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1、积分思想的渊源微积分作为近代数学的重要成果之一，是“人类精神的最高胜利(恩格斯)” 众所周知，在牛顿和莱布尼茨创立微积分 之前，许多伟大的数学家为此作出了杰出的贡献翻开有关微积分的教材和介绍其发展历史的著述，大多数定理的前面都冠之以某某外国人的名字，却很少甚至根本就没有反映中华民族对于微积分的形成与发展所作出的贡献但大量历史事实无可辩驳地说明，我国是人类数学的故乡之一中华民族有着光辉灿烂的数学史，对世界数学的形成与发展作出了巨大贡献作为产生微积分的必要条件中，有些是在我国早已有之魏晋时期的数学家刘徽的“割圆术” ，与近代极限思想基本上是一致的，可以说“割圆术”是最早的极限思想，至少也是近代极限
2、思想的雏形1问题是促使微积分产生的主要因素之一，而这类问题直到 17 世纪由和建立微积分之后才从根本上得到了解决2在积分思想发展的 过程中，一批古代伟大的数学家为此作出了杰出的贡献，如古希腊时代伟大的数学家、力学家，我国古代著名数学家、和等316,17 世纪是微积分思想发展最为活跃的时期，其杰出的代表有、以及卡瓦列里等，他们的工作为微积分理论的创立奠定了 基础4刘徽的割圆术是思想的开始，他计算体积的思想是的萌芽5刘徽从圆内接正六边形，并取半径为 1 尺，一直算到正 192 边形，得到了圆周率3.14，化成分数就是 ，这就是著名的徽率答案：1求积牛顿莱布尼茨2阿基米德刘徽祖冲之祖暅3伽利略开普勒
3、4极限积分学5.15750一、刘徽的割圆术【例 1】 根据刘徽割圆术的思想，试推导圆内接正 2n 边形的面积与圆内接正 n 边形面积之间的关系式解：如图所示，设圆的半径为 1，弦心距 OM 为 hn；正 n 边形的边长 AB 为 an，面积为Sn，根据勾股定理，得：hn ，1 (an2)2a2n (n6) ，(an2)2 (1 hn)2正 2n 边形的面积等于正 n 边形的面积加上 n 个等腰三角形的面积，即S2nS n n an(1h n)12根据这个递推公式，可求得 S66 ；S 123；S 243.105 828，34已知半径为 1 的圆内接正十二边形的边长为 ，面积为 3，求出圆内接正
4、二十四2 3边形的边长和面积二、割圆术与极限思想【例 2】 为什么说刘徽的“割圆术”与近代极限思想基本上是一致的？答：对于圆的面积的计算，在我国的古典算书九章算术的“圆田术”中给出了计算圆面积的法则：“半周半径相乘得积步 ”即圆的面积 S 与一个长为半周 ，宽为半径 RC2的长方形的面 积相等，即 S R.刘徽为推证圆面积公式，从已知圆的内接正六边形开始，C2不断割圆，每次将圆内接正多边形的边数倍增，依次得到圆的正十二边形、二十四边形、四十八边形其面积分别为：S123( a6R) R；C62S246( a12R) R；C122S4812( a24R) R；C242S32n32 n2 (a32n
5、1 R) R.C32n 12其中， an，C n与 Sn分别为圆内接正 n 边形的边长、周长和面积边数越多，圆内接正多边形的周长越接近于圆的周长，而正多边形的面积也越接近于圆的面积，圆面积与正多边形面积之差 32nSS 32n越小，当边数无限倍增下去，则正多边形便与圆周重合，其面积之差为零从极限的理论上来解释，就是SS 32n 32n，S 32n R，C32n 12当 n时，C 32n1 C， 32n0， S32n CR.limn lim n (12C32n 1R) 12故 S (S32n 32n)R CR.limn 12综上所述，刘徽的“割圆术”与近代极限思想基本上是一致的，于是我们可以说“
6、割圆术”是最早的极限思想，至少也是近代极限思想的雏形刘徽利用割圆术证明圆的面积公式时，用了“夹逼准则” 他认为在用圆内接正多边形逼近圆面积的过程中，圆半径在正多边形与圆之间有一段余径，以余径乘正多边形的边长，即二倍的“差幂” ，加到这个正多边形上，其面积则大于圆面积这是 圆面积的一个上界序列刘徽认为，当圆内接正多边形与圆是合 体的极限状态时， “则表无余径表无余径，则幂不外出矣” 就是说，余径消失了，余径的长方 形也就不存在了因而，圆面积的这个上界序列的极限也是圆面积于是内外两侧序列都趋向于同一数值，即圆面积请你用极限理论给以解释圆周率是对圆形和球体进行数学分析时不可缺少的一个常数，各国古代科
7、学 家均将圆周率作为一个重要课题我国最早采用的圆周率数值为三，即所谓“ 径一周三” 这个数值显然不能满足精确计算的要求汉代一些数学家已发现了这一问题，并在实际应用时采用多种圆周率数值经过他们的努力，数值精确度虽有提高，但大多是经验成果，缺少理论基础圆周率计算上的有所突破，有赖于有效方法的诞生，这种方法就是割圆术刘徽经过深入研究，他发现圆内接正多边形边数无限增加时，多边形周长可无限逼 近圆周长，从而创立了“割圆术” 刘徽借“割圆术”方法，以“不可分量可积”为前提， “夹逼准则”等知识证明了圆的面积公式，运算中包含着微积分的思想与刘徽类似的是，古希腊的阿基米德也用正多边形法去求圆周率但是阿基米德是
8、用归谬法证得这一结果的，避开了极限概念，而刘徽却大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法；且阿基米德的方法需另外计算圆外切正多边形面积，刘徽的方法则只需求内接正多边形面积与阿基米德比，刘徽的割圆术可谓事半功倍. 答案：1解： a12 ，2 3 h12 .1 (a122)2 1 (2 32 )2 2 32于是 a24 (an2)2 (1 hn)2 (2 32 )2 (1 2 32 )22 ，2 3S24 S1212 a12(1 h12)12312 122 3 (1 2 32 )6 2 33.105 828.2. 答：如图所示，设圆面积为 S0，圆内接正 n 边形的面积为 Sn.不难证明S2n S
9、0 S2n( S2n Sn)从已知圆的内接正六边形开始，不断割圆，每次将圆 内接正多边形的边数倍增，依次得到圆的正十二边形、二十四边形、四十八边形、32 n边形，其面积为：S32n32 n2 (a32n1 R) R.C32n 12当 n时， C32n1 C， S32n CR.limn lim n (12C32n 1R) 12又 S32n( S32n S32n1 ) RC32n 12 (C32n 12 R C32n 22 R) C32n1 R R，C32n 22 S32n( S32n S32n1 )limn limn (C32n 1R C32n 22 R) CR CR CR.12 12故 S0 CR.12
