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1、海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（理科） 2008.04本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 9 页，共 150 分. 考试时间 120 分钟.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第 I 卷 （选择题共 40 分）注意事项 ：1答卷前将学校、班级、姓名填写清楚.2选择题的每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑.其它小题用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.一、选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分, 共 40 分 .在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.（1 ） 的值等于（ ）2)(
2、i（A）1 （B）i （C） （D）1i（2 ）若 是ABC 所在的平面内的一点，且满足 ，则ABCO0BOCAurru一定是（）（A）等边三角形（B ）斜三角形（ C）等腰直角三角形（D）直角三角形（3 ）若函数 的定义域为 Mx| 2x2，值域为 Ny |0y2, 则函数()yfx的图象可能是（）（4 ）若集合 ，集合 ，则“ ”是“ ”的（）21,Am2,4B2m4AB（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（5 ）已知圆 上任一点 ，其坐标均使得不等式 0 恒成221xyP,xyxym立，则实数 的取值范围是（）m（A） （B ） （
3、C） (D)1,13,3（6 ） 2007 年 12 月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧.为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤.某铁路货运站对 6列电煤货运列车进行编组调度，决定将这 6 列列车编成两组，每组 3 列，且甲与乙两列列车不在同一小组.如果甲所在小组 3 列列车先开出，那么这 6 列列车先后不同的发车顺序共有（）（A）36 种（B）108 种（C ）216 种（D）432 种（7 ）直线 l 过抛物线 的焦点 F，交抛物线于 A，B 两点，且点 A 在 x 轴上方，若直xy2线 l 的倾斜角 ,则| FA|的取值范围是 （）4（A）
4、 （B） （C） （D）)23,12(,3,41( 21,4(8) 定义在 R 上的函数 满足 为 的导函)(xf()f)(xff数，已知函数 的图象如右图所示.若两正数 满足yba,，则 的取值范围是（）1)2(baf2a（A） （B ） （C） （D）,31(,)3,1(,3)2(,3)xyO海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）2008.04第 II 卷（共 110 分）注意事项：1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.2答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在题中横线上.（9 ）若双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 =_
5、.192yax0a023yxa（10 ）若 ，且 ，则 .23*1 ,n nxN 12:3n（11 ）在北纬 60圈上有 A， B 两地，它们在此纬度圈上的弧长等于 ( 是地球的半径)，R则 A，B 两地的球面距离为 _.（12 ）若向量 a，b 满足： = ，且|a |=2，|b|=4 ，则 a 与 b 的夹角等于.2b4（13 ）已知点 在曲线 上，如果该曲线在点 处切线的斜率为 ，那P2,3yaxP9么 ；函数 ， 的值域为_.f,2（14 ）数列 满足： ，则 =；若 有一个形an112,(,34)nna 4an如 的通项公式，其中 A,B, , 均为实数，且 ，si()nAB0A，
6、，则此通项公式可以为 =（写出一个即可） .02na三题号 一 二（15） （16） （17） （18） （19） （20） 总分分数三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明 ,演算步骤或证明过程.（15 ） （本小题共 12 分）已知在ABC 中， ，且 与 是方程 的两个根.ABtanBt 0652x（）求 的值;)tan(（）若 AB ，求 BC 的长 .5（16 ） （本小题共 13 分）袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球（）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；（）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记 为摸出两球中白球的个
7、数，求 的期望和方差.（17 ） （本小题共 14 分）EA BCDP如图，四棱锥 中， 底面 ， 底面 为PABCDABCDPABCD梯形， ， . ，点 在棱 上，且 /ABE2E（）求证：平面 平面 ；（）求证： 平面 ；E（）求二面角 的大小（18 ） （本小题共 14 分）设数列 的前 项和为 ，已知nanS1,2(1),23).naSn（）求证：数列 为等差数列，并分别写出 和 关于 的表达式；nanaS（）求 ；1231limn na（）是否存在自然数 ，使得 ?若存在，求 的值；40321nSS n若不存在，说明理由.（19 ） （本小题共 13 分）已知点 分别是射线 ， 上
8、的动点， 为坐标,AB1:0lyx 2:0lyx O原点，且 的面积为定值 2OAB（I）求线段 中点 的轨迹 的方程；MC（II）过点 作直线 ，与曲线 交于不同的两点 ，与射线 分别交于0,Nl ,PQ12,l点 ，若点 恰为线段 的两个三等分点，求此时直线 的方程,RSPQRSl（20 ） （本小题共 14 分）一个函数 ，如果对任意一个三角形，只要它的三边长 都在 的定义fx ,abcfx域内，就有 也是某个三角形的三边长，则称 为“保三角形函,fabfcfx数”（I）判断 ， ， 中，哪些是“ 保三角形函数”，哪些不1fx2fx23fx是，并说明理由；（II）如果 是定义在 上的周期
9、函数，且值域为 ，证明 不是“保三gR0,gx角形函数”；（III）若函数 ， 是“保三角形函数”，求 的最大值sinFxx0,AA（可以利用公式 ）i2sincos2xyy海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）参考答案及评分标准 2008.04一、选择题（本大题共 8 小题 ,每小题 5 分,共 40 分.）题号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)答案 C D B A A C D C二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分.有两空的小题，第一空 3 分，第二空 2 分，共30 分）（9 ） （10）7（11） （12） （13）23R1203,218（1
10、4 ）2， （ ）sinnkankN（注意：答案不唯一，如写成 即可）21)3si(nan三、解答题（本大题共 6 小题 ,共 80 分.）（15 ） （共 12 分）解：（）由所给条件，方程 的两根 . 2 分0652xtan3,tAB 4 分tanttan()1ABB6 分23() , .80C)(A由（）知， ，1tantB 为三角形的内角， 8 分2siC ， 为三角形的内角， ， 10 分tan3A3in10A由正弦定理得： 11 分siiBC . 12 分535210B（16 ） （共 13 分）解：（）记“摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不同 ”为事件 A，摸出一球得白球的
11、概率为 ，25摸出一球得黑球的概率为 ， 4 分35 P（A） 5 分212.答：两球颜色不同的概率是（）由题知 可取 0，1，2， 6 分依题意得， 9 分332321(),(),()54545540PPP则 ，11 分1010E13 分22233195550.D答：摸出白球个数 的期望和方差分别是 ， .42（17 ） （共 14 分）证明：（）PA 底面 ABCD， PABC又 ABBC， ，A 平面 2 分又 平面 ，平面 平面 4 分PB（）PA 底面 ABCD，AC 为 PC 在平面 ABCD 内的射影又 PCAD，ACAD 5 分在梯形 中，由 ABBC，AB=BC ，得 ，AB
12、CD4BAC 4又 ACAD，故 为等腰直角三角形 22A连接 ，交 于点 ，则 7BDCM2.DCB分在 中， ，P2E /又 PD 平面 EAC，EM 平面 EAC，HNPBCEMEA BCDPHNPD平面 EAC 9 分（）在等腰直角 中，取 中点 ，连结 ，则 PABNANPB平面 平面 ，且平面 平面 = ，CPBC N平 面在平面 内，过 作 直线 于 ，连结 ，由于 是HEH在平面 内的射影，故 AHEBA 就是二面角 ACEP 的平面角 12 分在 中，设 ，则 ，RtPCa2BAa， ， ，123BE16NE213CEB由 ， 可知： ，HH .C代入解得： 2aN在 中， ， 13 分RtAHtan1ANH即二面角 ACEP 的大小为 14 分rct1解法二：（）以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴，如图建立空间直角坐标,Byz系设 ，则 ， ， ， ，PACa0,A,0Ba,C0,Pa.20,3aE5分设 ，则,Dy，,0CPaAayurur， ，解得：2ryaDCAB连结 ，交 于点 ，BDACM则 .7 分2在 中， ，PEB /又 PD 平面 EAC，EM 平面 EAC，PD平面 EAC 9 分（）设 为平面 的一个法向量，则 ，1,xynEAC11,ACEurrn02.3a
