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1、北京市朝阳区 2005 年高三第一次统一考试数学(文史类)试卷本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。共 150 分。考试时间 120分钟。第 I 卷(选择题共 40 分)参考公式:如果事件 A、B 互斥,那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B ) SR42如果事件 A、B 相互独立,那么 其中 R 表示球的半径P(AB) =P(A)P(B)如果事件 A 在一次试验中发生的 球的体积公式概率是 P,那么 n 次独立重复试验 V3中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径Cnnk()()1一. 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每
2、小题的 4 个选项中,只有一项是符合题目要求的。(1)不等式 的解集是( )|324xA. B. |x23C. D. |3或 |(2)在下列给定的区间中,使函数 单调递增的区间是( )yxsin()4A. B. 04, 2,C. D. 2, , 0(3)已知直线 a、b 和平面 M,则 的一个必要不充分条件是( )ab/A. B. /, ,C. D. 与平面 M 成等角, 、(4)数列 的前 n 项和为 ,则这个数列一定是( )Sn21A. 等差数列 B. 非等差数列C. 常数数列 D. 等差数列或常数数列(5)二项式 的展开式中 的系数为( )()x15x3A. -5 B. 5 C. 10
3、D. -10(6)设 分别是双曲线的半焦距和离心率,则双曲线ce、 xayb21的一个顶点到它的一条渐近线的距离是( )()ab0, A. B. C. D. acbcaebe(7)定义运算 ,则符合条件 的点 P(x,y)的daxy120轨迹方程为( )A. B. ()xy142 ()42C. D. xy1(8)有一个正四棱锥,它的底面边长与侧棱长均为 a,现用一张正方形包装纸将其完全包住(不能裁剪纸,但可以折叠),那么包装纸的最小边长应为( )A. B. ()26a26C. D. 1313a第 II 卷(非选择题 共 110 分)二. 填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分
4、。将答案填在题中横线上。(9)函数 的最小正周期是_。yxsinco(10)将棱长为 1 的正方体木块加工成一个体积最大的球,则这个球的体积为_,球的表面积为_(不计损耗)。(11)圆 C: ( 为参数)的普通方程为_。ysin,(12)设 P(x,y)是下图中四边形内的点或四边形边界上的点(即 x、y 满足的约束条件),则 的最大值是_。z2-1xO (13)某年级一班有学生 54 人,二班有 42 人,现要用分层抽样的方法从两个班抽出一部分人参加 44 方阵进行军训表演,则一班和二班被抽取的人数分别是_。(14)已知函数 是 R 上的减函数,A(0,-3),B(-2,3)是其图象上的两点,
5、fx()那么不等式 的解集是_。|f23三. 解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(15)(本小题满分 14 分)已知函数 fxx()3(I)证明:函数 是奇函数;(II)证明:函数 在区间(-1 ,1)内是增函数。f(16)(本小题满分 14 分)已知 ab(cosin)(cosin), , , , 0(I)求 的值;|(II)求证: 与 互相垂直;a(III )设 ,求 的值。|(17)(本小题满分 14 分)某篮球职业联赛总决赛在甲、乙两支球队之间进行,比赛采用五局三胜制,即哪个队先胜三场即可获得总冠军。已知在每一场比赛中,甲队获胜的概率均为
6、 ,乙队获胜的概23率均为 。求:13(I)甲队以 3:0 获胜的概率;(II)甲队获得总冠军的概率。(18)(本小题满分 14 分)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ,E 是 A1C 的中点, 且交 AC 于 D,EAC1。A12(I)证明: 平面 ;1/A1(II)证明: 平面 ;D(III )求二面角 的余弦值。BCC1BA1ED(19)(本小题满分 12 分)自点 A(0,-1)向抛物线 作切线 AB,切点为 B,且点 B 在第一象限,再过Cyx:2线段 AB 的中点 M 作直线 与抛物线 C 交于不同的两点 E、F,直线 AF、AE 分别交抛物l线 C 于 P、Q 两点。(I)求
7、切线 AB 的方程及切点 B 的坐标;(II)证明 R()yxOEAMBQFP (20)(本小题满分 12 分)把正奇数数列 中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表:21n13 57 9 11 设 是位于这个三角形数表中从上往下数第 行、从左往右数第 个数。aijNj(*), ij(I)若 ,求 的值;mn205n,(II)已知函数 的反函数为 ,若记三角形数表中从上fx()fxn138()()x0往下数第 n 行各数的和为 ,求数列 的前 n 项和 。bnbSn朝阳区高三第一次统一考试数学(文史类)参考答案及评分标准一. 选择题:1. C 2. A 3. D 4. B 5. C
8、6. D 7. A 8. B二. 填空题:9. 10. 11. 12. 226, xy12)13. 9,7 人 14. (, ,0三. 解答题:15. (I)证明:显然 的定义域是 R。设任意 ,fx)x, 4 分fxxf()()()33 函数 是奇函数 6 分fx()(II)解:, 9 分yx ()312又 , 12 分10y.所以函数 在区间(-1,1)内是增函数。 14 分f)316. 解:(I)解: 3 分|cosina22(II)证明: ()b6 分(cos)(ins)(ins),si222208 分()a(III )解:,ababcoins)(cossin) , , ,10 分12
9、 分|(s)(i ()221,同理 cssin)cs|oco(ab,cos()014 分0 2, ,17. 解:(I)设“甲队以 3:0 获胜”为事件 A,则 3 分P()3827(II)设“甲队获得总冠军”为事件 B,则事件 B 包括以下结果: 3:0;3:1;3:2 三种情况若以 3:0 胜,则 ; 6 分P187()若以 3:1 胜,则 9 分C232若以 3:2 胜,则 12 分41368()所以,甲队获得总冠军的概率为 14PBP12341分18. (I)证:三棱柱 中 , 2 分ABC1C1/又 平面 ,且 平面 ,A1平面 4 分1/(II)证:三棱柱 中 ,1B1中RtAB12
10、是等腰三角形 7 分CC1, E 是等腰 底边 的中点,ABC111又依条件知 D且 由,得 平面 EDB 9 分1(III )解: 由(II)结论可知 平面AC1EDBACEB1,是二面角 的平面角 10 分由条件及平面几何知识容易证明(过程略) 12 分平面 平面 平面1, AED1设 ,则易求得a1DaEB3,在 中,RtEBcos即所求二面角的余弦值是 14 分3C1BA1ED19. 解:(I)由题意可设切线 AB 的方程为: ,ykx1代入 得 ,yx2k10240点 B 在第一象限, 。 切线 AB 的方程为: 2 分y2, , , ,切点 B 的坐标为(1, 1) 4 分(II)
11、由(I)线段 AB 的中点 M ,设直线 的方程为 ,()20, lymx()12点 E( )、F( )、P( )、Q( )x12, x2, x32, x42, 由 得 6 分ymx()12xm120直线 与抛物线 C 交于不同的两点 E、F,l。解得 或20xx112,ABPQxxx()()()()1434234343, , , ,A、P、 F 共线, 8 分KAFx32223323230, ()()10 分x231,同理由 A、E、Q 共线得 4xxm43122112 分PxABR()()43, 20. 解:(I) 三角形数表中前 行共有 个数,2312m()第 行最后一个数应当是所给奇数
12、列中的第 项。m()1故第 行最后一个数是 2 分212m()因此,使得 的 m 是不等式 的最小正整数解。amn0505由 得21206m841791824于是,第 45 行第一个数是 24 分n20593(II) , 。fxyxn180()()yn()123故 6 分)23第 n 行最后一个数是 ,且有 n 个数,若将 看成第 n 行第一个数,2121则第 n 行各数成公差为-2 的等差数列,故 。bn()()2 38 分fbnn()()123故 S nn12()() ,12213124 1Snn nn()()()()两式相减得:10 分2231n nn()()1211()()nnnn12 分Snn()注:1. 如有不同解法,请阅卷老师酌情给分;2. 两个空的填空题,做对一个给 3 分。