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1、基于“数学本质”的数学概念教学 椭圆定义的教学设计与反思宁夏彭阳县第三中学 王伯龙普通高中数学课程标准（实验） （以下简称标准）明确指出：在数学教学中，应该返璞归真，努力揭示数学概念的发展过程和本质数学课程“要讲推理，更要讲道理”，通过典型例子的分析和学生自主探索的活动，使学生理解数学概念逐步形成的过程去年十月，学校组织了一次课堂教学大赛，笔者在这次课堂教学活动中，以人教版数学选修第二章第二节“椭圆的定义”为课题上了一节基于“数学本质”的数学概念生成课，受到了听课教师的好评本文概述本课的教学过程实录，并附以自己的一些思考，以期专家同行的不吝赐教教学过程实录创设情境，引入课题多媒体展示图师：请同
2、学们观察太阳系中的行星的运行轨道，你能说出这些行星的运行轨迹是什么曲线吗？生：椭圆师：你是怎么知道的？生：地理课上老师讲的，科普书籍上介绍的师：大家还能举一些生活中见到的椭圆形的例子吗？学生举出好多的例子，如油罐车的油罐横截面的外轮廓线， 师：同学们知道的还不少，老师也得向你们学习（学生脸上露出了微笑）同学们对椭圆已经有了初步的了解，这节课我们一起来探究“椭圆的定义”（板书课题）图 图 展示问题，探索新知多媒体展示图师：请同学们观察握力器的图片的形状，老师这里有一个握力器模型，你能给大家演示一下将它如何变成椭圆吗？生：（演示）挤压追问：椭圆是怎样生成的？生（众）：圆经过压缩变成椭圆师：很好！把
3、一个圆均匀压缩后，好像变成了椭圆，那么它到底是不是椭圆呢？请同学们研究下列问题图（多媒体展示）引题：如图，在圆 上任取一点，过作轴的垂线段，为垂足当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程是什么？你能猜想出点的轨迹是什么吗？ （教材第页例改编）求动点轨迹问题，学生在“圆”和“曲线与方程”章节中已有认知基础，对引题中求动点的轨迹方程应该没有太大的困难教师巡视指导学有困难的学生，不一会儿，绝大部分的学生有了结果，求出点的轨迹方程是 ，但对轨迹是什么图形，有些学生猜想是椭圆，有些学生感到茫然教师用“几何画板”演示，让点慢慢的绕圆周运动，线段的中点（设置成追踪点）所形成轨迹的形状（如图），同学们异口同声：
4、“椭圆”图 图师：很好！我们知道，圆的定义是平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹，即在圆的定义中有一个定点，一个定长那么，椭圆是否也可以通过定点、定长来定义呢？（学生思考交流）生：可以，因为椭圆由圆压缩而来的师：有道理追问：定义椭圆需要几个定点？有没有定长？有些学生猜想是两个定点，而有些学生说不可能是一个，但具体是几个，不知所措，此时，教师用“几何画板”演示：点沿着圆的半径滑到点的过程中，圆心沿着轴向两边分别滑向点，（如图），半径滑到，的位置师：在上面的演示中，你有什么发现？生：有两个定点，和的长都等于圆半 中学数学杂志 年第期径的长师：好！我们来验证一下你的观察是否正确，教师用“几何画板”中
5、的“度量”工具度量出和的长都是生：我还发现 追问：你是怎么想到的？生：从课本上看到的（众生笑）师：很好！你有课前预习的好习惯，请保持刚才，同学们发现点在图的位置时，有 那么，点在椭圆周上其它位置是否也有 图教师用“几何画板”演示：让点沿着圆周缓缓运动，则点就沿着椭圆周运动（如图），线段和的长度随着点的位置的变化而改变，但始终有 师：通过“几何画板”直观演示，我们发现：“椭圆周上任意一点到两个定点，的距离之和始终等于”你能否进行严格的论证？（学生思考，讨论）生：由上面的演示易知，（ ，），（ ，）设（，），由于点在椭圆上，所以点的坐标必满足方程 ，即 于是， （ ） （ ） （ ） （ ） 师：
6、真棒！你通过代数计算的方法检验了我们直观演示的结果 归纳提升，形成定义师：通过上面的探索，你能给椭圆下个定义吗？生：平面内到两定点，的距离的和等于定长的点的轨迹叫椭圆追问：大家满意吗？生：应加上定长大于两定点，间的距离师：为什么要加上“定长大于两定点，间的距离”（学生思考讨论，遇到困难时，教师指导）生：如果定长等于两定点，间的距离时，动点的轨迹是线段；定长小于两定点，间的距离时，不成轨迹师：好极了！下面我们给出椭圆的定义（板书）平面内到两定点，的距离和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距应用新知，解决问题请同学们应用本节课所获得的知识，解决
7、下面问题（最好独立完成，遇到困难时，可以交流讨论）问题：你能用椭圆的定义画出一个椭圆吗？问题：如果点（，）在运动过程中，总满足关系式 （ ） （ ） ，则点的轨迹是什么曲线？为什么？图问题：如图，圆的半径为定长，是圆内一个定点，是圆上任意一点线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是什么？为什么？教学反思“椭圆定义”是继“圆定义”后的又一平面曲线的一个概念，标准对“椭圆定义”的学习要求是：“经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握其定义”本文基于数学本质对“椭圆定义”做教学设计，以下一些方面值得反思以生为本，对教材二次开发椭圆的定义，在教材中是这样引入的：“把细绳的两端拉开
8、一段距离，移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离之和等于常数”围绕这个方法产生许多教学设计或是让学生按教材上的叙述方法，动手画出椭圆，或是用课件演示，按定义画出椭圆，但定义是怎样想到的？两个定点从何而来？似乎是“魔术师的帽子里突然跳出一只兔子”，不可理喻为此，本设计改变了教材原有的编排顺序，将椭圆定义后的例进行改编，然后前置，作为探索主线，从学生已有圆的认知基础出发，设置适合的问题使学生亲身经历观察、操作、探究、猜想、验证等活动，感知椭圆概念的形成原本是自然的，水到渠成的情境化的创设，激发了学生学习的兴趣标准指出：数学教学应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生
9、发展过程，使学生能够从中发现问题，提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉特别是数学概念的引出，新教材关注与其它学科，周围环境，日常生活等实例的联系，通过设置丰富的问题情境，对于激发学生的学习兴趣，拓展学生的视野，加强知识之间的相互联系，帮助学生建构数学知识有非常重要的作用本设计在椭圆概念的引入和定义的探索中注重情境化，使学生学有余力，轻松自如多媒体的使用，为本课的教学增添了亮点课后评议中，老师们一致认为课堂设计总体思路清晰，“几何画板”的有效使用，直观形象地呈现了图形的动态变化过程，使学生能很好地理解数学本质，进而探索数学结论，交流，讨论，师生对话等多样的学习方式，调动了学生学习的积极性，主动性，激发学习兴趣，养成了学生积极思考，乐于探索的好习惯作者简介王伯龙，男，宁夏彭阳县人，年月生，中学高教教师，自治区级骨干教师，近年来发表论文余篇中学数学杂志 年第期
