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1、北京市朝阳区 2005 年高三第一次统一考试数学（文史类）试卷本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。共 150 分。考试时间 120分钟。第 I 卷（选择题共 40 分）参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 球的表面积公式P（A+B）=P（A）+P（B ） SR42如果事件 A、B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径P（AB） =P（A）P（B）如果事件 A 在一次试验中发生的 球的体积公式概率是 P，那么 n 次独立重复试验 V3中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径Cnnk()()1一. 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每
2、小题的 4 个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）不等式 的解集是（ ）|324xA. B. |x23C. D. |3或 |（2）在下列给定的区间中，使函数 单调递增的区间是（ ）yxsin()4A. B. 04， 2，C. D. 2， ， 0（3）已知直线 a、b 和平面 M，则 的一个必要不充分条件是（ ）ab/A. B. /， ，C. D. 与平面 M 成等角， 、（4）数列 的前 n 项和为 ，则这个数列一定是（ ）Sn21A. 等差数列 B. 非等差数列C. 常数数列 D. 等差数列或常数数列（5）二项式 的展开式中 的系数为（ ）()x15x3A. -5 B. 5 C. 10
3、D. -10（6）设 分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线ce、 xayb21的一个顶点到它的一条渐近线的距离是（ ）()ab0， A. B. C. D. acbcaebe（7）定义运算 ，则符合条件 的点 P（x，y）的daxy120轨迹方程为（ ）A. B. ()xy142 ()42C. D. xy1（8）有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为 a，现用一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为（ ）A. B. ()26a26C. D. 1313a第 II 卷（非选择题 共 110 分）二. 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分
4、。将答案填在题中横线上。（9）函数 的最小正周期是_。yxsinco（10）将棱长为 1 的正方体木块加工成一个体积最大的球，则这个球的体积为_，球的表面积为_（不计损耗）。（11）圆 C： （ 为参数）的普通方程为_。ysin，（12）设 P（x，y）是下图中四边形内的点或四边形边界上的点（即 x、y 满足的约束条件），则 的最大值是_。z2-1xO （13）某年级一班有学生 54 人，二班有 42 人，现要用分层抽样的方法从两个班抽出一部分人参加 44 方阵进行军训表演，则一班和二班被抽取的人数分别是_。（14）已知函数 是 R 上的减函数，A（0，-3），B（-2，3）是其图象上的两点，
5、fx()那么不等式 的解集是_。|f23三. 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本小题满分 14 分）已知函数 fxx()3（I）证明：函数 是奇函数；（II）证明：函数 在区间（-1 ，1）内是增函数。f（16）（本小题满分 14 分）已知 ab(cosin)(cosin)， ， ， ， 0（I）求 的值；|（II）求证： 与 互相垂直；a（III ）设 ，求 的值。|（17）（本小题满分 14 分）某篮球职业联赛总决赛在甲、乙两支球队之间进行，比赛采用五局三胜制，即哪个队先胜三场即可获得总冠军。已知在每一场比赛中，甲队获胜的概率均为
6、 ，乙队获胜的概23率均为 。求：13（I）甲队以 3：0 获胜的概率；（II）甲队获得总冠军的概率。（18）（本小题满分 14 分）直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， ，E 是 A1C 的中点， 且交 AC 于 D，EAC1。A12（I）证明： 平面 ；1/A1（II）证明： 平面 ；D（III ）求二面角 的余弦值。BCC1BA1ED（19）（本小题满分 12 分）自点 A（0，-1）向抛物线 作切线 AB，切点为 B，且点 B 在第一象限，再过Cyx:2线段 AB 的中点 M 作直线 与抛物线 C 交于不同的两点 E、F，直线 AF、AE 分别交抛物l线 C 于 P、Q 两点。（I）求
7、切线 AB 的方程及切点 B 的坐标；（II）证明 R()yxOEAMBQFP （20）（本小题满分 12 分）把正奇数数列 中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：21n13 57 9 11 设 是位于这个三角形数表中从上往下数第 行、从左往右数第 个数。aijNj(*)， ij（I）若 ，求 的值；mn205n，（II）已知函数 的反函数为 ，若记三角形数表中从上fx()fxn138()()x0往下数第 n 行各数的和为 ，求数列 的前 n 项和 。bnbSn朝阳区高三第一次统一考试数学（文史类）参考答案及评分标准一. 选择题：1. C 2. A 3. D 4. B 5. C
8、6. D 7. A 8. B二. 填空题：9. 10. 11. 12. 226， xy12)13. 9，7 人 14. (， ，0三. 解答题：15. （I）证明：显然 的定义域是 R。设任意 ，fx)x， 4 分fxxf()()()33 函数 是奇函数 6 分fx()（II）解：， 9 分yx ()312又 ， 12 分10y.所以函数 在区间（-1，1）内是增函数。 14 分f)316. 解：（I）解： 3 分|cosina22（II）证明： ()b6 分(cos)(ins)(ins)，si222208 分()a（III ）解：，ababcoins)(cossin) ， ， ，10 分12
9、 分|(s)(i ()221，同理 cssin)cs|oco(ab，cos()014 分0 2， ，17. 解：（I）设“甲队以 3：0 获胜”为事件 A，则 3 分P()3827（II）设“甲队获得总冠军”为事件 B，则事件 B 包括以下结果： 3：0；3：1；3：2 三种情况若以 3：0 胜，则 ； 6 分P187()若以 3：1 胜，则 9 分C232若以 3：2 胜，则 12 分41368()所以，甲队获得总冠军的概率为 14PBP12341分18. （I）证：三棱柱 中 ， 2 分ABC1C1/又 平面 ，且 平面 ，A1平面 4 分1/（II）证：三棱柱 中 ，1B1中RtAB12
10、是等腰三角形 7 分CC1， E 是等腰 底边 的中点，ABC111又依条件知 D且 由，得 平面 EDB 9 分1（III ）解： 由（II）结论可知 平面AC1EDBACEB1，是二面角 的平面角 10 分由条件及平面几何知识容易证明（过程略） 12 分平面 平面 平面1， AED1设 ，则易求得a1DaEB3，在 中，RtEBcos即所求二面角的余弦值是 14 分3C1BA1ED19. 解：（I）由题意可设切线 AB 的方程为： ，ykx1代入 得 ，yx2k10240点 B 在第一象限， 。 切线 AB 的方程为： 2 分y2， ， ， ，切点 B 的坐标为（1， 1） 4 分（II）
11、由（I）线段 AB 的中点 M ，设直线 的方程为 ，()20， lymx()12点 E（ ）、F（ ）、P（ ）、Q（ ）x12， x2， x32， x42， 由 得 6 分ymx()12xm120直线 与抛物线 C 交于不同的两点 E、F，l。解得 或20xx112，ABPQxxx()()()()1434234343， ， ， ，A、P、 F 共线， 8 分KAFx32223323230， ()()10 分x231，同理由 A、E、Q 共线得 4xxm43122112 分PxABR()()43， 20. 解：（I） 三角形数表中前 行共有 个数，2312m()第 行最后一个数应当是所给奇数
12、列中的第 项。m()1故第 行最后一个数是 2 分212m()因此，使得 的 m 是不等式 的最小正整数解。amn0505由 得21206m841791824于是，第 45 行第一个数是 24 分n20593（II） ， 。fxyxn180()()yn()123故 6 分)23第 n 行最后一个数是 ，且有 n 个数，若将 看成第 n 行第一个数，2121则第 n 行各数成公差为-2 的等差数列，故 。bn()()2 38 分fbnn()()123故 S nn12()() ，12213124 1Snn nn()()()()两式相减得：10 分2231n nn()()1211()()nnnn12 分Snn()注：1. 如有不同解法，请阅卷老师酌情给分；2. 两个空的填空题，做对一个给 3 分。
