《吉林省2016届高三第五次模拟考试理数试题 含解析》由会员分享,可在线阅读,更多相关《吉林省2016届高三第五次模拟考试理数试题 含解析(23页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第卷(共 60 分)一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设 20,AxBa=-=-的一条渐近线与圆 ()22131xy+-=相切,则此双曲线的离心率为( )A 5 B2 C 3 D 2【答案】D考点:双曲线的性质,直线与圆的位置关系11. 在锐角 ABCD中, ,abc分别为角 ,ABC所对的边,满足 ()cos1csaBbA=+,且ABCD的面积 2S=,则 ()+cab-的取值范围是( )A ()8,- B 83,C 832,-D ()8,3【答案】A【解析】试题分析:由 ()cos1csaBbA=+结
2、合正弦定理得 sincosi(1cos)ABA,sininiA, in()B,因为 C是锐角三角形,所以,即 2,所以 90, 45, 2390, 3,3045B, C,考点:正弦定理,余弦定理,三角函数恒等变形【名师点睛】本题考查范围问题,题中必须有一个变量,上变量的范围是已知的或可求出对 ()()cab化简后知道与余弦定理联系起来此式化为 2(1cos)abC,结合三角形的面积, 也可化为角 C的函数,因此 ()()cab8in,从而只要求得角 的范围即得,首先三角形是锐角三角形,各角都是锐角,条件()cos1csaBbA=+化为角的关系得 2AB,从而很快得出三角形中角 B的范围,也即有
3、 C的范围12. 曲线 20fxa与 ()lngx=有两条公切线,则 a的取值范围为( )A 10,e B 1,e C ,+ D 1,+2e【答案】D【解析】试题分析:设 1(,)Pxy是 (f的切点, 2(,)Qxy是 (g的切点, ()2fxa,()gx,则直线切线为 11a, 221,即 21yx,221lnyx,由题意这两条直线重合,因此 12lnax,消法 1得2l04ax,由题意此方程有两个不等实根,记 2()l4hxxa,则23311()axh, 102xa时, ()0, 1时, ()0h,因此 2x时, min()()lnh,所以min11()()l2haa0,解得 12e故选
4、 D考点:导数的几何意义,导数的综合应用【名师点睛】两曲线的公切线问题,分别在两曲线设出切点坐标,如设 1(,)Pxy是 (f的切点, 2(,)Qxy是 (g的切点,利用导数的几何意义分别写出切线方程:11yf, 22()yfx,由这两条直线是同一条直线(即重合)得出 2,x的关系,并求出 1,本题中关于 12,的方程有两解,可转化为一个函数有两个零点,这又可利用导数来研究函数的单调性与极值从而得出结论第卷(共 90 分)二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)13. 已知实数 ,xy满足03-+,则 65yx-的取值范围是 【答案】 91,2-【解析】试题分析:作出可行
5、域,如图 ABC内部(含边界) , 65yx表示可行域内点 (x,y)与(5,6)P连线斜率, 86135PAk, 392Pk,所以 615考点:简单线性规划的非线性应用14. 在区间 0,1上随机取两个数 ,xy,则事件“ 12xy”的概率为 【答案】 +ln2考点:几何概型15. 过点 ()0,1M的直线 l交椭圆2143xyC+=:于 ,AB两点, 1F为椭圆的左焦点,当 1ABFD周长最大时,直线 l的方程为 【答案】 0xy+-=【 解析】试题分析:设右焦点为 2(1,)F,则 124AF, 124BF,所以1AFB28(),显然 2,当且仅当 2,A共线时等号成立所以当直线 l过点
6、 F时, 1AB的周长取最大值 8,此时直线方程为 1yx,即10xy考点:椭圆的定义【名师点睛】在涉及到圆锥曲线上的点到焦点距离的问题时,一般要联想圆锥曲线的定义,通过定义把距离转化,如通过第二定义转化为点到相应准线的距离,或者通过第一定义把到一个焦点的距离转化为到另一个焦点的距离,从而便于求得最值16. 已知动点 P在棱长为 1 的正方体 1ABCD-的表面上运动,且()03Ar=,满足 ()1nnafN*+=,且 2587a=(1)求数列 na的通项;(2)若数列 b的前 项和为 nS,且 nb,求 nS【答案】 (1) 2()3na;(2)1293nnS考点:等比数列的通项公式,分组求
7、和,等比数列与等差数列的前 n项和18. (本小题满分 12 分)为配合 4 月 23 日“世界读书日” ,某校将 4 月 18 日-4 月 24 日定为学校读书周,并从全校学 生中随机抽取 n名学生,获得了他们一周课外读书时间(单位:小时)的数据如下:(1)求 n的值及该校读书周人均读书时间估计值;(2)如果按读书时间 (0,612,8用分层抽样的方法从 n名学生中抽取 20 人,再从这 20 人中随机选取 3 人,记 X为课外读书时间落在 (12,8的人数,求 X的分布列和数学期望;(3)将样本频率视为概率,从该校学生中随机选取 3 人,记 Y表示课外读书时间落在(12,8的人数,求 Y的
8、分布列和数学期望【答案】 (1) 20n,估计值:7.78;(2)分布列见解析,期望为 310;(3)分布列见解析,期望为 3(2)由题意,抽取的 20 人中课外阅读时间落在 (12,8的人数为 20=0,12X=()032186=95CPX= ()1283059CPX= 21830所以 X的分布列为0 1 2P3695390因此, 11EX=+= (3)由题意,在从该校学生中随机选取一名学生,该周课外读书时间落在 (12,8的概率为20则 ,13Y=,且 13,0YB:, ()()33190,1230kkPYkC-=所以 的分布列为0 1 2 3P72943701因此, ()1EY=考点:频
9、率分布表,随机变量分布列及数学期望,二项分布19. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 PABCD-中, PABCD底 面 ,ABCD底 面是直角梯形, ,22,4AB=:, E为线段P上一点(1)求证: EACPB平 面 平 面 ;(2)若二面角 -的余弦值为 63,求 EP的值【答案】 (1)证明见解析;(2) 1【解析】试题分析:(1)证明面面垂直,就是要证线面垂直,也即要证线线垂直,从图形中看特别是梯形 ABCD中可证得 BC,再有 PA,从而 C就是线面垂直的“线” ,由此可证;(2)本小题是与二面角有关的问题,可建立适当的空间直角坐标系,利用空间向量的方法求得二面角,从而确定比
10、值这里以 为 z轴, D为 y轴,建立坐标系,可以很快地写出各点的坐标法二:由(1)知, PCE为二面角 ACE-的平面角,因此 6cos3PCE=()2166coscs 34ll=-+,整理得: 23+-10l,解得 l或 3,由 0l得 1l,即 =BP3考点:面面垂直的判断,二面角【名师点睛】利用平面的法向量求二面角的大小时,二面角是锐角或钝角由图形决定由图形知二面角是锐角时 cos 12n;由图形知二面角是钝角时,cos 12n.当图形不能确定时,要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,从而确定二面角与向量 12,n的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部,另一个平面的法向量指向
11、二面角的外部),还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部),这是利用向量求二面角的难点、易错点20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 ()20ypx=,过点 ()5,2M-的动直线 l交抛物线于 ,AB两点,当直线 l的斜率为-1 时,点 恰为 AB的中点(1)求抛物线的方程;(2)抛物线上是否存在一个定点 P,使得以弦 为直径的圆恒过点 P,若存在,求出点P坐标,若不存在,请说明理由【答案】 (1) 24yx;(2)存在点 ()1,2满足题意考点:抛物线的标准方程,直线与抛物线相交,抛物线中的存在性问题【名师点睛】直线与圆锥曲线相交问题,一般都不直接求出交点坐标,而是设交点为 1
12、2(,)(,)AxyB,同时设直线方程为 (2)5xmy,并代入圆锥曲线方程,整理 后得出 (或 12,x) ,把它们用直线方程中的参数 表示出来,然后把已知条件如 0P( 或斜率,或弦长等)用 12,y表示后,并代入 12,y,从而转化为参数 m的关系,再分析得出结论21. (本小题满分 12 分)已知函数 ()2lnfxax=-+, 12,是函数 ()fx的两个零点,且 12x,当 ()0,x时, (fx单调递增;当 ()0,x+时,()fx单调递减;(2) (1,);(3)证明见解析(2)由于函数 ()fx存在两个零点, ()max0f由(1)可知 200max=lnff-+,且201x-=()22000axln1l1f x=-+由于 0g在 (), 为增函数,且 ()01gx, ,2001=xax-所以 的取值范围是 ()+,要证明 120xf+设 21xt=,构造函数 ()()()224ln, 0t ththtt- -=-+()ht在 +, 单调递增, 21l0tt-2121lnx-+, 120xf+的解集;(2)对任意实数 ,不等式 2fxa-成立,求实数 a的取值范围【答案】 (1) 28或x-;(2) 15考点:解绝对值不等式,不等式恒成立