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1、北京市朝阳区 20052006 学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理）第卷（选择题，共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的 4 个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集 U=-2,-1,0,1,2，A=-2,-1,0 ，B=0,1,2 ，则（ UA）B=A.0 B.-2,-1 C.1,2 D.0,1,22.不等式|x-2| |x|的解集是Ax|x1 B.x|x1 C.x|x0 或 x2 D.x|0x23.在ABC 中，AB 是 cosAcosB 的A充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件4已知
2、函数 f(x)=3x-1，f(x)的反函数为 y=f-1(x)，当 y0 时，y=f -1(x)的图象是5在下列向量中，与向量 a=（1，- 平行的单位向量是 t x)3A （1，- B.( ,1) C.( ) D.(- )3 21,323,16.下列函数中，最小正周期为 ，且图象关于直线 x= 对称的是Ay=sin(2x- ) B.y=sin(2x- ) C.y=sin(2x+ ) D.y=sin( + )366x67.在等差数列a n中，a 1+a2+a50=200,a51+a52+a100=2700，则 a1等于A-1221 B.-21.5 C.-20.5 D.-208过双曲线 0,b0
3、）的左焦点 F1的直线 y= （x+c）与双曲线的右支交于点 P，若byx(243sinF 1OP= （O 为坐标原点） ，则双曲线的离心率是54A B.5 C. D.3 5725第卷（非选择题，共 110分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.将答案填写在题中横线上.9tan30的值是_.10.在等比数列a n中，a 3+a5=18,a9+a11=144,则 a5+a8=_.11.若函数 f(x)= 是奇函数，则函数 g(x)的解析式是_.12.在 （x 2+4x+4） 5的展开式中,x 8的二项式系数是_；x 8的系数是_.(用数字作答)t x13圆心在第一象限，
4、且半径为 1的圆与抛物线 y2=2x的准线和双曲线 =1的渐近线都相切，则9162y圆心的坐标是_.14.定义在 R上的函数 f(x)满足 f(1+x)=f(1-x)，又设 g1(x)=f(x+3)，g 2(x)=f(3-x)，给出下列四个命题: f(x)的图象关于直线 x=1对称，g 1(x)的图象与 g2(x)的图象关于直线 x=3对称； f(x)的图象关于直线 x=1对称，g 1(x)的图象与 g2(x)的图象关于直线 x=0对称； f(x)的周期为 4,g1(x)与 g2(x)的周期均为 2; f(x)的图象关于直线 x=2对称，g 1(x)的图象与 g2(x)的图象关于直线 x=3对
5、称.其中正确的命题有_（填入正确命题的序号）.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分 12分)已知非负实数 x,y满足 .03_,42yx（1） 在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域；（2） 求 Z=x+3y的最大值.16.(本小题满分 12分)t x j y w已知向量 a=（cos b=(cos ，且 x- .),2sin, )2sin,x4,3(1)求 ab及|a+b|；(2)若 f(x)=ab-|a+b|，求 f(x)的最大值和最小值.17.(本小题满分 13分)经统计，某大医院一个结算窗口每天排队结算的人数及相应
6、的概率如下：排队人数 05 610 1115 1620 2125 25人以上概 率 0.1 0.15 0.25 0.25 0.2 0.05(1)每天不超过 20人排队结算的概率是多少？(2)一周 7天中，若有 3天以上（含 3天）出现超过 15人排队结算的概率大于 0.75，医院就需要增加结算窗口，请问该医院是否需要增加结算窗口？18.(本小题满分 13分)已知函数 f(x)=-x3+ax2+b(a、bR)（1） 若函数 f(x)在 x=0,x=4处取得极值，且极小值为-1,求 a、b 的值；（2） 若 x0，1 ，函数 f(x)图象上任意一点的切线斜率为 k，试讨论 k-1 成立的充要条件.
7、19(本小题满分 15分)已知 A、B、C 是长轴长为 4的椭圆上的三点，点 A是长轴的一个顶点，BC 过椭圆中心 O，如图，且，|BC|=2|AC|.（1） 求椭圆的方程；（2） 如果椭圆上两点 P、Q 使PCQ 的平分线垂直 AO，则总存在实数 ，（3） 使 请给出证明.,20. (本小题满分 15分)设 A（x 1,y1）,B(x 2,y2)是函数 f(x)= 的图象上任意两点，且 ，已x1log2 )(21OBAM知点 M的横坐标为 .（1） 求证：M 点的纵坐标为定值； （2） 若 Sn=f( N *，且 n2,求 Sn;nff),()2(1（3） 已知 an= ，其中 nN *.2
8、 )1)( 3nSnTn为数列a n的前 n项和，若 Tn(S n+1+1)对一切 nN *都成立，试求 的取值范围.北京市朝阳区 20052006 学年度高三年级第一学期期末统一考试1.C 2.A 3.C 4.A 5.D 6.B 7.C 8.B9.- 10.36 11.-cosx 12.45,180 13.( 14.32 )87,21(3,15.（1）所求不等式所表示的区域如图中阴影所示；（2）如图作出直线 l:x+3y=0，把直线向上平移至 l1的位置，使 l1经过可行域上点 M，显然此时点 M与原点距离最大，此时 z=x+3y的最大值是 0+33=9.16.（1）ab=cos .2cos
9、in23sco23xxx|a+b|= x2cos)()(s =2|cosx|,因为 x- ,所以 cosx0.即|a+b|=2cosx.43（2）因为 f(x)=cos2x-2cox=2cos2x-2cosx-1=2(cosx- ,23)1且 x- ，所以 cosx1.,1所以当 cox= 时，f(x)取得最小值-2;23当 cosx=1,f(x)取得最大值-1.17 （1）每天不超过 20人排队结算的概率为:P=0.1+0.5+0.25+0.25=0.75，即不超过 20人排队结算的概率为 0.75.（2）每天超过 15人排队结算的概率为:0.25+0.2+0.05= ,21一周 7天中，没
10、有出现超过 15人排队结算的概率为 C （ ） 7；07一周 7天中，有一天出现超过 15人排队结算的概率为 C （ ） （ ） 6；12一周 7天中，有二天出现超过 15人排队结算的概率为 C （ ） 2（ ） 5；27所以有 3天或 3天以上出现超过 15人排队结算的概率为：1-C ( )7+C ( )( )6+C ( )2( )5= 0.75,02117189所以，该医院需要增加结算窗口.18 （1）由 f(x)=-3x 2+2ax=0解得 x=0或 x= . =4得 a=6.3a当 x0 时,f(x)0；当 0x4 时，f(x)0.故当 x=0时，f(x)达到极小值 f(0)=(b),
11、b=-1.（2）当 x0,1时，-3x 2+2ax-1 恒成立，即 g(x)=3x2-2ax-10 对一切 x0,1恒成立，只需 即 a1.,0)1(ag反之，当 a1 时,g(x)0 对 x0,1恒成立，a1 是 k-1 成立的充要条件.19(1)以 O为原点，OA 所在的直线为 x轴建立如图所示的直角坐标系 则 A（2，0） ，设所求椭圆的方程为: (0b2)，142yx由椭圆的对称性知|OC|=|OB|，由 得 ACBC.0BCA|BC|=2|AC|,|OC|=|AC|.AOC 是等腰直角三角形, C 的坐标为（1，1）.C 点在椭圆上， b 2= 所求的椭圆方程为42b3142byx(
12、2)由于PCQ 的平分线垂直 OA（即垂直于 x轴） ，不妨设直线 PC的斜率为 k，则直线 QC的斜率为-k,直线 PC的方程为：y=k(x-1)+1,直线 QC的方程为 y=-k(x-1)+1,由 得（1+3k 2）x 2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0(),031)(2yxk点 C（1，1）在椭圆上,x=1 是方程()的一个根，则其另一根为 .2316k设 P（x P,yP）,Q(x Q,yQ),则 xP= ，同时，x Q= .2316k23kKPQ= .3316)()( 222 kkkyQPQP而由对称性知 B（-1,-1） ，又 A（2，0） ，k AB= .K PQ=KAB
13、, ，且共 线与 .B即存在实数 ，使 .P20 （1）证明： ),(21OMM 是 AB的中点.设 M点的坐标为（x,y）,由 （x 1+x2）=x= ,得 x1+x2=1，则 x1=1-x2或 x2=1-x1.而 y= (y1+y2)= f(x 1)+f(x2)= ( +log2 )log21x= (1+log2 = (1+log2log21xx)2x= (1+log2 ,)0（）M 点的纵坐标为定值 .（2）由（1）知 x1+x2=1,f(x1)+f(x2)=y1+y2=1,Sn=f( ),()(nffSn=f( ,)两式相加得：2Sn=f( )+f( )+f( )= )1()nf)2()nf)1(nf1n S n= (n2,nN *).21(2)当 n2 时,a n= ).21(4)2(1)(1nnSnTn=a1+a2+a3+an= ( )= (433.2)n由 Tn(S n+1+1)得 2. 44)(2 nnn+ 4,当且仅当 n=2时等号成立,4 .214n因此 ，即 的取值范围是（ +）.,（2 个空的填空题，对 1个给 3分；1 个空、2 解的填空题，对 1个给 3分.如有不同解法，请阅卷老师酌情给分.）
