《江苏省2012届高三高考信息卷数学（三）（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省2012届高三高考信息卷数学（三）（解析版）（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2012 高考数学信息卷三一、填空题1. 已知 2sin(45)(09)1，则 cos= 45.提示：依题意得 (45,)，又 272()1sin(45)10，则 27cos()10.2. 已知函数 ,12)(xaxfx，若 2()3fa，则 的取值范围是（-1,3）.提示：由题知， 2()3,()(6fff，若 2(1)3fa，则 9+ 26a，即 20a，解得 13a.3. 如图所示，点 P是函数 sin(),0)yxR图象的最高点， M、N是图象与 x轴的交点，若 MN，则 = 4 .提示：依题意得 ,，所以 P是等腰直 角三角形，又斜边 上的高为 2，因此有 N=4, 即该函数的最小正
2、周期的一半为 4，所以 8， 4.4. 已知 na是等比数列， 251,a，则12()nnSaN的取值范围是 4,8) .提示： 因为 是等比数列，所以可设 1nq.因为 251,4a，所以142aq，解得142aq.所以 1248122nnnnSa.因为 10n，所以 48n. 5.在 ABC中， D为 中点， 45,30,BADC2AB,则 D=312.提示：在 ABC和 中分别使用正弦定理即可.6. 在棱长为 1 的正方体 1DABC中，若点 P是棱上一点，则满足 12P的点 P的个数为 6 .提示：点 在以 AC为焦点的椭圆上， 分别在 A、 D、 1、 B、 1D、 上. 或者，若
3、P在 B上，设APx,有 221 1()(,xx.故 上有一点 P（ A的中点）满足条件.同理在 D、 1、 CB、 1D、 上各有一点满足条件. 又若点 在 上上，则 221BP.故 1B上不存在满足条件的点 ，同理 1上不存在满足条件的点 P.7. 已知 A、 是椭圆21(0)xyab和双曲线21(0,)xyab的公共顶点。 P是双曲线上的动点, M是椭圆上的动点（ P、 M都异于 A、 B） ，且满足 ()B，其中 R，设直线 A、 、 、 的斜率分别记为 1k、 2、 3、 4k, 125,则 34k -5 .提示：设 (,)Pmn、 (,)st， 2nab，22anmb，21stab
4、， 22t，由 ()APBM.得 OPM，即 ntms. 21225nnmbkama， MABDAC B25nbma， 222342 5.tsttbsbaksaat.二、解答题1. 已知关于 x 的不等式0)1(22ax.(1)当 2a时，求此不等式的解集；(2)当 时，求此不等式的解集.解：(1) 当 2a时，不等式可化为0)2(1x，所以不等式的解集为12|xx或.(2) 当 a时,不等式可化为0)(1ax，当 12时，解集为 |2;或当 时，解集为 |;x且a当时，解集为 |1.xa或2. 已知菱形 ABCD中， 4， 60BAD，将菱形 ABCD沿对角线 翻折，使点 翻折到点 1的位置
5、，点 E、 F、 M分别是 、 1、 的中点.(1) 证明： /平面 MF.(2) 证明： 1ACB.(3) 当 EF时，求线段 1A的长。解：（1）证明： /D， /平面 EF.(2) 证明：取 B中点 H，连 1,AC，在菱形 ABCD中 A BD C C11,AHBDC, 所以 BD平面 1ACH，所以 1BD.(3) EF, 平面 EF， ， 14AC.3. 在一个六角形体育馆的一角 MAN 内，用长为 a 的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示） ，已知 120，B 是墙角线 AM 上的一点，C 是墙角线 AN 上的一点(1) 若 BC=a=20, 求储存区域面积的最大值；(2)
6、若 AB=AC=10,在折线 MCN内选一点 D，使 20，求四边形储存区域 DBAC 的最大面积.解：(1)设 ,0.ABxy由 220cos12cos120xy ，得 204in6xy. 222110cos6013sin2sico6.si 4intaS 即 03y四 边 形 DBAC面 积 的 最 大 值 为 ， 当 且 仅 当 x=时 取 到 (2) 由 20，知点 在以 B， C为焦点的椭圆上，3251ABCS，要使四边形 DBAC 面积最大，只需D的面积最大，此时点 D到 的距离最大, 即 D必为椭圆短轴顶点由 103，得短半轴长 5BCDbS面积的最大值为522.因此，四边形 AC
7、DB 面积的最大值为 5034. 已知 na是以 为首项， q为公比的等比数列， nS为它的前 项和.(1) 当 134,S成等差数列时，求 的值；(2) 当 ,mnlS成等差数列时，求证：对任意自然数 ,mknlka也成等差数列.解：(1) 若公比 1q，则 134,SaSa.34265Sa,不满足 134,成等差数列， 1q. ()nnqS.134,S成等差数列, 3142S,即342()(1)aa，即 2()()()aqaq.0, 2 211()1()q.又 ， 2().即 210q， 52q.(2) 若公比 ，则 mknlkaa， ,mknlka成等差数列;若公比 1q，由 ,lS成等
8、差数列，得 2lS，即 ()()2(1)mlnaq， nmlq.又 12nknkq， 111()2mlkmlklnkaaqqmlnkaa， ,mknlka也成等差数列.5. 已知双曲线213yx.(1) 若一椭圆与该双曲线共焦点，且有一交点 (2,3)P，求椭圆方程. (2) 设(1) 中椭圆的左、右顶点分别为 AB、 ，右焦点为 F，直线 l为椭圆的右准线， N为 l上的一动点，且在 x轴上方，直线 N与椭圆交于点 M. 若AM,求 B的余弦值；(3) 设过 F、 、 三点的圆与 y轴交于 PQ、 两点,当线段 PQ的中点为 (0,9)时，求这个圆的方程.解：(1) 双曲线焦点为 2,，设椭
9、圆方程为21xyab.则24,9.2216,ab.故椭圆方程为216xy.(2) 由已知， (4,0)(,2,0)ABF 直线 l的方程为 8x.设 (,)0.NtMN, .t由点 在椭圆上，得 6故所求的点 M 的坐标为 (4,3).所以 (,3)21293ABAMB.65cos .694(3) 设圆的方程为 20,xyDEF将 N、 、 三点坐标代入，得21640,8,FDtt得27,8.t圆的方程为 2()0,xyty令 ,x得 27()80.yty设 12(0,(,)PQ)，则21,27()3.tt由线段 PQ的中点为 (0,9)，得 1278,1yt.此时，所求圆的方程为 20.x6
10、定义在 D 上的函数 )(f ，如果满足：对任意 Dx，存在常数 0M，都有 Mxf)( 成立，则称 x是 D 上的有界函数，其中 M 称为函数 )(xf 的上界.已知函数 21)(af.(1) 当 a时，求函数 )(xf在 0-，上的值域，判断函数 )(xf在 0-，上是否为有界函数，并说明理由；(2) 若函数 )(xf在 4,1上是以 3 为上界的有界函数，求实数 a 的取值范围.解：(1) 1a时， ,45)21()(2xf0,)(xf在上单调递增， ,145)2故函数 (xf在 -， 上的值域为 ).1,(又 ),0),1)f,不存在常数 M，使 xf(都成立.故函数 )(xf在 0-
11、，上不是有界函数.(2) 若函数 在 4,1上是以 3 为上界的有界函数,则 3)(xf在 上恒成立.即 ,2ax.242xax即 112在 4,上恒成立.)()( minmax2x令 1,4,1tx则 ， 1,4,)2()( minmax2 ttt.令 ttg24)(，则 21,56)8()2ttg.令 tth2)(，则 ,1)4()2th.实数 a的取值范围为 .8,三、理科附加题1.如图， BA,两点间有 5 条线，它们在单位时间内能通过的信息量依次 为2,3,4,3,2.现从中任取 3 条线且记在单位时间内通过的信息总量为 .(1)写出信息总量 的分布列.(2)求信息总量 的数学期望.
12、解：(1)由题意得, 的可能取值为 7, 8, 9, 10.,51)7(32C,103)8(35212C,)9(3512 ,)0(3512的分布列为：7 8 9 10511035210(2).542105291038572. 已知抛物线 L的方程为 2()xpy，直线 yx截抛物线 L所得弦42AB.(1) 求 p的值；(2) 抛物线 L上是否存在异于点 A、 B的点 C，使得经过 A、 B、 C三点的圆和抛物线 在点 C处有相同的切线.若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1) 由 2yxp解得 (0,)2,)p,所以 244AB，所以 2.(2) 由(1)得 2xy， (0,),假设抛物线 L上存在异于点 A、 B的点2(,)0,4)tCt，使得经过 A、B、 C三点的圆和抛物线 L在点 处有相同的切线.令圆的圆心为 (,)Nab，则由 N得222()()4abbtt得22448138tatbtb，因为抛物线 L在点 C处的切线斜率 |(0)2xtky，又该切线与 N垂直，所以2 314.14tbabtta所以223324() 0808ttttt因为 0,t，所以 t.故存在点 C且坐标为 (2,1).
