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1、实用标准 附件2 简单数学建模应用问题100例 前 言“数学建模”之解读数学教学过程中学习了一个数学公式后，需要做大量的应用题，通过训练加深理解所学公式。但是在生活中又有多少实际问题是可以直接套用公式的呢？理想状态下的公式直接运用，在生产及生活中的实例是少之又少。为此学生总感到学了数学没有什么实际用处，所以对学习数学少有兴趣。数学建模的引入对培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径，让中职学生从中体会到数学是来源于生活并应用于生活的.数学建模是一种思维方式，它是一个动态的过程，通过此过程可以将一个实际的问题，经过模型准备、模型假设、模型构成、模型解析、模型检验与应用等五
2、个具体步骤，转变为可以用数学方法（公式）来解决的，在理想状态下的数学问题，上述的整个流程统称为数学建模如果想解决某个实际问题（也许它和数学没有直接的关系），可以按下面流程对问题进行数学建模。一模型准备 先了解该问题的实际背景和建模目的，尽量弄清要建模的问题属于哪一类学科的问题，可能需要用到哪些知识，然后学习或复习有关的知识，为接下来的数学建模做准备.由于人们所掌握的专业知识是有限的，而实际问题往往是多样和复杂的，模型准备对做好数学建模问题是非常重要的.二模型假设 有了模型准备的基础，要想把实际问题变为数学问题还要对其进行必要合理的简化和假设.明确了建模目的又掌握了相关资料，再去除一些次要因素.
3、以主要矛盾为主来对该实际问题进行适当的简化并提出一些合理的假设。模型假设不太可能一蹴而就，可以在模型的不断修改中得到逐步完善.三模型构成 在模型假设的基础上，选择适当的数学工具并根据已知的知识和搜集的信息来描述变量之间的关系或其他数学结构（如数学公式、定理、算法等）.做模型构成时可以使用各种各样的数学理论和方法，但要注意的是在保证精度的条件下尽量用简单的数学方法是建模时要遵循的一个原则.四模型解析 在模型构成中建立的数学模型可以采用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明等各种传统的和现代的数学方法对其进行求解，其中有些可以借助于计算机软件来做这些工作。五模型检验与应用 把模型解析得到的结果与
4、实际情况对比，以检验其合理和有效性，检验后获取的正确模型对研究的实际问题给出预报或对类似实际问题进行分析、解释，以供决策者参考称为.不难发现，在上述的五个步骤中，关键的是第三步“模型构成”由数字、字母或其它数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。所以说模型构成是数学建模的核心，它和数学的关系最密切。所得出的数学公式、图形或算法称之为数学模型（即解决实际问题的数学描述）。通常所说的数学建模实际上就是：寻找有用的数学模型的过程为了避免作业书写中不必要的繁琐，通常用“分析”，“假设”，“模型”，“解析”，“检验”来表示数学建模的五个不同步骤，虽然每题不一定面面俱到，但假设，模型，
5、解析三个步骤要求明确目 录1.接触数学建模2.初识数学建模3.了解数学建模4.认知数学建模5.理解数学建模6.熟悉数学建模7.掌握数学建模8.应用数学建模9.巧用数学建模10.融通数学建模【 1 】一副扑克牌有54张，从中任取多少张，可以保证一定有5张牌的花色是一样的？分析 一副扑克共54张牌，除去大、小鬼还 有52张牌，其中4种花色各13张.在 运气最佳的情况下，只需取5张牌就可 得到同一花色的5张牌。那问题来了， 运气最不佳时至少要取多少张牌，才能保证一定有5张牌的花色是一样的呢？假设 假定至少要取张扑克牌，才能保证一定有5张牌的花色是一样的。模型 逆向思考问题（考虑极端情况）解析 在运气
6、最不好的情况下，每种花色各有4张，再加大、小鬼2张，共取18张是保证一定没有5张扑克牌的花色一样的最大可能。 所以 检验 即从54张扑克牌中任取19张，可以保证一定有5张牌的花色是一样的. 在很多情况下采用逆向地思考问题，可以使解题思路清晰、便捷.练习题 从0开始写后面的自然数，一直写到100。问：总共要写多少个“9”？【2】一只猫发现离它10步远的前方有一只老鼠在奔跑，猫便紧追。猫的步子大，它跑5步的路程，老鼠要跑9步。但是老鼠的动作频率快，猫跑2步的时间，老鼠能跑3步。问：按此速度猫能追得上老鼠吗？如果能，它要跑多少步才能追到呢？ 假设 此题两问可归结为一个问题：假定猫跑步就能追上老鼠 模
7、型 求猫与老鼠之间频率的最小公倍数解析 由频率关系可知，老鼠跑步的时间等于猫跑步的时间.根据路程关系知，猫跑6步其中有1步是追上老鼠的路程 可得本题的数学模型为 解得（步） 检验 由此可见，按照现有速度，猫要跑60步才能追得上老鼠.练习题 从日历上查得2015年元旦是星期四，请你推算出2017年元旦为星期几？【3】用长为40米的篱笆，一面靠墙围成一个养鸡场。现有如下三个方案：方案一：围成一个等腰三角形状，其面积记为S1；方案二：围成一个长方形，其面积记为S2 ；方案三：围成一个半圆形，其面积记为S3（1） 求方案一的最大面积；（2） 求方案二的最大面积；（3） 比较三个方案，哪个方案所围成的面
8、积最大，最大面积为多少？分析 方案三其面积（定值），均可求其最大值，取三者中的最大值。假设 设三角形的顶角为，则根据三角形的正弦定理 设长方形宽为，则模型 定义函数：为三者中取最大值.解析 由知，当且仅当时，S1的最大值为200平方米. 由知，当且仅当时，S2的最大值为200平方米. 平方米所以= 检验 在三个方案中，方案三所围成的面积最大（围成一个半圆形），最大面积约为平方米.练习题某单位招聘了6名新员工，总经理要把他们安排在三个组，每组两人，问共有多少种安排方式？【4】国庆长假期间，小李需要租用了汽车租赁公司一辆桑塔拉汽车外出旅游汽车租赁公司与小李签订的租车合同中约定:次日下午6时前交车按
9、一天计，交车时验车租车的收费标准见表.车型基本租金(元/辆、天)里程收费(元/km)桑塔纳2005小李在国庆前一天到租车公司取了车，同时交付了1000元押金长假第5天下午5时,他还车时支付了2800元租车费（含押金）问小李驾车行驶了多少km?假设 1.小李的租车费为y元，汽车行驶了x km2.租车时间不到一天按一天计3.小李在租车期间没有造成汽车损坏，2800元租车费为基本租金与驾车里程收费之和模型 一次函数的对应关系解析 由问题知道，小李共租用了5天汽车租车费用y为基本租金2005与汽车行程费用5x之和.因此，租车费用与车程之间的关系为即 将2800代入公式中的，得 解得由此可知，国庆期间小
10、李驾车行驶了360km练习题某电影院第一次买票不到30张，每张票价41元，第二次卖票不少于30张，其中29张的票价是40元，其余的每张票价30元，这两次票房收入公2351元，那么这两次共卖出电影票多少张?【5】小黑去菜市场回来，告诉爸爸他一共买了4样菜：4根黄瓜、3个西红柿、6个土豆、5个辣椒。“黄瓜每根6分钱，辣椒每个9分钱，”小黑对爸爸说，“一共花了1元7角钱。”“这笔帐不对，”爸爸笑着说，一定是算错了。”“您还不知道土豆每个多少钱、西红柿每个多少钱，怎么就知道错了呢?”“你再算一遍吧，肯定是错了。”爸爸肯定地说。小黑又仔仔细细算了一遍，真的是算错了。怪了，爸爸是怎么知道的呢?分析 如果小
11、黑说法无误，那么3个西红柿加6个土豆共花去1元零1分，假设 西红柿与土豆的价格分别为分.模型 不定方程的整数解解析 根据条件得： 因为不是3的正整数倍，所以不能被6整除，即没有正整数解，也就是说土豆的价格无论为几分，其“3个西红柿加6个土豆”不可能一共花去1元零1分.检验 重要的是要理清内在的逻辑关系.对于不定方程的求解需化为分式比较容易分析. 练习题有一个四位数，其值与它各位上的数子之和为1972，问此四位数为何？【6】有人邀请六个人参加一个会议，这六个人有些奇怪，他们提出了如下要求：1. 两人至少有一人参加会议2. 三人中有二人参加会议3. 两人一致决定，要么两人都去，要么两人都不去。4两
12、人中只有一人参加会议5. 两人中也只有一人参加会议6. 如果不去，那么也决定不去请在满足上述条件的基础上，推断最后究竟有哪几个人出席了会议。分析 找出其中关系最少的F，以此为突破口，所以从条件2开始讨论。假设 由条件2分别假定F不参加会议不参加会议不参加会议，分三种情况讨论模型 利用数学中的数理逻辑用语（充分条件）.解析 由条件2不妨假定F不参加会议，则都参加。由此根据条件4推知不参加，由条件6知也决定不去，和前面“都参加”矛盾。所以假定F不参加会议是错的。 假定F参加会议，则不参加会议，参加。由条件1知参加，由条件3知也参加，条件5知不参加，条件6知也不参加，与前面“参加”矛盾。 假定F参加
13、会议，则参加且不参加会议，由条件4知不参加，由条件6知也不参加（相符），由条件5知参加会议，由条件3知参加会议，与条件1两人至少有一人参加会议不矛盾。检验 由上知参加会议，不参加会议 练习题树林里住着小精灵姐妹俩，姐姐上午说真话，下午说假话；妹妹则和姐姐相反。一位猎人在树林里迷了路，正巧遇上姐妹俩，并交了朋友。猎人问：“谁是姐姐？”高个儿的说：“是我”。矮个儿的也说：“是我”。 猎人又问：“现在是什么时间了？”高个儿的说：“是上午”。矮个儿的说：“是下午”。 请推断现在是上午还是下午，哪位是姐姐？ 【7】某企业现有甲种原料360千克，乙种原料290千克。计划用这两种原料生产A,B两种产品共50件，已知生产一件A产品要用甲种原料9千克，乙种原料3千克；生产一件B产品需要用甲种原料4千克，乙种原料10千克.按要求安排A,B两种产品的生产件数，求共有几种安排方案？ 分析 （1）这是一个生产方案优化的问题，可以用数学的方法解决 （2）在现有的条件下，估计有若干种方案。（3）为了讨论的方便，可将所给条件列一张表需甲原料（千克）需乙原料（千克）A产品
