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1、1常系数分式递推式的解法陈 功例 1 已知数列 a n 满足 a n + 1 a n 22an 1，且 a 1 2,求 a n .解 a n + 1 a n 22 an 1， 数列 a n 的特征方程为 x x 22 x 1 ,化简整理得 x 2 x 0 ，特征根为 x 0 或 x 1 。从而可得 a n + 1 a n 22 an 1a n + 1 1 ( a n 1)22 an 1 得 a n + 1an + 1 1 ( a nan 1) 2 , a 1 2 0 ，且 ( a n 1)2 0 。 a n 2 2 a n 1 0 ， a n + 1 a n 22 an 1 1 ， l g a
2、 n + 1an + 1 1 2lg a nan 1， 数列 l g a nan 1成 G P，其公比 q 2,其首项为 l g a 1a1 1 l g2, l g a nan 1 2 n 1 l g2， a nan 1 122 n a n 122 n122 n 1 .例 2 已知数列 a n 满足 a n + 1 a n 2 + p2 an( p 0)，且 a 1 2,求 a n .解 a n + 1 a n 2 + p2 an( p 0)， 数列 a n 的特征方程为 x x 2 + p2 x ,简化整理得 x 2 p,特征根为 x p ,从而得 a n + 1 + p ( a n + p
3、 ) 22 ana n + 1 p ( a n p ) 22 an2 得 a n + 1 + pan + 1 p ( a n + pan p) 2 ，由题知可转化为 l g a n + 1 + pan + 1 p 2lg a n + pan p,数列 l g a n + 1 + pan + 1 p成 G P ，其公比 q 2 ，其首项为 l g 2+ p2 p ,l g a n + pan p 2 n 1 l g 2+ p2 p ,a n + pa n p (2+ p2 p ) ，a n p ( 2+ p ) / ( 2 p ) 12 n + 1 ( 2+ p ) / ( 2 p ) 12 n
4、 1 ( p 0) .例 3 已知数列 a n 满足 a n + 1 a n 3 + 12a n3 an 2 + 4, 且 a 1 3 ，求 a n .解 a n + 1 a n 3 + 12a n3 an 2 + 4, 数列 a n 的特征方程为x x 3 + 12x3 x 2 + 4 ,简化整理得 x 2 4 x 0特征根为 x 0 或 x 2从而 得 a n + 1 + 2 ( a n + 2)33 an 2 + 4a n + 1 2 ( a n 2)33 an 2 + 4 得 a n + 1 + 2an + 1 2 ( a n + 2an 2) 3由题意知可转化为 l g a n +
5、1 + 2an + 1 2 3lg a n + 2an 2,数列 l g a n + 2an 2 成 G P，其公比 q 3 ，其首项为 l g a 1 + 2a1 2 l g5, l g a n + 2an 2 3 n 1 l g5, a n + 2an 2 135 n a n 2(135 n + 1)135 n 1 .例 4 数列 a n 中，已知 a 1 32 , a n + 1 a n 2 + 42 an + 3.证明 ： （ 1 ） a n + 1 1 112( a 1)； （ 2 ） 1 a n 32 .证 a n + 1 a n 2 + 42 an + 3,3 数列 a n 的特
6、征方程为 x x 2 + 42 x + 3 ,简化整理得 x 2+3 x 4 0 ，特征根为 x 1 或 x 4.从而得 a n + 1 1 ( a n 1)22 an + 3a n + 1 + 4 ( a n + 4)22 an + 3 得 a n + 1 1an + 1 + 4 ( a n 1an + 4) 2 ,由题意知可转化为 l g a n + 1 1an + 1 + 4 2lg a n 1an + 4, 数列 l g a n 1an + 4成 G P，其公比 q 2 ，其首项为 l g a 1 1a1 + 4 l g 111, l g a n 1an + 4 2 n 1 l g 1
7、11， a n 1an + 4 1 1211 n , a n 1211 n + 41211 n 1 ，（ 1 ） a n + 1 1 n21 1 + 4n21 1 1 1 5n21 1 1 ，a n 1 51211 n 1 ， a n + 1 1an 11211 n 1n21 1 1 11211 n + 1 111+1112， a n + 1 1 112( a n 1) .( 2) a n 1211 n + 41211 n 1 1+51211 n 1 1 又 a n + 1 a n n211 + 4n21 1 1 1211 n + 41211 n 1 5 1211 nn21 1 1 0 ， 数
8、列 a n 是单调递减的， a 1 32 ， a n 32 由 、 可知 1 a n 32 .说明 由 也可推知数列 a n 是单调递减的。4例 5 数列 a n 是这样确定的： a 1 1, 4a n a n + 1 ( a n + a n + 1 1)2 ， a n a n + 1 ( n N )（ 1 ）求 a 2 、 a 3 、 a 4 ，并由此推断 a n ; ( 2)用数学归纳法证明你作出的推断 ； （ 3 ）求 S n ，解 （ 1 ） a 1 1, 4 a n a n + 1 ( a n +a n + 1 1)2 ， 4 a 2 a 22， a 2 4 或 a 2 0,又 a
9、n a n + 1 , a 2 4.当 a 2 4 时，得4 4 a 3 (4+a 3 + 1 ) 2 , a 23 10a 3 + 9 0 a 3 9 或 a 3 1(不合题意，舍去 )当 a 3 9 时，得4 9 a4 ( a4 + 8 ) 2 a4 16 或 a4 4(不合题意，舍去 ) 。由此推断 a n n 2 。证（ 2 ） 1 当 n 1 时， a 1 1 1 2 ， n 1 时，结论成立。2 设 n k 时， a k k 2 ,则 n k+1 时， 4 k2 a k + 1 ( a k+ 1 + k 2 1 ) 2 ， a 2k + 1 2( k 2 + 1)a k + 1 +
10、 ( k+1)2 ( k 1)2 0 ， a k + 1 ( k+1)2 a k + 1 ( k 1)2 0 a k + 1 a k a k 1 ( k 1)2 ， a k + 1 ( k 1)2 0 由 可知 a k + 1 ( k+1)2 0 a k + 1 ( k+1)2 , n k+1 时，结论也成立。由 1 、 2 可知，对于一切自然数 n ，结论恒成立。（ （ 3 ） ） 解 a n n 2 , Sn 16 n( n+1) ( 2n+1)，说明 1 本例如果没有提出 “ 用数学归纳法证明 ” 这一要求，我们可以采用如下方法： 4 a n a n + 1 ( a n + a n +
11、1 1)2 ， 4 a n a n + 1 a 2n + 1 + 2(a n 1)a n + 1 + ( a n 1)， a 2n + 1 2 2 a n ( a n 1) a n + 1 ( a n 1)2 ， a n + 1 ( a n + 1) 2 ( a n + 1)2 ( a n 1)2 ， a n + 1 ( a n + 1) 2 a n ， a n + 1 ( a n + 1)2 ，由题意可知应取 a n + 1 a n + 1 ， 数列 a n 成 A P ，其公差 d 1 ，其首项为 a 1 1 ， a n 1+( n 1) 1 n, a n n 2 。2 我们也可 以采用递
12、推式曲 型化理论求 ni 1 i 2 ，见第五 章例 5. 1 ，此法有 别于传统方法， 过程简洁，思路新颖。5例 6 已知数列 a n 满足 a n + 1 7 a n 2 12an，且 a 1 5 ，求 a n .解法一 a n + 1 7 a n 2 12an, 数列 a n 的特征方程为 x 7 x 2 12x ，化简整理得 x 4 7 x 2 + 12 0 ，特征根为 x 2 或 3 ，从而可得 a n + 1 + 2 7 a n 2 12+ 2 a nana n + 1 2 7 a n 2 12 2 a nana n + 1 + 3 7 a n 2 12+ 3 a nana n +
13、 1 3 7 a n 2 12 3 a nan 得 a 2n + 1 4 3(a n 2 4)an 2 得 a 2n + 1 3 4(a n 2 4)an 2 + 得 a 2n + 1 4a 2n + 1 3 34 a n 2 4an 2 3,数列 a n 2 4an 2 3成 G P ，其公比 q 34 ，其首项为 a 1 2 4a1 2 3 12 , a n 2 4an 2 3 12 ( 34 ) n 1 3 n 12 2 n 1 ， a n 2 2 2 n + 1 3 n2 2 n 1 3 n 1 a n 0 ， a n 2 2 n + 1 3 n2 2 n 1 3 n 1 .解法二 a n + 1 7 a n 2 12an, a 2n + 1 7 a n 2 12an 2 令 b n a n 2 , 则 b n + 1 a 2n + 1， 代入 得 b n + 1 7bn 12bn由 知，数列 b n 的特征方程为 x 7 x 12x ，化简整理得 x 2 7 x + 12 0特征根为 x 3 或 x 4
