《北京市朝阳区2017届高三上学期期末统一考试数学（文）试题含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市朝阳区2017届高三上学期期末统一考试数学（文）试题含解析（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、北京市朝阳区 2016-2017 学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（文史类） 2017.1（考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集 ，集合 ， ，则UR1Ax20Bx()ABA. B. |2x|xC. D. 1|22.复数 iA. 2 i B. 2 2i C. 1+i D. 1 i 3已知非零实数 ， 满足 ，则下列不等式中一定成立的是abA. B. C. D. 0
2、1ab2ab30ab4. 已知平面向量 ， ，则 与 的夹角为(,)a3(,)2A. B C. D. 665.已知 ，且 ，则“函数 在 上是减函数”是“函数 在 上是增函0a1xyaR3(2)yaxR数”的（ ）A. 充分而不必要条件 B必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 已知双曲线 ， 的左、右焦点分别是 ， ，M 是双曲线上的一点，12byax0(a)b1F2且| | ，| |=1， ，则该双曲线的离心率是1MF32321FMA B C D 或13132131327某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为A. B. 2323C
3、. D.48某校高三（1）班 32 名学生参加跳远和掷实心球两项测试。跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为 26 人和 23 人，这两项成绩均不合格的有 3 人，则这两项成绩均合格的人数是A.B. C. D.23202119第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上. 9已知等差数列 前 n 项和为 .若 ， ，则 =_， .anS12a3aS210S10圆 C： 的圆心到直线 的距离是 20xy41xy11执行如图所示的程序框图，则输出 的结果为_.12在 中，已知 ，则 . ABC45,2ACB12俯视图正视图
4、 侧视图1开始 0,1Si是否6?i输出 S结束2Si13设 D 为不等式组 表示的平面区域，对于区域 D 内除原点外的任一点 ，则0,+3xy (,)Axy的最大值是_， 的取值范围是_.2xy2xy14. 甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖。有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖” ；乙说：“ 甲、丙都未获奖” ；丙说： “丁获奖”；丁说：“ 丙说的不对”。若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题满分 13 分）已知函数 .2()23sincos1fxxx（）求 的最小正
5、周期；（）求 在区间 上的最大值和最小值.()fx,6416. （本小题满分 13 分）已知等比数列 的各项均为正数，且 ， na24a342a（）求数列 的通项公式；（）若数列 满足 ， ，且 是等差数列，nb1326bn求数列 的前 项和.17. （本小题满分 13 分）甲、乙两位学生参加数学文化知识竞赛培训。在培训期间，他们参加的 5 次测试成绩记录如下：甲： 82 82 79 95 87乙： 95 75 80 90 85（）用茎叶图表示这两组数据；（）从甲、乙两人的这 5 次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙的成绩高的概率；（）现要从甲、乙两位同学中选派一人参加正式比赛，从统计学的角
6、度考虑，你认为选派哪位同学参加合适？并说明理由18. （本小题满分 14 分）如图，四边形 是边长为 的正方形，平面 平面 ，ABCD2ABCDEF, /,AFE,E1AF（）求证： 平面 ；（）求证： 平面 ；/（）求三棱锥 的体积CD19. （本小题满分 13 分）在平面直角坐标系 中，动点 与两定点 , 连线的斜率乘积为 ，记xOyP(20)A(B12点 的轨迹为曲线 .PC（）求曲线 的方程；（）若曲线 上的两点 满足 , ，求证： 的面积为定值.,MN/P/ONBMN20. （本小题满分 14 分）设函数 .2()1e,xfaR（）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；a()yf1,(
7、)f（）若函数 有两个零点，试求 的取值范围;()fx(III)设函数 当 时，证明 .lne,xg0a()0fxgFAD CBE详细答案部分1.【考点】集合的运算【解析】由 ， ，由 得 ，则，故选 C.【答案】C2.【考点】复数综合运算【解析】 ，故选 D.【答案】D3.【考点】不等式的性质【解析】令 ， ，A 不成立； ，B 不成立，令 ，C 不成立； ，则 ，D 成立，故选 D.【答案】D4.【考点】数量积的定义【解析】 ， ， 与 的夹角为 ，故选 B.【答案】B5.【考点】充分条件与必要条件函数的单调性与最值【解析】函数 在 上是减函数，则 ，函数 在 上是增函数，则，解得 ，所以
8、 时满足 ，“函数 在 上是减函数”是“函数在 上是增函数 ”的充分条件， 时，不一定有 ，故“函数 在上是减函数”不是“ 函数 在 上是增函数”的必要条件，故答案为 A。【答案】A 6.【考点】双曲线【解析】| | ，| |=1， ，若 为直角三角形， ，故， ，若若 为钝角三角形，则有 ， ， ，故答案为 D.【答案】D7.【考点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【解析】还原三视图后放到长方体里如图所示， ， ， ， 为四棱锥的高体积为 ，故答案为 C.【答案】C8.【考点】集合的运算【解析】设跳远和掷实心球测试都合格的为 人，则 ，解得 ，所以选 B.【答案】B9.【考
9、点】等差数列【解析】设等差数列 的公差为 ，则 ，即 ， ， ， ，故答案为 4，110.【答案】4，11010.【考点】直线与圆的位置关系【解析】圆 C 化成标准方程为 ，圆心为 ，到直线的距离，故答案为：3.【答案】311.【考点】算法和程序框图【解析】执行程序，判断 ，是，进入循环；，判断 ，是，进入循环；，判断 ，是，进入循环；，判断 ，否，输出故答案为：30【答案】3012.【考点】解斜三角形【解析】由正弦定理 ，所以 ，解得 ，则 ，所以.故答案为 105.【答案】10513.【考点】线性规划【解析】画出可行域如图所示令 ， ，当直线过 点是 有最大值，联立 ，得 ，代入 ；第二空
10、：解法一、由图可知 ，令 ，则 ， ，当 时，有最小值，代入得 ，故 的取值范围为 .解法二、如图当点 在与 平行的直线 ： 上运动时， 为（负）定值，故对每一个 ，这道当 落在与 的交点时，与原点的距离最小，从而 取得最小值；当 变化时， 与 的交点在 上运动，此时 ，故 = ，为常数，综上知道， 的最小值在线段 上取到，最小值为 ，而最大值在线段上取到，最大值为 0，故 取值范围为 .解法三：注意到所求为一次齐次式，可以考虑分子分母同除以 ，当 时，得到 ；当 时，得到 ，这里 为原点与点 的直线的斜率，容易得到 ，从而上述 的取值范围为 ；当 是，得到 这里 为原点与点 的直线的斜率，容
11、易得到 ，从而上述 的取值范围为 ；综上所述，知道 取值范围为 .解法四：设 ，令 ， ，由 在可行域内， ，故 .【答案】 ，14.【考点】合情推理与演绎推理【解析】若甲获奖，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，满足题意，故答案为:甲.【答案】甲15.【考点】三角函数综合【解析】（）因为所以 的最小正周期为 .（）因为当 时， 取得最大值 ；当 取得最小值 .【答案】见解析16.【考点】数列综合应用【解析】（）解：设等比数列 的公比为 ，依题意 因为两式相除得： ，解得 ， (舍去)所以 所以数列 的通项公式为 （）解：由已知可得 ， ，因为 为等差数列，所以数列 是首项为 ，
12、公差为 的等差数列所以 .则 .因此数列 的前 项和：.【答案】见解析17.【考点】概率综合【解析】（）作出茎叶图如下；（）记甲被抽到的成绩为 ，乙被抽到成绩为 ，用数对 表示基本事件：基本事件总数 设“甲的成绩比乙高” 为事件 A,事件 A 包含的基本事件：事件 A 包含的基本事件数 所以， （）派甲参赛比较合适，理由如下：，因为 ，所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适【答案】见解析18.【考点】立体几何综合【解析】（）因为平面 平面 ，平面 平面 ，且 ，所以 平面 .因为 平面 ，所以 又因为四边形 为正方形，所以 因为 ，所以 平面 （）设 ，因为四边形 为正方形，所以 为 中点设
13、为 的中点，连结 ，则 ，且 由已知 ，且 ，则 且所以四边形 为平行四边形.所以 ，即 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 （）由（）可知 平面 ，因为 ，所以 平面 ，所以 又因为四边形 为正方形，所以 ，所以 平面 由（）可知， 平面 ，所以，点 到平面 的距离等于 点到平面 的距离，所以 因为 所以故三棱锥 的体积为 【答案】见解析19.【考点】圆锥曲线综合【解析】（）设 ，则 ，整理得 .（）依题直线 的斜率乘积为 .当直线 的斜率不存在时，直线 的斜率为 ，设直线 的方程是 ，由得 ， .取 ，则 .所以 的面积为 .当直线 的斜率存在时，设方程为 .由 得， .因为 ， 在椭圆
14、上，所以 ，解得 .设 , ,则 ， ；所以.设点 到直线 的距离为 ，则 .所以 的面积为 .因为 , ，直线 , 的斜率乘积为 ，所以 .所以由 ，得 .由，得 .【答案】见解析20.【考点】导数的综合运用【解析】（）当 时，函数 ，因为 ，所以 .又则所求的切线方程为 .化简得： .（）因为当 时，函数 只有一个零点；当 ，函数当 时， ；函数当 时， .所以 在 上单调递减，在 上单调递增.又 ， ，因为 ，所以 ，所以 ，所以取 ，显然 且所以 ， .由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点.当 时，由 ，得 ，或 .若 ，则 .故当 时， ，所以函数 在 在单调递增，所以函数 在至多有一个零点.又当 时， ，所以函数 在 上没有零点.所以函数 不存在两个零点.若 ，则 .当 时， ，所以函数 在 上单调递增，所以函数 在至多有一个零点.当 时， ；当 时， ；所以函数 在 上单增， 上单调递减，所以函数 在 上的最大值为 ，所以函数 在 上没有零点.所以 不存在两个零点.综上， 的取值范围是（）证
