分形统计模型的理论研究及其在地质学中的应用

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1、第 33卷 第 2期1998年 4 月地 质 科 学SC IEN T IA GEOLO G ICA S IN ICAV o l. 33 N o. 2A p r. , 19983 地 矿 部 “ 九 五 ” 基 础 研 究 重 点 项 目 矿 产 定 量 预 测 的 勘 查 评 价 新 理 论 研 究 和 中 国 博 士 后 科 学 基 金 项 目 资 助 。申 维 , 男 , 1957年 2月 生 , 博 士 后 , 数 学 地 质 专 业 。1997210207收 稿 , 1997209209改 回 , 王 桂 凤 编 辑 。分 形 统 计 模 型 的 理 论 研 究 及 其 在地 质 学

2、中 的 应 用 3申 维 赵 鹏 大(中 国 地 质 大 学 数 学 地 质 研 究 所 武 汉 430074)摘 要 本 文 提 出 了 一 般 分 形 模 型 和 一 般 分 维 数 的 概 念 , 认 为 许 多 地 质 模 型 是 一 般 分 形模 型 的 特 例 , 指 出 幂 函 数 分 布 和 帕 累 托 分 布 是 分 形 统 计 模 型 的 数 学 基 础 , 论 证 了 幂 函 数 分 布在 高 端 截 尾 条 件 下 具 有 尺 度 不 变 的 分 形 性 质 , 根 据 非 线 性 回 归 模 型 参 数 估 计 的 方 法 , 提 出 了求 分 维 数 的 新 方 法

3、 , 该 方 法 具 有 许 多 优 点 。 通 过 在 计 算 机 上 产 生 随 机 数 对 分 形 统 计 模 型 进 行模 拟 研 究 , 以 及 通 过 实 例 说 明 分 形 统 计 模 型 应 用 的 方 法 及 步 骤 , 并 解 释 了 分 维 数 的 实 际 意 义 。关 键 词 分 形 统 计 模 型 分 维 数 模 拟 研 究 成 矿 预 测由 于 人 类 社 会 和 自 然 界 中 广 泛 地 存 在 无 序 、 混 乱 、 不 规 则 和 不 光 滑 的 复 杂 现 象 , 传 统的 理 论 只 能 是 简 化 或 定 性 地 刻 画 它 们 。 分 形 理 论 的

4、 提 出 为 揭 示 隐 藏 于 混 乱 复 杂 现 象 中 的精 细 结 构 和 定 量 地 刻 画 描 述 它 们 提 供 了 理 论 基 础 。分 形 理 论 创 立 于 70年 代 中 期 , 其 研 究 对 象 为 自 然 界 和 社 会 活 动 中 广 泛 存 在 的 无 序 (无规 则 )而 具 有 自 相 似 性 的 系 统 。 分 形 论 借 助 于 自 相 似 性 原 理 洞 察 隐 藏 于 混 乱 现 象 中 的 精 细结 构 ; 为 人 们 从 局 部 认 识 整 体 , 从 有 限 认 识 无 限 提 供 新 的 方 法 论 ; 为 不 同 学 科 发 现 规 律 性

5、提 供 崭 新 的 语 言 和 定 量 的 描 述 ; 为 现 代 科 学 技 术 提 供 新 思 想 新 方 法 。 分 形 理 论 不 但 为 复 杂的 现 象 提 供 了 一 种 简 便 的 定 量 描 述 工 具 , 而 且 它 是 一 种 辩 证 的 思 想 方 法 和 认 识 方 法 : 部 分与 整 体 有 相 似 性 是 整 个 的 相 对 缩 影 , 含 有 整 体 的 信 息 , 因 而 人 们 可 以 通 过 认 识 部 分 来 认 识整 体 。1 一 般 分 形 模 型设 非 线 性 模 型y = f (x , H) + E (1)式 中 : x 为 可 观 测 的 已

6、 知 变 量 , 可 以 是 向 量 ; y 为 可 观 测 的 随 机 变 量 ; E为 不 可 观 测 具 有 零均 值 和 有 限 方 差 R2 0独 立 同 分 布 F 的 随 机 误 差 项 (R2未 知 ) ; H= (H1, H2, , Hp ) 为 未 知 参数 , 定 义 域 为 欧 氏 空 间 R p 上 的 一 个 子 空 间 ( ; f 称 为 模 型 函 数 , 它 的 函 数 形 式 已 知 , 但 含有 未 知 参 数 H。 如 果 f 是 H的 线 性 函 数 , 则 (1)式 化 为 线 性 模 型 , 否 则 就 称 为 非 线 性 模 型 。设 一 般 分

7、 形 模 型Y X F (D ) (2)其 中 X 和 Y 为 变 量 , 根 据 具 体 问 题 可 以 代 表 不 同 的 意 义 ; F (D ) 称 为 分 维 数 函 数 , 也 可 称为 一 般 分 维 数 , F (D )选 取 什 么 函 数 形 式 , 依 具 体 研 究 问 题 而 定 。模 型 (2)可 以 推 出 许 多 具 体 模 型 。(1) 取 Y = A (面 积 ) , X = P (周 长 ) , F (D ) = 2 D , 得 到 面 积 与 周 长 关 系 :A P 2 D(2) 取 Y = N (覆 盖 的 盒 子 数 目 ) , X = b (盒

8、子 的 大 小 或 尺 寸 ) , F (D ) = - D , 得 到 盒 子数 目 与 盒 子 的 大 小 或 尺 寸 关 系 :N b- D(3) 取 Y = L (S) (轨 迹 的 长 度 length of trail) , X = S(步 长 大 小 ) , F (D ) = 1- D , 得 到划 分 关 系 :L (S) S1- D(4) 取 Y = N (A a) (大 于 a 的 面 积 或 区 域 数 目 ) , X = a (尺 寸 大 小 ) , F (D ) = - (D 2) , 得 到 Ko rcaks 关 系 :N (A a) a- (D 2)(5) 取 Y

9、 = P (w ) (功 率 pow er) , X = w (频 率 ) , F (D ) = - (5- 2D ) , 得 到 功 率 谱 与 频率 关 系 :P (w ) w - (5- 2D )(6) 取 Y = , X = d p q (p 与 q 之 间 距 离 ) , F (D ) = 4- 2D , z p 和 z q 代 表 在点 p 和 q 处 的 高 程 , 代 表 统 计 上 的 数 学 期 望 , 得 到 变 差 图 关 系 : (z p - z q) 2 (d p q) (4- 2D )( 7) 取 Y = N (R ) (像 元 数 目 ) , X = R (回

10、转 半 径 ) , F (D ) = D , 得 到 扩 散 限 制 凝 聚 (DL A 模型 ) :N (R ) R D模 型 (2)可 改 写 为 下 面 模 型 :Y = CX F (D ) (3)此 模 型 即 是 非 线 性 回 归 模 型 (1) 的 特 例 , H= (C , F (D ) ) , F (D ) 可 视 为 参 数 函 数 。 对 分 维 数D 的 研 究 可 转 为 对 分 维 数 函 数 的 研 究 , 其 效 果 是 一 致 的 。 因 为 F (D )是 D 的 一 个 一 对 一 变换 。2 分 形 统 计 模 型设 分 形 统 计 模 型 :N (r)

11、 = C r+ D- r 0 (4)其 中 , r 表 示 特 征 尺 度 ; C 0称 为 比 例 常 数 ; D 0称 为 分 维 数 ; N ( r) 表 示 尺 度 大 于 等 于 r的 数 目 (当 分 维 数 D 前 面 的 符 号 取 负 号 , 记 为 N ( r) ) 或 尺 度 小 于 等 于 r 的 数 目 (当 分 维数 D 前 面 的 符 号 取 正 号 , 记 为 N ( r) )。为 了 研 究 方 便 , (4)式 可 分 解 为 下 面 2式 :532 2期 申 维 等 : 分 形 统 计 模 型 的 理 论 研 究 及 其 在 地 质 学 中 的 应 用N

12、( r) = C rD r 0N ( r) = C r- D r 0(4)(4” )许 多 地 质 现 象 具 有 标 度 不 变 的 特 征 , 如 岩 石 碎 片 、 断 层 、 地 震 、 火 山 喷 发 、 矿 藏 和 油 井等 , 这 些 现 象 的 频 度 和 大 小 之 间 的 分 布 具 有 尺 度 不 变 性 。 分 形 分 布 的 特 点 要 求 大 于 等 于 或小 于 等 于 某 一 尺 度 的 数 目 , 与 物 体 大 小 之 间 存 在 幂 指 数 关 系 , 即 (4)式 的 关 系 。 例 如 r 可 表示 金 品 位 ; N ( r) 表 示 金 品 位 大

13、 于 r 的 样 品 数 目 ; r 也 可 表 示 圆 的 半 径 ; N ( r) 表 示 落 入半 径 为 r 圆 中 矿 体 的 个 数 。分 形 分 布 的 特 点 要 求 大 于 某 一 尺 度 物 体 的 数 目 , 与 物 体 大 小 之 间 存 在 着 幂 函 数 关 系 ,地 质 现 象 的 统 计 分 布 中 , 幂 函 数 分 形 分 布 (即 幂 函 数 分 布 、 帕 累 托 分 布 和 齐 波 夫 ) 不 是 唯一 的 一 类 , 还 有 如 对 数 分 布 等 其 它 类 型 。 但 是 幂 函 数 分 形 分 布 是 其 中 唯 一 的 一 类 不 含 特 征

14、尺 度 的 分 布 。 因 此 , 这 些 分 布 可 以 应 用 于 那 些 具 有 标 度 不 变 特 征 的 地 质 现 象 。 而 标 度 不 变性 则 提 供 了 应 用 幂 函 数 分 形 分 布 的 基 础 。 首 先 引 入 幂 函 数 分 布 (John et al. , 1970) 函 数 。如 果 随 机 变 量 X 密 度 函 数 :f (x ) = ak - aX a- 1 a 0 0 0 0 0V (X ) = ak 2 (a + 2) - 1 (a + 1) - 2 a 0在 高 端 截 尾 条 件 下 , 0 2. 0时 , 密 度 Q随 着 r 的 增 大 而

15、 增 大 。 当 D 2. 0时 , 密 度 Q随 着 r 的 增 大 而 减 少 。 当r= 1. 0时 , C = PQ= N (1)。01665 4 (矿 床 储 量 分 维 数 ) 01756 8 (地 表 矿 体 分 维 数 ) 01929 8 (地 表 矿 群 分 维 数 ) 2, 表 明 , 随 着 r 的 增 大 , 矿 床 储 量 , 地 表 矿 体 和 地 表 矿 群 的 密 度 逐 步 减 少 。因 此 分 维 数 D 定 量 表 达 矿 体 分 布 的 密 度 变 化 趋 势 , C 表 示 矿 体 分 布 的 初 始 值 , 它 们对 矿 产 资 源 勘 查 、 预

16、测 与 评 价 具 有 重 要 的 指 导 意 义 。142 2期 申 维 等 : 分 形 统 计 模 型 的 理 论 研 究 及 其 在 地 质 学 中 的 应 用参 考 文 献程 小 久 , 卢 建 杭 , 宋 亮 明 . 1994. 铜 锌 品 位 分 维 D 值 的 意 义 和 计 算 程 序 . 地 质 与 勘 探 , 30 (5) : 26- 30.李 紫 金 , 张 时 健 . 1993. 西 藏 自 治 区 曲 松 县 罗 布 莎 铬 铁 矿 成 矿 预 测 (1 25000)、 武 汉 : 中 国 地 质 大 学 出 版 社 , 1- 123.孟 宪 国 . 1993. R S 分 析 和 地 球 化 学 数 据 的 分 形 处 理 . 地 球 科 学 , 16 (3) : 281- 287.孟 宪 国 , 赵