《北京市朝阳区2016届高三二模理科数学试卷含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市朝阳区2016届高三二模理科数学试卷含解析（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2016 年北京市朝阳区高三二模理科数学试卷一、单选题（共 8 小题）1已知集合 ， ，则 （ ）A BC D2复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限3执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ ）A6 B10 C14 D154已知非零向量 ， ， “ ”是“ ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5同时具有性质:“最小正周期是 ；图象关于直线 对称；在区间 上是单调递增函数”的一个函数可以是（ ）A BC D6已知函数 且 的最大值为 ，则 的取值范围是（ ）A B C D7某学校高三年级有两个文
2、科班，四个理科班，现每个班指定 1 人，对各班的卫生进行检查若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是（ ）A B C D8已知正方体 的棱长为 2， 是棱 的中点，点 在正方体内部或正方体的表面上，且 平面 ，则动点 的轨迹所形成的区域面积是（ ）A B C D二、填空题（共 6 小题）9.双曲线 的渐近线方程是；若抛物线 的焦点与双曲线 的一个焦点重合，则 _10.如图， 为 外一点， 是 的切线， 为切点，割线 与 相交于两点，且 ， 为线段 的中点， 的延长线交 于点 若，则 的长为_； 的值是_11.已知等边 的边长为 3，
3、是 边上一点，若 ，则 的值是_12.已知关于 的不等式组 所表示的平面区域 为三角形区域，则实数 的取值范围是_13.为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资 60 万元建了一个蔬菜生产基地.第一年支出各种费用 8 万元，以后每年支出的费用比上一年多 2 万元.每年销售蔬菜的收入为 26 万元.设 表示前 年的纯利润（ =前 年的总收入前 年的总费用支出投资额） ，则 _（用 表示） ；从第_年开始盈利.14.在平面直角坐标系 中，以点 ，曲线 上的动点 ，第一象限内的点 ，构成等腰直角三角形 ，且 ，则线段 长的最大值是_三、解答题（共 6 小题）15.在 中，角 ， ， 的
4、对边分别是 ， ， ，已知 ，()求 的值；（)若角 为锐角，求 的值及 的面积16.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映某区域道路网在某特定时段内畅通或拥堵实际情况的概念性指数值交通指数范围为 ，五个级别规定如下：某人在工作日上班出行每次经过的路段都在同一个区域内，他随机记录了上班的 40 个工作日早高峰时段(早晨 7 点至 9 点) 的交通指数(平均值) ，其统计结果如直方图所示（）据此估计此人 260 个工作日中早高峰时段（早晨 7 点至 9 点）中度拥堵的天数；（）若此人早晨上班路上所用时间近似为：畅通时 30 分钟，基本畅通时 35 分钟，轻度拥堵时 40 分钟，中度拥堵时 50
5、 分钟，严重拥堵时 70 分钟，以直方图中各种路况的频率作为每天遇到此种路况的概率，求此人上班路上所用时间 的数学期望17.如图 1，在等腰梯形 中， ， ， ， 为中点，点 分别为 的中点将 沿 折起到 的位置，使得平面 平面 （如图 2） （）求证： ；（）求直线 与平面 所成角的正弦值；（）侧棱 上是否存在点 ，使得 平面 ?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由18.已知函数 ， （）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；（）当 时，若曲线 上的点 都在不等式组 所表示的平面区域内，试求 的取值范围19.在平面直角坐标系 中，点 在椭圆 上，过点 的直线 的方程为 （）求椭圆 的离心率
6、；（）若直线 与 轴、 轴分别相交于 两点，试求 面积的最小值；（）设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 与点 关于直线 对称，求证：点三点共线20.已知集合 ，且 若存在非空集合，使得 ，且 ，并，都有 ，则称集合 具有性质 ， （）称为集合 的 子集（）当 时，试说明集合 具有性质 ，并写出相应的 子集 ；（）若集合 具有性质 ，集合 是集合 的一个 子集，设 ，求证： ， ，都有 ；（）求证：对任意正整数 ，集合 具有性质 答案部分1.考点：集合的运算试题解析： 所以= 。故答案为：A答案：A2.考点：复数乘除和乘方试题解析： 则 z 在复平面内对应的点为位于第二象限。故答案为：B答案：
7、B3.考点：算法和程序框图试题解析： 是； 是； 是； ，否，则输出的 值为 10.故答案为：B答案：B4.考点：平面向量的几何运算试题解析：若 ，则 = ，则 =（1+ ） ，故 ；反过来，若 ，则 = ，所以 = -1） ，所以 。所以“ ”是“ ”的充要条件。故答案为：C答案：C5.考点：三角函数的图像与性质试题解析： 故排除 A；又图象关于直线 对称，所以函数在 处取得最值，故排除 C；又 ，对 B： ，是减函数，故 B 错。故答案为：D答案：D6.考点：分段函数，抽象函数与复合函数试题解析：因为函数最大值为 ，且 x-1 所以 时， 且所以 的取值范围是 。故答案为：A答案：A7.考
8、点：排列组合综合应用试题解析：故答案为：D答案：D8.考点：平行柱，锥，台，球的结构特征试题解析：动点 的轨迹为：由棱 的中点构成的正六边形，边长为 ，所以面积为故答案为：C答案：C9.考点：抛物线双曲线试题解析：双曲线：中， 所以渐近线方程为: .因为抛物线的焦点与双曲线 的一个焦点（2，0）重合，所以 故答案为： ，答案： ，10.考点：圆相似三角形试题解析：由切割线定理有： 所以PC=9，BC=8.又 为线段 的中点，所以 DB=4，CD=4，所以故答案为： ，16答案： ，1611.考点：数量积的应用试题解析：故答案为：答案：612.考点：线性规划试题解析：作可行域：由图知：A(0 ，
9、 2)，B(1，1)虚线为 y=2x-k，所以纵截距为-k.所以当 或即 或 时平面区域 为三角形区域。故答案为：答案：13.考点：函数模型及其应用试题解析：由题知： 令即 0，解得： 所以从第 5 年开始盈利.故答案为： ，答案： ，14.考点：直线综合圆的标准方程与一般方程试题解析：设 B ，C(x，y) ，根据题意有：且 整理得由（2）得：代入（1）得： （ ）整理得：即所以 ，因为 x2，所以所以 =9+4（ ） 。令 ，所以 m0 时，t 有最小值，所以 m0.所以所以所以故答案为：答案：15.考点：倍角公式余弦定理正弦定理试题解析：()因为 ，且 ，所以 因为 ，由正弦定理 ，得(
10、)由 得 由余弦定理 ，得解得 或 （舍负） 所以 答案：() () 16.考点：随机变量的期望与方差随机变量的分布列频率分布表与直方图试题解析：（）由已知可得：上班的 40 个工作日中早高峰时段中度拥堵的频率为 0.25，据此估计此人 260 个工作日早高峰时段（早晨 7 点至 9 点）中度拥堵的天数为2600.25=65 天.（）由题意可知 的可能取值为 且 ； ； ； ；所以答案：（）65 天. （）4617.考点：利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题空间的角平行垂直试题解析：（）如图 1，在等腰梯形 中，由 ， ， 为 中点，所以 为等边三角形如图 2，因为 为 的中点，所以 又因
11、为平面 平面 ，且平面 平面 ，所以 平面，所以 （）连结 ，由已知得 ，又 为 的中点，所以 由（）知平面 ，所以 ，所以 两两垂直以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系（如图） 因为 ，易知 所以 ，所以 设平面 的一个法向量为 ，由 得 即 取 ，得设直线 与平面 所成角为 ，则所以直线 与平面 所成角的正弦值为 （）假设在侧棱 上存在点 ，使得 平面 设 ， 因为 ，所以易证四边形 为菱形，且 ，又由（）可知， ，所以平面 所以 为平面 的一个法向量由，得 所以侧棱上存在点 ，使得 平面 ，且 答案：（）如图 1，在等腰梯形 中，由 ， ， 为 中点，所以 为等边三角形如图 2，因
12、为为 的中点，所以 又因为平面 平面 ，且平面 平面 ，所以 平面 ，所以 （） （）假设在侧棱 上存在点 ，使得 平面 设 ， 因为 ，所以 易证四边形 为菱形，且 ，又由（）可知， ，所以 平面 所以为平面 的一个法向量由，得 所以侧棱上存在点 ，使得 平面 ，且 18.考点：导数的综合运用利用导数求最值和极值导数的概念和几何意义试题解析：（）当 时， ， 则 ，而 所以曲线 在点(1， )处的切线方程为 ，即 （）依题意当 时，曲线 上的点 都在不等式组 所表示的平面区域内，等价于当 时， 恒成立设 ， 所以 （1）当 ，即 时，当 时， ， 为单调减函数，所以 依题意应有解得 所以 （
13、2）若 ，即 时，当 ， ， 为单调增函数，当 ， ， 为单调减函数由于 ，所以不合题意（3）当 ，即 时，注意到 ，显然不合题意综上所述，答案：（） ，即 （） 19.考点：椭圆试题解析：（）依题意可知 ， ，所以椭圆 离心率为（）因为直线 与 轴， 轴分别相交于 两点，所以 令 ，由 得 ，则 令 ，由 得 ，则 所以 的面积 因为点 在椭圆 上，所以 所以 即 ，则 所以 当且仅当 ，即 时， 面积的最小值为 9 分（）当 时， 当直线 时，易得 ，此时 ， 因为 ，所以三点 共线同理，当直线 时，三点 共线当 时，设点 ，因为点 与点 关于直线 对称，所以 整理得解得所以点 又因为 ，
14、 ，且所以 所以点 三点共线综上所述，点 三点共线答案：（）椭圆 离心率为 （） 面积的最小值为 （）当 时， 当直线 时，易得 ，此时 ， 因为 ，所以三点 共线 同理，当直线 时，三点共线 当 时，设点 ，因为点 与点 关于直线 对称， 所以整理得 解得 所以点 又因为 ，且 所以 所以点 三点共线综上所述，点 三点共线20.考点：数列综合应用试题解析：（）当 时， ，令 ， ，则 ，且对 ，都有 ，所以 具有性质 相应的 子集为 ， （）若 ，由已知 ，又 ，所以 所以 若 ，可设 ， ，且 ，此时 所以 ，且 所以 若 ， ， ，则 ，所以 又因为 ，所以 所以 所以 综上，对于 ，
15、，都有 （）用数学归纳法证明（1）由（）可知当 时，命题成立，即集合 具有性质 （2）假设 ( )时，命题成立即 ，且， ，都有 那么当 时，记 ， ，并构造如下 个集合：， ， ， ，显然 又因为 ，所以 下面证明 中任意两个元素之差不等于 中的任一元素 若两个元素 ， ，则 ，所以 若两个元素都属于 ，由（）可知， 中任意两个元素之差不等于 中的任一数 从而， 时命题成立综上所述，对任意正整数 ，集合 具有性质 答案：（） 子集为 ， （）若 ，由已知 ，又 ，所以 所以 若，可设 ， ，且 ，此时所以 ，且 所以 若 ， ， ，则， 所以 又因为 ，所以 所以 所以综上，对于 ， ，都有 （）用数学归纳法证明 （1）由（）可知当 时，命题成立，即集合 具有性质 （2）假设 ( )时，命题成立即 ，且，
