《2010-2011学年第一学期线性代数期末考试》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2010-2011学年第一学期线性代数期末考试（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2010-2011 学年第一学期线性代数期末考试一 （12 分）回答问题：1. 矩阵 等价于矩阵 的定义是：nmAnmB2. 矩阵 相似于矩阵 的定义是：3. 实矩阵 是正交矩阵的定义，或者充要条件是：n4. 实矩阵 是对称正定矩阵的定义，或者充要条件是：A二 （24 分）填空：1. 设矩阵 对应特征值 的 3 个线性无关的特征向量为 ，常数n0321,满足什么条件时， 也是 的特征向量321,k 321kkA2. 将 3 阶行列式 的第 1 列的 2 倍加到第 2 列得到的行列式记为 ，再对换D2D的第 2 行与第 3 行得到的行列式记为 ，那么 和 及 的数值关3D123系是什么？3. 设
2、矩阵 的特征值互不相同，且 ，则3A0detArank4. 设 为 2 阶方阵，2 维列向量组 线性无关，且满足 ，21,01A，则 的全体特征值是15. 设矩阵 的各行元素之和是 3，且 ，则 的伴随矩阵 的各行3A9detA*元素之和是6. 设线性方程组 有唯一解，划分 ，其中 为 矩阵，bxn)1( 211An2为 矩阵，则齐次方程组 的基础解系中含解向量的个数2A( 02xA的范围是三 （10 分）计算行列式 211nD)(n提示： 的第一行nD00012 四 （16 分）已知 可由 ， ， 线性表示，求10a124123a数 及全体表示式a五 （16 分）已知 为实对称矩阵，二次型
3、在正交变换AAxxfT321),(下的标准型为 ，且 的第 3 列为 Qyx21yQ01) 求矩阵 及 ；2) 求方程 的解0),(321xf六 （14 分）在向量空间 中，基（I） 与基（II） 满足R321,321,， ，212131) 求由基（I）改变为基（II）的过渡矩阵；2) 求 在基（I）下的坐标321七 （8 分）设 为 维列向量组，令 m, nTT1mA1) 证明 ；Arak2) 如果 线性相关，证明 ,1 rak例 2 已知 3 阶方阵 A=(a1,a2,a3), det(A)=2, 3 阶方阵B=(a1-a2+2a3,a2+a3,a2-a3), 求 det(B).例 3 已
4、知 3 阶方阵 A 的行列式 det(A)=2, 求 det(A-1-2A*)例 4 求例 1 中的第一行代数余子式之和.例 1 22 方阵 X 满足 AXB=2AX+C, 其中 A, B, C 是已知二阶方阵，求 X; (A+E)-1(A2-2A+3E)例 2 三阶方阵 P,A, A=(a1,a2,a3), 如果AP=(2a1,a1+a2,a3-a1) ,则 P=_例 3 设 A 是 mn 的矩阵，且 mn，则 det(AAT)=_例 4 设 A 是列满秩矩阵，证明:det(ATA)0例 5 设 A 是实对称矩阵，证明：对于x0,都有xTAx/xTxmax (A) 例 6 求 f=x2+y2
5、+z2-2xy-2yz-2xz 在满足 x2+y2+z2=1 的条件下的最大值与最小值。例 7 设 A 是 3 阶方阵，rankA=1, det( A+3E)=0,问 A 是否可对交化?说明理由.例 8 证明：若 n 阶方阵 A 满足 A2=A,则 rank(A-E)+rankA=n，且 A 可对角化。例 9 设 A 为 n 阶方阵，证明：例 1 设 A 是 n 阶方阵， x 是 n 维列向量，若存在一正整数 k 使得 Ak-1x0，Akx =0，证明 向量组 x, Ax, ,Ak-1x线性无关.例 2 设 A 是三阶方阵， 1,2 是 A 的两个互异特征值，x1 与 x2 是对应的特征向量，又 Ax3= x2+ 2 x3, 证明向量组 x1, x2, x3 线性无关。例 3 设向量空间V=(x1,x2, xn)|x1-2x2=0, x2+x3-x4=0, x1-x2+x3-x4=0,则 dimV=_例 4 设 A,B 分别是 mn 与 np 矩阵，且 AB=0，证明rankA+rankBn例 5 设矩阵 A,B 都是 n 阶方阵，证明：若 rankA+rankBn, 则 Ax=0 与 Bx=0必有公共非零解。例 6 若方阵 A,B 满足 A-B=AB，证明: 1 不是 B 的特征值（B-E 可逆） ；例 7 正交矩阵的实特征值只能是正负 1.101*nrakrank
