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1、 视角下“角的和、差、倍”的教学李玲汪晓勤（华东师范大学数学系 ）胡晓娟（上海市建平远翔学校 ）引言“角的和、差、倍”是沪教版六（下）、人教版和苏教版七（上）和八（上）中的知识点教材首先通过三角尺作特殊角的和与差，通过例题介绍两角和的作图；接着，通过折纸引入角平分线的概念，通过例题介绍用量角器作角平分线的方法；最后，介绍角平分线的尺规作图法本节课的教学目标是：（）理解两个角的和、差、倍的意义，并会画角的和、差、倍，体会角的多重属性；（）理解角平分线的意义，并会画已知角的平分线；（）了解历史上数学家作角平分线的方法，激发学习兴趣，拓宽知识视野；（）理解尺规作图的意义，体会几何学的价值本节课的重点
2、是角平分线的作图、尺规作图的意义为了达成上述目标，我们采用了 （数学史融入数学教学）的视角来进行教学设计 视角下数学教学设计与实施的一般过程是：确定课例主题考察相关历史选取合适素材分析课堂需求设计课堂活动实施教学计划评价课堂活动根据上述过程，首先需要了解有关角平分线尺规作图的历史，基于课堂需要从中选取合适的素材，在趣味性、科学性、有效性、可学性和新颖性五项原则的指导下，将相关历史素材融入教学设计之中然后将教学设计实施于课堂，通过学生问卷调查和访谈、教师评课交流，获取师生反馈信息，据此进行教学反思历史材料根据设定的教学目标，我们从“角的概念”、“角的作图”、“角平分线的作图”、“三等分角问题”、
3、“尺规作图的意义”四个方面来搜集数学史素材 角的概念在数学史上，“角”是一个争议很多、很难刻画清楚、具有多重属性的几何概念古希腊早期数学家（如泰勒斯、亚里士多德等）是从“形状”的角度去看待角的，即赋予角以“质”的属性欧几里得从两线之间位置关系的角度去定义“角”，但在几何原本中，“角”又兼有“量”和“质”的属性阿波罗尼斯、普鲁塔克、卡普斯等都将角视为一种“量”而普罗克拉斯则认为，必须同时从量（大小）、质（形状和特征）、关系（两线之间的关系）三个方面来定义角，因为单独采用某一个方面，都未能完善地刻画角 角的作图几何原本第卷命题 ：“在一条已知直线上，过已知点作一个直线角，使其等于已知直线角”欧几里
4、得的作法如下：如图，在已知角犇犆犈的两条边上分别任取点犇和犈，连接犇犈在已知直线犃犅上作三角形犃犌犉，使得犃犌犆犈，犃犉犆犇，犌犉犈犇这里欧几里得利用了命题 ：“作一个三角形，使其三边分别等于三条已知线段”普罗克拉斯对上述作图法作了简化，相当于取犆犇犆犈，这就是今天教材中的方法图作一个角等于已知角角平分线图几何原本卷命题几何原本第卷命题：“平分一个已知直线角”此即：作一个已知角的平分线欧几里得给出如下的作图法：如图，在犗犃和犗犅上分别取点犇和犈，连接犇犈，在犇犈上作等边三角形犇犈犉，则犗犉就是角犃犗犅的平分线欧几里得的作图法是书本上作图法的特殊情形三等分角问题继二等分角之后，古希腊数学家继续研
5、究三等分角的尺规作图问题，但他们的尝试均以失败而告终一些古希腊数学家找到了解决这个问题的其他办法，有人借助尺规以外的机械工具，有人构造两种不同运动，都涉及超越曲线当然，这些方法都不能通过尺规作图来实现直到 世纪，数学家彻底证明：三等分角的尺规作图是不可能 年第 期中学数学月刊的然而古往今来，很多人热衷于三等分角问题，无谓地浪费了宝贵的青春年华尺规作图的意义古希腊数学家所用的直尺是没有刻度的，圆规双脚若同时离地就自动合拢，直尺和圆规被后人称为欧几里得工具古希腊数学家轻视几何学的实用性，他们崇尚几何学对于训练理性思维的价值当一名去亚历山大求学的年轻人问欧几里得：“我学了几何学能获得什么实际好处呢？
6、”欧几里得让手下人给了他个硬币，打发他走了在欧几里得看来，这样功利的学生是不值一教的古希腊哲学家们坚信，几何学能将人的灵魂引向真理，他们坚持使用欧几里得工具，因为尺规作图的每一步都必须是有依据的，所以尺规作图和其他几何证明问题一样，都可以训练人的逻辑思维能力历史上，无数人通过集合的学习得到了逻辑思维的训练，取得了事业的成功美国总统林肯就是其中典型的例子教学设计与实施课前让学生观看微视频，主要涉及两角和与差的作图以及角平分线的作图，让学生对本节课的内容有一个初步了解两个角的和与差首先让学生思考“什么是角？”，给出角的“静态”和“动态”定义静态定义具有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角动态定义由
7、一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所形成的图形两种定义分别呈现了“质”和“关系”的属性教师先通过几何画板来演示两角和与差（分别对应于逆时针和顺时针方向的旋转）接下来，让学生讨论怎样用直尺和圆规画两角和、两角差问题给定两个角，你会用直尺、圆规来画一个角，使它等于吗？黑板上展示普罗克拉斯的方法小结画两角和的步骤问题我们已经知道怎样画已知角的和，那么怎样画两个已知角的差呢？请学生到黑板上演示，并作点评，画两角差与两角和的不同之处在于方向由“同向”变成“反向”角平分线的作图师：公元前世纪，欧几里得在他的几何原本中记载了角平分线的作法，你们想知道他当时是怎样画角平分线的吗？问题历史上，欧几里得在几何原
8、本中是怎样画已知角的角平分线的？教师在黑板上演示欧几里得的角平分线尺规作图法，让学生思考：欧几里得是以线段为半径做圆弧，那么以其他长度为半径作弧可以吗？在让学生自己动手操作熟悉角平分线的画法后，教师提出两个思考问题问题这样用尺规画角平分线的依据是什么？由于学生尚未学过全等三角形知识，教师通过“翻折重合”来代替三角形的全等，并与视频中的折纸活动联系起来问题如何将一个已知角四等分、八等分、十六等分？三等分角问题师：刚才我们将一个角二等分、四等分，那么我们怎样将一个角三等分呢？大多数学生先画一个度数为的整数倍的角，计算出其三分之一，再用量角器测量教师让学生思考：如果给定角的度数不是的整数倍，比如 ，
9、量角器还有效吗？能用尺规将其三等分吗？教师介绍三等分角问题的历史 尺规作图的意义教师让学生讨论并比较用量角器作图与用尺规作图的特点，并总结：虽然用量角器作图比较便捷，但并不能代替尺规作图，因为后者的每一步都有理有据，因而能够训练我们的逻辑思维能力教师介绍古希腊数学家欧几里得的几何价值观最后，教师对本堂课作了简短的小结学生反馈课后，我们对班上 名学生进行了问卷调查 名学生均表示听懂了本节课的内容， 名学生表示以后还希望用这种形式上课，有 名学生表示希望多了解与教学内容相关的数学史知识对于问题“谈谈你对尺规作图意义的理解”，大部分学生都表示，尺规作图能使所作图形更精确，尺规作图能训练自己的逻辑思维
10、能力（图）问卷最后一题问学生，对于用量角器和用尺规作图画出角平分线这两种方法，更喜欢哪一种，说明理由，并用自己喜欢的方法画出给定角的角平分线有 名学生表示更喜欢尺规，两名学生中学数学月刊 年第 期图学生对尺规作图的看法表示更喜欢量角器，两名学生表示两者都喜欢，另外几名学生则没有明确表示更喜欢哪一种方法总体来看，学生还是倾向于尺规作图，对其意义有了较深入的理解从作图结果来看，只有名学生的角平分线画错了，其他学生作的图都是正确的图是一名学生的回答图学生对作图工具的倾向性结语从学生的课堂表现和课后反馈信息来看，本节课较好地实现了教学目标学生掌握了普罗克拉斯和欧几里得的作图法；通过尺规作图和量角器作图
11、的对比以及古希腊数学家的几何价值观，学生初步感受到几何学在训练逻辑思维方面的重要价值；通过静态和动态定义以及角的等分，体会到了角的“质”、“量”和“关系”三重属性本节课也有明显不足就数学史素材而言，没有讲述古希腊数学家或林肯的故事，没有通过 展示数学家的图片，因而趣味性体现不够就数学思想而言，关于尺规作图的意义，教师的讲解还缺乏足够的思想高度在数学史的运用方式上，主要运用了复制式和附加式，没有用到重构式本节课的缺点让授课教师深深感受到自身数学史知识的不足要开发完善、精彩的 案例，教师需要阅读更多的数学史书籍，积累更丰富的数学史素材，并对数学史素材进行必要的裁剪和加工；在教学设计环节，还需要与
12、研究者进行深入交流研讨这也是每一个对 跃跃欲试的教师要做的参考文献 ， ： ， ： ： ， ： ， ： ， ： ， ，檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶 （上接第 页）狓狔狔狓狔狔狓狔狓狓狔（狔狔）犽（狓狓）狓（犽狓）狓（犽狓）狓（犽狓）狓（犽狓）犽（狓狓）犽（狓狓）犽狓狓（狓狓）狓狓犽（狓狓）犽（狓狓）犽犽犽犽狓狓犽犽犽（狓狓）犽犽狓狓犽犽这似乎比前一解法来得直截了当，还可以推广一般结论不可否认，面对激烈的升学竞争，家长、学生和教师在严谨落实新课标和设法应对“难度超标”的试卷面前，只能把全国历届高考题中那些未必能正确反映课改目标的“
13、新颖题”、“压轴题”的有关内容，都纳入备考的必修内容，使数学教学，特别是备考，远远突破新课标的范围，大大增加学生的学习负担，背离课改的方向其实这些题目作为教师可以“登高远望”，但是对学生来说充分利用几何画板及超级画板进行数学实验就可以了，大可不必让学生再演算如此繁的题目可以在教学上腾出一定的时间让学生做一些类似文的研究，其实这也是课标所积极倡导的究竟高考解析几何试题的命制是出于考查学生的什么知识和能力，初高中知识如何衔接等问题，是值得我们研究和思考的参考文献梅向明，刘增贤，林向岩高等几何高等教育出版社， ： 昌明类比推理思想应用一例数学通报， （ ）： 陈思嘉汽车转弯时由内轮差引发的交通事故原因建模与分析数学通报， （ ）： 年第 期
