时， ，2bmin(02gxb在 上恒成立.
13、()x1,0,f即当 时,函数 在定义域 上单调递增。12b()fx,（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当 时函数 无极值点.()fx（2）当 时， ，b21()f时，1,x0,fx时，,2(),f时，函数 在 上无极值点。1bfx1,（3）当 时，解 得两个不同解 ， .2()0f12bx12bx当 时， ， ，0b12bx212,此时 在 上有唯一的极小值点 .()fx,21bx当 时，102b12,x在 都大于 0 ， 在 上小于 0 ，()fx,()fx12,)此时 有一个极大值点 和一个极小值点 .f12bx21bx综上可知， 时， 在 上有唯一的极小值点 ；0b()fx1,21bx时， 有一个极大值点 和一个极小值点 ；102()f12b21时，函数 在 上无极值点。b()fx,（III） 当 时，12ln(1).x令 则33()(),hxfx在 上恒正，2 10,在 上单调递增，当 时，恒有 .()hx0, ,x()0hx即当 时，有 ，32ln(1)023l对任意正整数 ，取 得n1x23
