《北京市朝阳区2015届高三上学期期末数学试卷（文科）含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市朝阳区2015届高三上学期期末数学试卷（文科）含解析（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、北京市朝阳区 2015 届高三上学期期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 （5 分）设 i 为虚数单位，则复数 z=1i 的模|z|=（）A 1 B C 2 D2 （5 分）已知全集 U=R，若集合 A=x|x2x0 ，则 UA=（）A x|x0，或 x1 B x|x0，或 x1 C x|0x1 D x|x13 （5 分）一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A 1 B 2 C 3 D 44 （5 分）执行如右图所示的程序框图，则输出的 i 的值是（）A 3 B 4
2、C 5 D 65 （5 分）若 ， 是两个非零的平面向量，则“| |=| |”是 “（ + ）（ ）=0” 的（）A 充分且不必要条件 B 必要且不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件6 （5 分）如图，塔 AB 底部为点 B，若 C，D 两点相距为 100m 并且与点 B 在同一水平线上，现从 C，D 两点测得塔顶 A 的仰角分别为 45和 30，则塔 AB 的高约为（精确到0.1m， 1.73， 1.41） （）A 36.5 B 115.6 C 120.5 D 136.57 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）= 若直线 y=a 与函数 f（x）的图象恰有两个公共点，则实
3、数 a 的取值范围是（）A （0，2） B D8 （5 分）如图，在正方体中 ABCDA1B1C1D1，M 为 BC 的中点，点 N 在四边形 CDD1C1 及其内部运动若 MNA1C1，则 N 点的轨迹为（）A 线段 B 圆的一部分C 椭圆的一部分 D 双曲线的一部分二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上9 （5 分）双曲线 C： y2=1 的离心率是；渐近线方程是10 （5 分）为了解某厂职工家庭人均月收入情况，调查了该厂 80 户居民月收入，列出频率分布表如下：按家庭人均月收入分组（百元） 第一组频率 0.1 0.2 0.15 a 0.1 0.1
4、则这 80 户居民中，家庭人均月收入在 D考点： 分段函数的应用；函数的图象 专题： 函数的性质及应用分析： 画出函数 f（x）= 的图象，数形结合，可得满足条件的实数a 的取值范围解答： 解：函数 f（x）= 的图象如下图所示：由图可知：若直线 y=a 与函数 f（x）的图象恰有两个公共点，则实数 a 的取值范围是频率 0.1 0.2 0.15 a 0.1 0.1则这 80 户居民中，家庭人均月收入在故答案为：22点评： 本题主要考查 Venn 图的应用，根据条件转化为集合关系是解决本题的关键13 （5 分）在平面直角坐标系中，若关于 x，y 的不等式组 表示一个三角形区域，则实数 k 的取
5、值范围是（，0） 考点： 简单线性规划 专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用平面区域是直角三角形即可得到结论解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图，直线 kxy+1=0，过定点 A（0，1） ，若 k=0，此时对应的区域不存在，若 k0，此时对应的区域不存在，若 k0，对应的区域为三角形，满足条件，故答案为：（，0）点评： 本题主要考查一元二次不等式组表示平面区域，利用数形结合是解决本题的关键14 （5 分）设 f（x）=a 1cos2x+（a 21）sinxcosx+3sin 2x（a 12+a220） ，若无论 x 为何值，函数f（x）的图象总是一条直线，
6、则 a1+a2 的值是 4考点： 三角函数的化简求值 专题： 三角函数的求值分析： 依题意，知 a21=0，且 a1cos2x+3sin2x 为定值 3，从而可求得 a1、a 2 的值，继而可得答案解答： 解：依题意知，a 21=0，且 a1cos2x+3sin2x 为定值 3，故 a2=1，a 1=3，所以 a1+a2=4，故答案为：4点评： 本题考查函数的性质及同角三角函数间的关系式的应用，考查理解与思维能力，属于中档题三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15 （13 分）某幼儿园有教师 30 人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结
7、果如下：本科 研究生 合计35 岁以下 5 2 73550 岁（含 35 岁和 50 岁） 17 3 2050 岁以上 2 1 3（）从该幼儿园教师中随机抽取一人，求具有研究生学历的概率；（）从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人，求有 35 岁以下的研究生或 50岁以上的研究生的概率考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题： 概率与统计分析： （）根据概率公式计算即可（）从这 6 人中任取 2 人，用列举法一一列举，共有 15 种等可能发生的基本事件记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人，有 35 岁以下的研究生或 50 岁以上的研究生” 为事件 B，则
8、 B 中的结果共有 153=12 个，由此求得所求的事件的概率解答： 解：（）设：“从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历 ”为事件 A由题可知幼儿园总共有教师 30 人，其中“具有研究生学历 ”的共 6 人则 P（A）= =儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历的概率为 （）设幼儿园中 35 岁以下具有研究生学历的教师用 1，2 表示，3550 岁（含 35 岁和 50岁）具有研究生学历的教师为 3，4，5，50 岁以上具有研究生学历的教师为 6，从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人，所有可能结果有 15 个，它们是：12，13，14，15，16，23，24，25，26，
9、34，35，36，45，46，56，共有 15 种抽法，其中全是 3550 岁（含 35 岁和 50 岁）的结果有 3 种，分别为：34，35，45，记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人，有 35 岁以下的研究生或 50 岁以上的研究生”为事件 B，则 B 中的结果共有 153=12 个，故所求概率为 P（B ）= = 答：从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人，有 35 岁以下的研究生或 50 岁以上的研究生的概率为 点评： 本题考查古典概型及其概率计算公式，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想，属于基础题16 （
10、13 分）已知平面向量 =（sinx，cosx） ， =（sinx， cosx） ， =（cosx，sinx） ，x R，函数 f（x）= （ ） （）求函数 f（x）的单调递减区间；（）若 f（ ）= ，求 sin 的值考点： 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 专题： 三角函数的求值分析： （）由向量和三角函数的运算可得 f（x）= sin（2x ）由2k+ 2x 2k+ 解不等式可得；（）由题意可得 sin（ ）= ，可得 cos（ ）= ，而 sin=sin= sin（ ）+ cos（ ） ，分类讨论代入计算可得解答： 解：（） =（sinx，cosx） ， =（sinx ，co
11、sx） ， =（ cosx， sinx） ， =（sinx+cosx，sinx cosx） ，f（ x）= （ ）=sinx（sinx+cosx）+cosx（sinxcosx）=sin2x+2sinxcosxcos2x=sin2xcos2x= sin（2x ）由 2k+ 2x 2k+ 可解得 k+ xk+ ，函数 f（x）的单调递减区间是为， kZ；（）由（）知 f（x）= sin（2x ） ，由 f（ ）= 可得 sin（ ）= ，sin （ ）= ，又 sin2（ ）+cos 2（ ）=1，cos （ ）= ，sin=sin= sin（ ）+ cos（ ） ，当 cos（ ）= 时，sin
12、 = =当 cos（ ）= 时，sin = =点评： 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的单调性和和差角的三角函数以及分类讨论的思想，属中档题17 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PD平面 ABCD点 E 是线段 BD 的中点，点 F 是线段 PD 上的动点（）若 F 是 PD 的中点，求证：EF平面 PBC；（）求证：CEBF；（）若 AB=2，PD=3 ，当三棱锥 PBCF 的体积等于 时，试判断点 F 在边 PD 上的位置，并说明理由考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 专题： 综合题；空间位置关系与距离分析： （）利用三角形的中
13、位线的性质证明 EFPB，利用线面平行的判定定理，证明：EF平面 PBC；（）证明 CE平面 PBD，即可证明：CE BF；（）设 PF=x由 AB=2 得 BD=2 ，CE= ，所以VPBCF=VCBPF= = = ，即可得出结论解答： （）证明：在PDB 中，因为点 E 是 BD 中点，点 F 是 PD 中点，所以 EFPB又因为 EF平面 PBC，PB平面 PBC，所以 EF平面 PBC（4 分）（）证明：因为 PD平面 ABCD，且 CE平面 ABCD，所以 PDCE又因为底面 ABCD 是正方形，且点 E 是 BD 的中点，所以 CEBD因为 BDPD=D，所以 CE平面 PBD，而
14、 BF平面 PCD，所以 CEBF （9 分）（）解：点 F 为边 PD 上靠近 D 点的三等分点说明如下：由（）可知，CE平面 PBF又因为 PD平面 ABCD，BD平面 ABCD，所以 PDBD设 PF=x 由 AB=2 得 BD=2 ，CE= ，所以 VPBCF=VCBPF= = = 由已知 = ，所以 x=2因为 PD=3，所以点 F 为边 PD 上靠近 D 点的三等分点（14 分）点评： 本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定的应用，考查体积的计算，考查逻辑推理能力18 （13 分）已知公比为 q 的等比数列a n（n N*）中，a 2=2，前三项的和为 7（）求数列a
15、n的通项公式；（）若 0q1，设数列b n满足 bn=a1a2an，n N*，求使 0b n1 的 n 的最小值考点： 等比数列的性质 专题： 等差数列与等比数列分析： （）由已知可得 a1 和 q 的方程组，解方程组代入通项公式可得；（）由题意易得 an=（ ） n3，可得 bn= ，由题意可得 n 的不等式，解不等式可得解答： 解：（）由已知得 ，解得 a1=1 且 q=2，或 a1=4 且 q= ，数列 an的通项公式为 an=2n1 或 an=（ ） n3；（）0q1， an=（ ） n3；bn=a1a2an=（ ） 21+0+n3= ；由 0b n1，即 0 1， 0，解得 n5，使 0b n1 的 n 的最小值为 6点评： 本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的通项公式和求和公式，属中档题19 （13 分）已知函数 f（x） =exalnx，aR（ I）若 x=1 是 f（x）的极值点，求 a 的值：（）当 a=e 时，求证：
