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1、公开课课案 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1）沁县六中教师 王军课时目标：分类加法计数原理和分步乘法计数原理。重点：准确理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理。难点：弄清两个计数原理的区别，正确地解决有关计数问题。教法：启发引导，抢答训练。教学手段：多媒体 PPT。互动过程：一、引例你能很快求出下面问题的答案吗?问题 1 不等式有多少组不同的正整数解?问题 2 由数字 0，1，2，3，4 可以组成多少个无重复数字的三位整数？问题 3 自然数 120 有多少个正约数？这些都是计数问题,可用列举的方法求出答案(即一个一个地去数),但不够快,如果问题稍复杂些，列举方法很难实施。如何能不
2、通过一个一个地数而确定出答案呢? 这就是本章要学习的内容。首先认识两个原理：分类加法计数原理和分步乘法计数原理。(阅读课本第 2 页至第 5 页内容)二、新课1、思考？用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？（生 1 答：26+10=36）2、思考？问题 1 如图,从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车。一天中,火车有 3 班, 汽车有2 班，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?（图示引导生 2 分析: 从甲地到乙地有 2 类方法：第一类方法是乘火车，有 3 种方法；第二类方法是乘汽车，有 2 种方法。所以 ,从甲地到乙地
3、共有 3+2=5 种方法。 ）3、抽象数学模型：（引导生 3 从具象中抽象出数学模型。把“从甲地到乙地”看成为“完成一件事”,完成它有火车与汽车两类方法:第一类火车有 3 班，有 3 种方法；第二类汽车有 2 班，有 2 种方法。因此完成“从甲地到乙地”这一件事共有 3+2=5 种不同的方法。 ）（要求生重点标记并集体朗读：分类加法计数原理：一般地，完成一件事，有两类不同方案，在第 1 类方案中有 种不同的方法，在第 2 类方案中有 种不mn同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法。 ）nN（提醒生注意：分类类类相加，不重不漏。 ）4、探究：（分小组探究课本第 3 页探究。 ）（引导生 4
4、将分类加法计数原理由两类推广到 类。更一般地，分类加法计数原理：n完成一件事，有 类不同方案。在第 1 类方案中有 种不同的方法，在第 2 类n1m方案中有 种不同的方法，在第 类方案中有 种不同的方法。那么完成2mn这件事共有 种不同的方法。 ）nmN21（再次提醒生注意：把完成一件事的所有方案分类，做到不重不漏；每类中的每一种方法都独立完成这件事，因此类类相加。 ）5、例 1：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到 、 两所大学各有一些自己感兴趣的AB强项专业，具体情况如下：大学 大学 A生物学 数学 会计学 化学医学 信息技术学 物理学 法学 工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共
5、有多少种选择呢？（生 5 答：这名同学在 大学中有 5 种专业选择，在 大学中有 4 种专业选择。根据AB分类计数原理，这名同学可能的专业选择共有 5+49 种。 ）6、变式：若还有 C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？（生 5 答：5+4+3=12 种。 ）7、第一次抢答训练：（训练题见附 1：第一次抢答训练题）8、思考？用前 6 个大写英文字母和 19 九个阿拉伯数字，以 ，1A， ， ，的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号2A1B2码？（图示引导生 6 分析: 由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个阿拉伯数
6、字中的任何一个组成一个号码，而且它们各个不同，因此共有 6954 个不同的号码。 ）9、思考？问题 2 如图,由 市去 市的道路有 3 条，由 市去 市的道路有 2 条。 从 市经ABBCA市去 市，共有多少种不同的走法?BC（引导生 7 分析: 从 市经 市去 市有 2 步。第一步，由 市去 市有 3 种方法，CAB第二步；由 市去 市有 2 种方法。所以，从 市经 市去 市共有 3 2 = 6 种不同A的方法。 ）10、抽象数学模型：（引导生 8 从具象中抽象出数学模型。把“从甲地到乙地”看成“完成一件事” ，完成它必须分从甲地到丙地和从丙地到乙地两个步骤: 第一个步骤有 3 种方法，第二
7、个步骤有2 种方法。 因此完成“从甲地到乙地”这一件事共有 32=6 种不同的方法。 ）（要求生重点标记并集体朗读：分步乘法计数原理：一般地，做一件事，完成它需要分成两个步骤，做第 1 步有 种不同的方法，做第 2 步有 种不同的方mn法，那么完成这件事共有 种不同的方法。 ）nN（提醒生注意：分步-步步相乘，步骤完整。 ）11、探究：（分小组探究课本第 5 页探究。 ）（引导生 9 将分步乘法计数原理由两步推广到 步。更一般地，分步乘法计数原理：n做一件事，完成它需要 个步骤，做第 1 步有 种不同的方法，做第 2 步有n1m种不同的方法，做第 步有 种不同的方法，那么完成这件事共有2mn种
8、不同的方法。 ）nN21（再次提醒生注意：将完成一件事的方法分成个步聚来进行，做到步骤完整；必须完成所有步骤才完成这件事，因此步步相乘。 ）12、例 2：设某班有男生 30 名，女生 24 名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？（生 10 答：分两步。第 1 步：从 30 名男生中选出 1 人，有 30 种不同选择；第 2 步，从 24 名女生中选出 1 人，有 24 种不同选择。根据分步乘法计数原理，共有 3024720种不同的选法。 ）13、例 4：要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出 2 幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？（生
9、11 答：分两步。第 1 步：从 3 幅画中选 1 幅挂在左边墙上，有 3 种选法；第 2步：从剩下的 2 幅画中选 1 幅挂在右边墙上，有 2 种选法。根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是 32=6。 ）14、第二次抢答训练：（训练题见附 2：第二次抢答训练题）15、两个计数原理的联系与区别：（引导生 12 分析）联系：分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题。区别：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这
10、件事。16、例 3：书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，第 3 层放有2 本不同的体育书。（1）从书架上任取 1 本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第 1，2，3 层各取 1 本书，有多少种不同的取法？（生 13 答：（1）分类加法计数：4+3+2=9。 （2）分步乘法计数：432=24。 ）17、第三次抢答训练：（训练题见附 3：第三次抢答训练题）18、小结：1、数学知识：分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其联系与区别；2、数学方法：分类加法计数方法和分步乘法计数方法。19、作业：课本第 6 页 练习 1，2，320、附 1：第一次抢答训练
11、题、从甲地到乙地一天有汽车 8 班，火车 3 班，轮船 2 班，某人从甲地到乙地，共有不同的走法数为（ ）、13 种 、16 种 、24 种 、28 种ABCD答案：8+3+2=13，选 。A、直接加分。、如图，从北京到杭州的途径有 种。答案：5+10=15 种。、理解父母难，别伤父母心，牢记父母情，誓报父母恩。祝你好运！、如图，在由电键组 与 所组成的并联电路中，要接通电源，使电灯发光的方法AB种数是 。答案：在电键组 中有 2 个电键，电键组 中有 3 个电键，共有 235 种接通电源AB使电灯发光的方法。21、附 2：第二次抢答训练题、3 名学生分别从计算机、英语两学科种选修一门课程，不
12、同的选法有（ ）、3 种 、6 种 、8 种 、9 种ABCD答案：222=8，选 。、加工某个零件分三道工序，第一道工序有 5 人，第二道工序有 6 人，第三道工序有 4 人，从中选 3 人每人做一道工序，则选法有 种。答案：564=120 种。、 “笨”到极致就是“聪明” ， “拙”到极致就是“巧” 。真正聪明人，都下“笨”功夫。祝你好运！、要安排一份 5 天的值班表，每天有一个人值班，共有 5 个人，每个人可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，此值班表共有 种不同排法？答案：先排第一天，可排 5 人中任一人，有 5 种排法；再排第二天，此时已不能排第一天已排的人，有 4 种
13、排法；再排第三天，此时已不能排第二天已排的人，有 4 种排法；同理，第四、五天各有 4 种排法。根据分步乘法计数原理，值班表不同的排法共有=54444=1280 种。N、直接加分。、某单位职工举行义务献血活动，在体检合格的人中， 型血有 18 人， 型血有OA10 人， 型血有 8 人， 型血有 3 人，从这四种血型的人中各选 1 人去献血，不同的选BAB法有种。答案：181083=4320 种。22、附 3：第三次抢答训练题、如图，从 有 不同的走法。CA答案：分为两类：不过 点有 2 种走法；过 点有 224 种走法。共有 426 种BB走法。、直接加分。、现有 6 名同学去听同时进行的
14、5 个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（ ）、 、 A65B56、 、C234D234答案：每位同学都有 5 种选择，则 6 名同学共有 种不同的选法。选 。65A、如图，要让电路从处到处接通，可有多少条不同的路径？答案：3+1+22=8（条） 。、4 名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是 还是 ？4333 个班分别从 5 个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是 还是 ？533答案：“一件事情”是“4 名同学分别参加 3 个运动队中的一个，每人限报一个，可以报同一个运动队” 。应该是人选运动队，所以不同报法种数是 。4“一件事情”是“3 个班分别从 5 个风景点中选择一处游览” 。应该是人选风景点，所以不同选法种数是 。35
