《2015-2016学年高中数学 4.2圆周率导学案 北师大版选修3-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015-2016学年高中数学 4.2圆周率导学案 北师大版选修3-1（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、圆周率我国魏晋时期数学家刘徽为了推导圆面积的计算公式并推求圆周率较精密之值，创造了“割圆术” ，为圆周率的研究工作奠定了理论基础和提供了科学的算法在此基础 上，南北朝数学家祖冲之继续推算，最后得到圆周率 的值就在 3.141 592 6 与 3.141 592 7 之间，准确到小数点后 7 位，成为世界上第一位把圆周率值计算准确至七位小数的人此外，祖冲之还给出了圆周率的两个分数值：准确度较低的 (约率)，准确度较高的227(密率)然而，究竟祖冲之是用什么方法把圆周率的值计算准确至七位小数，而他又是355113怎样找出作为圆周率的近似分数的呢？这些问题至今仍是数学史上的谜据数学史家们 分析，他很
2、可能采用了刘徽的“割圆术” ，如果这个分析不错的话，那么，祖冲之就需要从圆内接正六边形分割到圆内接正 12 288 边形和圆内接正 24 576 边形，依次求出各多边形的周长这个计算量是相当大的，至少要对九位数字反复进行 130 次以上各种运算，其中乘方和开方就有近 50 次，任何一点微小的失误，都会导致推算失败由此可见祖冲之深厚扎实的数学功底，严谨求实的科学态度祖冲之求得的这个圆周率值直到一千年以后才由阿拉伯数学家卡西于 1427 年打破1圆周率，一般以 来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数它定义为圆的与的比值圆周率是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值2祖冲之运用刘徽
3、的“割圆术”计算圆周率，算出了上下限：，并且用分数形式确定了圆周率的近似值，即约率为，密率为3最早试图从圆面积去求圆周率的人是古希腊数学家阿基米德，他认为圆介乎于外切正多边形与内接正多边形之间当正多边形之间边数不断增加时，圆的面积与正多边形的面积便越来越接近从他编写的圆的度量一书中，他用穷竭法得出圆周率介乎与之间4计算圆周 率，无论是阿基米德的穷竭法，还是刘徽的割圆术，都是逐步逼近的方法，都是思想的体现，这种思想为微积分的最终创立 奠定 了基础答案：1周长直径23.141 592 63.141 592 7 227 35511333 313 1714极限一、 的计算及历史【例 1】 查找资料，简
4、述 的计算历史，体会它们所反映的数学思想答： 的计算历史分为以下几个阶段：(1)实验时期中国古籍云：“周三径一” ，意即取 3.公元前 17 世纪的埃及古籍阿美斯纸草书(又称“阿梅斯草片文书” ；为英国人莱茵德于 1858年发现，因此还称 “莱茵德纸草书”)是世界上最早给出圆周率的超过十分位的近似值，为 或 3.160.25681( 3 19 127 181)至阿基米德之前， 值之测定倚靠实物测量(2)几何法时期反复割圆最早试图从圆面积去求圆周率的人是阿基米德(Ar chimedes，公元前 287前 212)他认为圆介乎于外切正多边形与内接正多边形之间随正多边形之间边数的不断增加，圆的面积与
5、正多边形的面积便越来越接近从他编写的圆的度量一书中，他用穷竭法得出圆周率介于 3 与 3 之间171 13公元 263 年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，他先从圆内接正六边形，逐次分割为正 12,24,48,96,192 边形他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣 ”(分割愈精细，误差愈小分割之后再分割，直到不能再分割为止，它就会与圆周完全重叠，就不会有误差了)其中有求极限的思想刘徽给出3.141 024 的圆周率近似值，并以 3.14(徽率)为其分数近似值15750公元 466 年，中国数学家祖冲之将圆周率算到小数点后 7 位的精确度，这一纪录在世
6、界上保持了一千年之久同时，祖冲之给出了 (密率)这个很好的分数近似值，它是分母355113小于 10 000 的简单分数中最接近 的为纪念祖冲之对圆周率发展的贡献，日本数学家三上义夫将这一推算值命名为“祖冲之圆 周率” ，简称“ 祖率” 可惜祖冲之的著作缀术已经亡失，后人无从得知祖冲之是如何估算圆周率的值的1610 年，荷兰数学家鲁道尔夫计算了正 262 边形的面积，正确地得出了 的 35 位小数后人为了纪念他的奋斗精神和他为计算 的值所作的贡献，在他的墓碑上刻上了以下结果：314159265288100000000000 314159265289100000000000(3)分析法时期无穷级
7、数无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种 值表达式纷纷出现， 值计算精度也迅速增加.1706 年英国数学家梅钦计算 值突破 100 位小数大关.1873 年另一位英国数学家尚可斯将 值计算到小数点后 707 位，可惜他的结果从 528 位起是错的到 1948 年英国的弗格森和美国的伦奇共同发表了 的 808 位小数值，成为人工计算圆周率值的最高纪录(4)计算机时代电子计算机的出现使 值计算有了突飞猛进的发展.1949 年美国马里兰州阿伯丁的军队弹道研究实验室首次用计算机(ENIAC)计算 值，一下子就算到 2 037 位小数，突破了千位数.1989 年美国哥伦比亚大学研究人员用克雷 2 型和
8、IBMVF 型巨型电子计算机计算出 值小数点后 4.8 亿位数，后又继续算到小数点后 10.1 亿位数.2009 年 8 月 17 日，日本筑波大学宣布，筑波大学研究人员借助最新的超级计算机，将圆周率计算到小数点后 257 69.803 7 亿位，创造了新的世界纪录搜集和整理有关 的计算方法二、圆周率与极限思想【例 2】 “穷竭法”是古希腊数学家阿基米德发明的 一种求曲边形面积的方法试用“穷竭法”计算由抛物线 y x2与 x 轴在直线 x0 和 x1 之间围成的曲边三角形的面积解：把底边0,1分成 n 等份，分点分别是 ， ，然后在每个分点处作底边的1n2n n 1n垂线，这样曲边三角形被分成
9、了 n 个窄条，对每个窄条，近似用矩形条替代每个矩形的底宽 ，高 2(i0,1,2， n1)，把这些矩形条加起来，得到 S 的近似值：1n (in)Sn0 2 2 2 12 22( n1) 2 1n (1n) 1n (2n) 1n (n 1n ) 1n 1n3 1n3 .n(n 1)(2n 1)6 (n 1)(2n 1)6n2对每个 n 都可以算出相应的 Sn的值，一方面，随着 n 的增大，S n的值越来越接近 S.但另一方面，所得的 Sn始终都是 S 的近似值，为了得到 S 的精确值，使 n 无限制地增大，从几何上看，面积为 Sn的那个多边形越来越贴近曲边三角形，从数值上看，S n无限接近一
10、个确定的数，这个数就是曲边三角形的面积 S，这个数等于 .13尝试应用下列公式计算 值，体会极限思想1 412 92 252 492 812 刘徽是我国第一个创造性地将无穷思想运用到数学中的数学家，他创立的“割圆术” ，通过增加圆内接正多边形的边数来逼近圆，体现了极限思想祖冲之以“割圆术”为理论基础，经过精心运算，把圆周率精确到小数点后 7 位阿基米德运用圆内接正多边形与外切正多边形逼近圆面积的极限思想，曾算到正 96 边形，得到 3.141 6.刘徽的“割圆术”和阿基米德的“穷竭法” ，这种无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础，是近代微积分理论的萌芽答案：1答：(1)我国周髀算径中 记载
11、有“周三径一” (2)古埃及、古希腊人用谷粒摆在圆形上，以谷粒数与方形对比的方法取得数值(3)阿基米德的计算方法在圆的测定一文中有记载(4)我国古代数学家刘徽的割圆术(5)祖冲之的计算方法(6)连分数法(7)利用级数或无穷连 乘积计算(8)计算机计算法2解：在一定范围内计算上式，采用繁分数形式1 412 92 252 492 812先计算2 ，812 4 812 8522 ，49285 170 9885 268852 ，2585268 536 2 125268 2 6612682 ，92682 661 7 7342 6611 .2 6617 734 7 734 2 6617 734 10 3957 734再由 ， 4 10 3957 734可得 2.976 047 73410 395 30 93610 395因为在展开式中取的项数有限，所以 值没有超过 3.
