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1、北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2013.5（考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1 ）已知集合 ，集合 ，则 =0,13M3,NxaMNA. B. C. D. 190,139（2 ）若 ，则实数 的值为120()dxmmA B C D 3232（3 ）执行如图所示的程序框图若输出的结果是 ，则判断框内的条件是16A. ? B. ? C. ? D. ?6n7
2、n8n9n（第 3 题图） （第 5 题图）（第 3 题图）11 1正视图 侧视图俯视图否开始S = 0n = 1S=S+n输出 S结束是n=n+2（4 ）若双曲线 的渐近线与抛物线 有公共点，则此双曲21(0,)xyab2yx线的离心率的取值范围是A B C D 3,)(3,)(1,3(1,3)（5 ） 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A B C D1612（6 ）某岗位安排 3 名职工从周一到周五值班，每天只安排一名职工值班，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有A 种 B 种 C 种 D 种10121836（7 ）已知函数 ，定义函数 给出下列
3、命题：()(0)xfa(),0,().fxF ； 函数 是奇函数；当 时，若 ， ，总()Fxf()Fx0amn有 成立，其中所有正确命题的序号是0mnA B C D （8 ）点 是棱长为 1 的正方体 的底面 上一点，则 的取P1ADB1A1PAC值范围是A B C D,4,24,0,02第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上. （9 ） 为虚数单位，计算 i3i1（10 ）若直线 与圆 （ 为参数）相交于 ， 两l2cos,:inxCyAB点，且弦 的中点坐标是 ，则直线 的倾斜角为 AB(1,)l（11 ）如图
4、， 切圆 于点 ，割线 经过圆心 ，PCOPABO，4,8则 ， 的面积是 tanC（12 ）某公司一年购买某种货物 吨，每次都购买 吨，运费为 万元/次，一年的总存储60x3费用为 2x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨（13 将一个质点随机投放在关于 的不等式组 所构成的三角形区域内，则,xy3419,xy该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于 的概率是 （14 ）数列 的前 项 组成集合 ，从集21n,37,21n 1,37,21()nnAN合 中任取 个数，其所有可能的 个数的乘积的和为 （若只取一nAk() kkT个数，规定乘积为此数本身） ，记 例如当
5、 时， ，12nnST 1A， ；当 时， ， ， ， .则1T1S2n2,3A213T237S当 时， ；试写出 3nn三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（15 ） （本小题满分 13 分）在 中， 所对的边分别为 ，且ABC, ,abc 2()2cosin()siAAf.2cos（）求函数 的最大值；()f（）若 ，求 b 的值0,612ACa（16 ） （本小题满分 14 分）如图，四边形 是正方形， 平面 ， ，BDEABCDEAP， ， ， 分别为 ， ，2ADPEFGHP的中点C（）求证： 平面 ；AP（）求平面 与平面 所成锐二
6、面角的大小；HBC（）在线段 上是否存在一点 ,使直线 与直线 MF所成的角为 ？若存在，求出线段 的长；若 PA60 P不存在，请说明理由.（17 ） （本小题满分 13 分）为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数 ADBCPEFGH独比赛”.比赛成绩共有 90 分，70 分，60 分，40 分，30 分五种，按本次比赛成绩共分五个等级从参加比赛的学生中随机抽取了 30 名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：成绩等级 A B C D E成绩（分） 90 70 60 40 30人数（名） 4 6 10 7 3（）根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独
7、比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“ 或 ”的概率；AB（）根据（）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3 人，记 表示抽到成绩等级为“ 或 ”的学生人数，求 的分布列及其数学期望XAX；E（）从这 30 名学生中，随机选取 2 人，求“这两个人的成绩之差大于 分”的概率20（18 ） （本小题满分 13 分）已知函数 （ ） ， .()mxf2102()e()axgR（）求函数 的单调区间；（）当 时，若对任意 ， 恒成立，求 的取值范围.012,x12()fxa（19 ） （本小题满分 14 分）已知椭圆2:1xyCab的右焦点为 F(1,0)，短轴的端
8、点分别为 12,B,(0)且 .12FB（）求椭圆 的方程；（）过点 且斜率为 的直线 l交椭圆于 两点，弦 的垂直平分线与 轴k(0),MNx相交于点 .设弦 的中点为 ，试求 的取值范围DMNPD（20 ） （本小题满分 13 分）已知实数 （ ）满足 ，记12,nx 2|1(,23,)ixn12(,)nijijS（）求 及 的值；2(1,)3S(,1)S（）当 时，求 的最小值；n23x（）求 的最小值12(,)nx注： 表示 中任意两个数 , （ ）的乘积之和.ijijn12,nx ixj1ijn北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试答案（理工类）2013.一、选择题：题号 （
9、1） （2） （3） （4 ） （5） （6 ） （7） （8）答案 D B C A A C D D二、填空题： 题号 （9） （ 10） （11） （12） （ 13） （14）答案 2i43185301263(1)2n（注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分）三、解答题：（15 ） （本小题满分 13 分）解：（）因为 22()2cosinsicosAAf.i()4因为 为三角形的内角，所以 ，A0所以 .4所以当 ，即 时， 取得最大值，且最大值为 . 6 分234A()f 2（）由题意知 ，所以 ()sin0fsin()04A又因为 ，所以 ，所以 4又因为 ，所以 12C3B
10、由正弦定理 得， 13 分 siniabAB6sinsi34aA（16 ） （本小题满分 14 分）（）证明：因为 , 分别为 ， 的中点，FGPE所以 .AE又 平面 ， 平面 ，D所以 平面 . 4 分（）因为 平面 ， ，BCAP所以 平面 ，P所以 ， .DA又因为四边形 是正方形，所以 .C如图，建立空间直角坐标系，因为 ,2ADPE所以 ， ， ，0,0A2,0， ， CB,(1)5 分因为 ， ， 分别为 ， ， 的中点，FGHPEBC所以 ， ， . 所以 ， .1,(2,)(0,)1(,0)2GF1(2,0)H设 为平面 的一个法向量，则 ,即 ，11(,)xyznF10n1
11、02xz再令 ，得 . , .11(0,)(2,)PB(,2)PC设 为平面 的一个法向量,则 ,22(,)xyznC20Bn即 ，令 ，得 .220z21z2(0,1)ADBCPEFGHzyx所以 = = .12cos,n12所以平面 与平面 所成锐二面角的大小为 . 9 分FGHPBC4（）假设在线段 上存在一点 ,使直线 与直线 所成角为 .MFPA60依题意可设 ,其中 .01由 ,则 . (0,2)PC(2,)P又因为 , ，所以 .FMF(1,2,)F因为直线 与直线 所成角为 ， ，A60,0)PA所以 = ，即 ，解得 .cos,P122421() 58所以 ， .5(0,)4
12、M54所以在线段 上存在一点 ,使直线 与直线 所成角为 ，此时 . PCFMPA60524PM14 分（17 ） （本小题满分 13 分）解：（）根据统计数据可知，从这 30 名学生中任选一人，分数等级为“ 或 ”的频AB率为 461033从本地区小学生中任意抽取一人，其“数独比赛”分数等级为“ 或 ”的概率约为3 分1（）由已知得，随机变量 的可能取值为 0，1，2，3X所以 ；033128()()7PC；49；2136()()2X07PC随机变量 的分布列为 X0 1 2 3P82749127所以 9 分8160327EX（）设事件 M：从这 30 名学生中，随机选取 2 人，这两个人的
13、成绩之差大于 分20设从这 30 名学生中，随机选取 2 人，记其比赛成绩分别为 ,mn显然基本事件的总数为 30C不妨设 ，mn当 时， 或 或 ，其基本事件数为 ；9064114073()C当 时， 或 ，其基本事件数为 ；730673)当 时， ，其基本事件数为 ；n103所以 11 14073670320()()4() 87CCCPM 所以从这 30 名学生中，随机选取 2 人，这两个人的成绩之差大于 分的概率2为 13 分387（18 ） （本小题满分 1 3 分）解：（）函数 的定义域为 ， .1 分()fxR()()mxxf2211当 时，当 变化时， ， 的变化情况如下表：m0(fxfx,)1,)(,)1()f xAA所以，函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ， .()f (,)1(,)1(,)3 分当 时，当 变化时， ， 的变化情况如下表：m0x()fxf,1,)(,)1()fx
