《北京市朝阳区2003-2004学年第一学期期末统一考试高三数学（理科）试卷》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市朝阳区2003-2004学年第一学期期末统一考试高三数学（理科）试卷（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、北京市朝阳区 2003-2004 学年第一学期期末统一考试高三数学（理科）试卷2004.1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 至 2 页。第卷3 至 8 页。共 150 分。考试时间 120 分钟。第卷（选择题 50 分）参考公式：三角函数的和差化积公式 2cossin2isnicscos2ini2正棱台、圆台的侧面积公式 lcS)(21台 侧其中 c、 c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长台体的体积公式hSV)(3台 体其中 S、S 分别表示上、下底面面积，h 表示高一、选择题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有
2、一项是符合题目要求的，请把你认为正确的选项前的字母填在题后的括号内。（1）设集合 ，若 ，则 a 的取值范围是12|xA0|axBBA（ ）（A） （B） （C） （D）,(),1,(),2（2）已知二面角 ，直线 ， ，且 a 与 l 不垂直，b 与 l 不垂直，lab那么（ ）（A）a 与 b 可能垂直，但不可能平行 （B）a 与 b 可能垂直，也可能平行（C）a 与 b 不可能垂直，但可能平行 （D）a 与 b 不可能垂直，也不可能平行（3）函数 在一个周期内的图象如图所示，函数 解析kxAxf)sin()()(xf式为（ ） （A） 1)2sin(4)(xxf（B）（C） )6si()
3、(xxf（D） 12n（4）双曲线 c：的左、右焦点分别为)0(12，babyx，过焦点 且垂直于 x 轴的弦 O ， ，则双曲线 c 的离心率为（ 1F2 901BAF）（A） （B） （C） （D）)(22)2(1（5）如图，O 为直二面角 的棱 MN 上的一MN点，射线 OE，OF 分别在 内，且EON= FON=45，则EOF 的大小为（ ）（A）30 （B）45 （C）60 （D）90（6）在等差数列 中， ，公差 dB 的（ ）CAcos（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件 （D）即不充分也不必要条件（10）过抛物线 的焦点作直线与此抛物线交于 P，Q 两点
4、，那么线段 PQ 中xy42点的轨迹方程是（ ）（A） （B）12 22xy（C） （D）xy第卷（非选择题共 100 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在题中横线上。（11）已知 ，则 =_。3)1(xf )1(xf（12）在一个棱长为 的正四面体内有一点 P，它到三个面的距离分别是cm651cm，2cm，3cm ，则它到第四个面的距离为 _cm。（13）设等比数列 的前 n 项和为 ，前 n+1 项的和为 ，则)1(qn nS1nS=_。1nSiml（14）抛物线 和圆 上最近两点的距离是_。2xy1)3(2x三、解答题：本大题共 6 小题，共 84
5、 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（15） （本小题满分 14 分）解关于 x 的不等式（） ；)21lg()l()3lg(xx（） ，其中)217lg(7mxm。351m（16） （本小题满分 14 分）已知：定义在 R 上的函数 为奇函数，且在 上是增函数。)(xf ),0 （）求证： 在 上也是增函数；)(xf)0,（）对任意 ，求实数 m，使不等式 恒成立。R 0)sin2()3(cosmff（17） （本小题满分 14 分）在长方体 ABCD 中，AB=2，1DCBA，E 为 的中点，连结11BED，EC，EB 和 DB。（）求证：平面 EDB平面 EBC；（）求二面角
6、E-DB-C 的正切值；（）求异面直线 EB 和 DC 的距离。（18） （本小题满分 14 分）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200 平方米的二级污水处理池（平面图如图所示） ，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米 400 元，中间一条隔壁建造单价为每米 100 元，池底建造单价每平方米 60 元（池壁厚度忽略不计） 。（）污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低；（）如果受地形限制，污水处理池的长、宽都不能超过 14.5 米，那么此时污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低。（19） （本小题满分 14 分）P 为椭圆 c： 上除 ， 的两点外的一点。)0(12bay
7、x)0,(1aA),(2（）求直线 P 与 的斜率的乘积；1A（）设 P（x，y） ，求证： ；|)(221 ybarctg（）设 ，求证： 。21AtSPA221（20） （本小题满分 14 分）已知函数 ，满足条件：Nnf),( ； ； ；2)()(yfxyfNnf)( 当 xy 时，有 。)(yfxf（）求 f(1)，f(3) 的值；（）由 f(1)，f(2) ，f(3)的值，猜想 f(n)的解析式；（）证明你猜想的 f(n)的解析式的正确性。朝阳区高三期末试卷数学（理工农医类）参考答案及评分标准 2004.1一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10B B D C C A B
8、A C D二、填空题11. 12.4 13. 14.x31q112三、解答题15.解：（） ，)21()lg()3l(xx4 分.21)(3,021xxx6 分.0123,x ，7 分067)4(2原不等式的解集为 。8 分31|x（） ，等价于)351)(27lg()2l()3lg( mxx).351(,27)21(3,0mxxx).351(,02,mx。10 分)35,1(),2(,12mxm令直线 ，曲线 ，作出直线 l 与曲线 c4:yl )3,21(,:xyc的图象。（1）当 ，即 时，直线 l 与曲线 c 有两个公共点，公共点的横坐2551标是 ，此时不等式的解集为,2mxmx。1
9、2 分)3,2(2（2）当 ，即 时，直线 l 与曲线 c 有一个公共点，公共点的横310554x坐标是 ，此时不等式的解集为 。14 分2mx )3,12m16.（）证明：设 ，且 ，则 ，且)0,(,21x21x),0(,21x。21x2 分 在 上是增函数，)(f),0 4 分(21xf又 为奇函数， 6 分)(f )(21xff 。)21xf 在 上也是增函数。8 分)(f0,（）函数 在 和 上是增函数，且 在 R 上是奇函数)(xf),),0)(xf 在 上是增函数。10 分)(f, ，)sin2(3cosmf 。)(f，)(si2csf，12 分n3o，2ii2m。1654si当
10、 时， 的最大值为 ，sin1654sin221当 时，不等式恒成立。14 分21m17.（）证明：在长方体 ABCD- 中，AB=2， ，E 为1DCBA11BC的中点。1CD 为等腰直角三角形， 。E451E同理 。451 ，即 DEEC。2 分90C在长方体 ABCD- 中，BC 平面 ，又 DE 平面 ，1DCBA1DC1DCBCDE 。4 分又 ，EDE平面 EBC。平面 DEB 过 DE，平面 DEB平面 EBC。5 分（）解：如图，过 E 胡平面 中作 EODC 于 O。1DC在长方体 ABCD- 中，1BA面 ABCD面 ，EO面 ABCD。过 O 在平面 DBC 中作 OFD
11、B 于 F，连结 EFEFBD 。EFO 为二面角 E-DB-C 的平面角。 7 分利用平几知识可得。10 分515EO，tgF（）解：E 在 上，B 在 AB 上，在长方体 ABCD- 中， ，1CD1DCBA1/CEB 在平面 内。A又DC/ABDC/平面 。1直线 DC 到平面 的距离就等于异面直线 DC 和 EB 的距离。12DBC分在长方体 ABCD- 中，平面 平面 ，连结 ，在平面1A1DABC1B1C中，过 C 作 。1BHCH平面 ，CH 为所求的距离。1D 。14 分21BCH18.（）解：设污水处理池的长为 x 米，则宽为 米。2 分x20总造价 。4 分610240)(
12、 xf15820160x=36000（元）6 分当且仅当 时，即 x=15 等号成立。)(5答：当污水处理池的长为 15 米（宽为 米）时，总造价最低。8 分31（）解：依（）有总造价 ，当且 当36012)5(80)( xxfx=15 等号成立， ，从而考虑条件：5.14.20,x即 ， 在 上的单调性。10 分14,93()(xf214,93设 ，且 。2,21x1由于 )1(5)(80)( 21212 xxff 。12 分)5)(801212xx ，且 ，214,93, 。25)(021xx 。)(2ff 。1x 在 上单调递减。)(xf214,93 。)f当长为 米时总造价最低。14 分119.（）解：设点 P（x，y） ，则有，2 分akxkAPA21,由 .,2kaxyb变形为 4 分).(,22xky 。即 。5 分2ab221abPA（）证明：（1）当点 P 在 x 轴的上方时，y0。，122AkPAtg。7 分0)(2)(12232 ybaxbaybxy（2）当点 P 在 x 轴的下方时，y0，同理可得 。0)(21yba
