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1、偏微分方程与特征线1 函数空间的矢量场给定一个矢量场 ，就在空间定义了曲线簇。比如，经过 点的积分曲线ixiv)( 0x就可以描述为下列常微分方程的初值问题，)(xiivn,.10这些积分曲线就构成了曲线簇。如果形式地写出这个曲线来就是 xvtxtxttx)ep(.)!321.)(32此处 x 是 0 时刻位置，v 是作用于 x 的微分算符。这些曲线，将空间点分成了类，也就是说每条曲线上的点属于一类。曲线集合的维数是 n-1 维。矢量场的可积性那么给定两个矢量场，就会产生两簇曲线，这两簇曲线能否组成面簇呢？我们先看看从一点出发的曲线是否在一个曲面上的条件：从 x 点出发的依此沿两簇直线运动的点
2、若能回到来，就可以认为可以组成面。即 xvducvbua)ep(x)ep(x如果 a,b,c,d 都是 1 级以上的小量，这个表达式有二级以上的精度，就可以找到这样的a,b,c,d,使得方程精确满足。按照各级展开，有一级 0a1dbc二级 vdbucavua)()()( 221 由此，得到条件 vv,这就是两个矢量能够构成 2 维子空间（曲面）的条件，著名的 Frobenius 定理。n 个矢量积分形成 n 维积分只空间的条件是，任意两个矢量的对易可以写成这 n 个矢量组合。可以按照下图进行直观理解uvv满足 Frobenius 定理的两个矢量，能够形成二维子空间（二维曲面）不满足 Frobe
3、nius 定理的两个矢量，不能形成二维子空间给定 m 个矢量场，他们线性组合能够形成新的矢量场。组成的矢量场空间一般称为分布。 ,是 任 意 函 数iiav这个分布中任意两个矢量场对易仍然在这个分布之内，这样满足 Frobenius 定理的分布称为闭分布， ,他们积分可以给出 m 维积分子流形。单参数李群一个矢量场可以构造单参数李群，一个闭分布可以构造李群。我们先看一下单参数李群的表现，它将 1 维参数空间（物理上经常是时间） ，映射为群空间。群元素可以形式地写为算符形式 )exp(vtgt在表示空间中也可以写为函数变换 ),(tt这个函数变换是常微分方程的初值问题的解 xtvtt)0,(),
4、(当然这个函数满足如下关系),(),(tsxfstxfgtst 比如平移群 表示为 ，epa )()exp()( axfafga 再如 转动群 表示为(rng )(rrnfrf单参数李群定义了参数空间和实际空间上的变换关系和函数变换关系。微分形式一个函数描述为 ),.()1nxfxu可以看做 自变量空间到变量空间的映射 uRn:在自变量和因变量联合空间中，可以看做一个超曲面。如果给自变量微小改变 ，因变量也有相应的改变dxdxf,上面下标逗号表示求导。如果想计算某个方向的导数，仅需要将相应 dx 改成相应的矢量分量就可ixvfi,这就是微分形式。微分形式不再依赖坐标。因此可以认为是客观量。一般
5、 1 微分形式可以描述为 iidx)(不同坐标空间上的微分形式可以通过拉回映射表达出来 )(,:yNMnm那么 空间上的微分形式可以通过映射 拉回到 空间上的微分形式n *mMjiyiii dxydxj)()()(* 微分形式可以与矢量作用， ivi因此可以将微分 1 形式想象成线元积分场，给定空间某点上一个线元，就给一个值。当然，给定一条曲线，就可以给一个积分值一条曲线可以描述为一维空间 向 n 维空间 上的映射1TnN)(,:1txNTlnliid*微分形式的外积两个微分形式 ，相当与两个线元积分场。用这两个线元积分场可以构造一个面元积分,场，要求面元大小和方向固定时，这个值是不变的。要求
6、 vuuvii因此， jijijijji dxdx)(21外微分观察微分形式 沿无穷小闭合回路（围出来无穷小面元）的积分值，这可以定义为无穷小面元上的函数（2 微分形式）jijdxd,jijx,k 形式对微分形式进行外积或者外微分都可以变成 2 形式，3 形式， 。 。 。对于 m 微空间，可以证明，最高阶是 m 形式。微分形式的可积性很明显，如果 ，那么有df0一个问题就是如果 ，那么能否有 ，很明显 。也就是说，如果adf微分形式 沿无穷小闭合回路（围出来无穷小面元）的面元积分场是由原来的面元积分场合成的，这个线元积分场就可以写成全微分乘以一个因子形式。另一个问题是给定一些微分形式 ，能否
7、判定任意一个微分形式的外微分可,.1n以表达为这些微分形式的组合形式？答案是： 01nd可以很容易证明这个表达式将 扩充后，形成余切空间 的完备基,. *TM,.11, nmn那么 ，d可以肯定 ，这是关于 的线性方程，由于 独立，这个方程01nn1只有 0 解。因此 d我们再看能使 拉回到 0 的映射 ，,.1n0*能否找到 ，使得上式成立呢？mnMN:这就是 Frobenius 定理的另一种描述，当任意 ，都有 时，可以找到01nd，将 推回到 0.mn:,.1n其实 就很能说明问题，几何上讲，绕任意无穷小回路对 求和后，都可d 以表达为 的组合形式。因此，使得某点的 为 0 的切向场，,
8、. ,.1n也可连续延拓到别处。这样的切向量场的积分曲面就是映射形成的曲面。表达为 ,.10:nivV在 V 中，可以找到相互对易的 m-n 个矢量 ，映射可以形式地表示为,.1nmwxxMNmn )ep()(,: 很明显 0)()()()(* , dxwdd iiiiii这些矢量 就构成了方程 的特征矢量。,.1nw,.10n微分形式组成的理想如果给定生成元 ，我们将,.成为生成元生成的理想。很明显任意形式0, 形 式是 任 意 形 式 ， 包 括I（包括函数，0 形式） ，只要和理想中的元相乘（外积） ，都会变成理想中的元素，即。这和常讲的理想意义差不多。I借用理想概念Frobenius
9、定理表达为一个外微分理想 的具有最大零化子空间的条件是IId偏微分方程（组）表达为 ，可以理解为函数偏导数的约束关系。0,.),(xuFHamilton 力学 LHqptqtt,比如流体（固体）方程，其中0)21()21(0)( vvvEEtt ,Eu再加上本构方程和状态方程才会封闭。电磁学 Maxwell 方程，其中0BEDHtjEB,u或者在真空场写为 Fj，其中A,Au加上电磁学本构和电流方程才会封闭。量子力学的薛定谔方程，其中)(2(rVmitu相对论电子运动的狄拉克方程 0)(ci刘维尔方程 pqptqH,it相对论电磁学 eAvcmL2201/ 2240220 )(/ eApcmH
10、22402240 )()(eApcmepcv切触空间为了从几何上描述偏微分方程的意义我们定义切触空间。我们定义：自变量 的空间称为域空间xD自变量 ，因变量 构成的空间称为图空间uG自变量 ，因变量 ，和因变量对自变量的导数 ，构成的空间 叫做切触空间 。p,puxK切触空间是对图空间的拓展。带来一些自然结构，即切触形式 iuC任何函数 ，扩充为到切触空间的映射),(,:uGM,:xK都会满足切触关系 0C这样，一阶偏微分方程组描述为 ),(uxFPEiii 如果一个映射满足 ，这个映射就是 的解。*PE0PE同样地可以定义高阶切触空间.jiii iCu高阶偏微分方程表示 ,.,.),(iij
11、i CuxFPE方程解是满足 0*的映射。一阶偏微分方程（组）的特征线一阶偏微分方程 ),(pdxuxFPE为了寻找它的解法，我们寻找合适的微分形式，对函数微分，得到 ,1 pdxuFpux很自然地想到微分形式组合的特性矢量，就是 的矢量。这里有一个问题需0:1PEiw要解决， 封闭吗？也就是说是否满足 ？1PE)(1I很明显 ，但是 并不在理想中，因此 的矢量，有0dFdpxC0:1iw可能不能够积分出一个子空间来，因此不是偏微分方程的解。是封闭的，定义,2 uFu)(), dpxdIPEx 的矢量就是偏微分方程的特征矢量，它们的积分组成偏微分方程的):iw解。我们考虑只有一个因变量情况 的
12、偏微分方程的0),(iipuxH),() , dpxddxIPEu 设 是上述理想的特征矢量ii xupcbaw因此， ，可以描述为iiii pax)(pdudHpu,线性组合的形式。消去 的项，得到，ipiuixxii , 因此可以选 ，再有 ，得到iipi iuHca,)( 0)(iiwcpbdxui ipHb,因此 upixppiux iiiii Hw, )(因此特征线可以采用常微分方程积分iiipi iuxHu,)(如果 当成作用量，H 当成 Hamilton 量，x 粒子位置，p 粒子动量，这正是经典粒子运动方程。李导数一个由矢量 形成的单参数李群可以表述为 的映射，也是 的ixv
13、mMmMR映射 。对于一个函数 ，这个映射可以将其拉回到xvttt)ep(),(: )(xf，即 ，后者可以方便地用算符运算验证)(*txf )e(*vtfxft )(ep1)p1)e()ep(ep xvtftxvtvv 我们计算函数的无穷小变换即李导数 dfixftfxfLvv )()也就是说，函数的李导数就是其方向导数对于微分形式 ，id)(exp)(e)(*vtvtxiti)( )()()()(epv vviiivii ii iivdi didxxtdvL 这个公式也可包含前一个，只要认为 就可以了，因此0fivvviL可以证明，李导数满足莱布尼兹法则 vvv L)(接着我们推导矢量场的
14、李导数 ixu在 处的矢量要与 处的矢量比较，首先必须通过映射将其映射到 x 点上，映射是t，这个映射诱导的映射只能将 处的矢量推向 。因此采用这个映射xvtxt)ep(xt的逆映射将 处的矢量推向 。txxtt xvx)ep(:,)()(*()(vuuvtxxtuLixjixj ixji iiv ii ii微分方程的对称性对于在切触空间中微分形式理想 I 表达的微分方程，如果存在坐标变换（映射）使得 I 不变，这个变换就是微分方程的对称性。我们考虑一种连续变换，它形成单参数李群，写为 )exp(,)(,)(exp),(: VtutVtuxt K其中 表示切触空间中的矢量。iixV因此我们需要研究这个的无穷小变换将微分形式如何改变。实际上如果 I 的李导数仍然属于 I 就可以保证李变换是微分方程的对称变换。CALuVi iiiiii iVv dVpddx )( )()(ixu对比 ， , 的系数，可以得到jpi0ijijVAj)( ijii p约去系数 A, )()()( jiijjii VpDVVpV 0ijij由上式兼容性，可以得到 与 的依赖关系i
