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1、2018江苏省物理学会物理理论夏令营电磁学部分,数学预备知识,一.导数,1. 极限,若当自变量x无限趋近某一数值x0（记作xx0）时，函数f(x)的数值无限趋近某一确定的数值a，则a叫做xx0时函数f(x)的极限值，并记作,2. 导数与微分,y(x)在x0处的导数为,在每一个x0处可以求出函数的导数值，所以导数值构成x的函数，即为导函数y(x)（有时就写y）。导函数可以再求导，得到原函数的二次导数y (x) （有时就写y），继续下去，可得到更高阶导数。,导数y(x0)的几何意义是函数y在x0点处切线的斜率。,在数学上，常用dx表示无穷小的x，叫做x的微分，dy=y(x+dx)-y(x)叫做y的
2、微分，据此，导数可记为形式：,二阶导数可写为,还有时（尤其对时间求导时），常用点表示求导：,3. 物理中的导数举例,4. 一些常见函数的导数,根据定义，我们可以求得：,5. 导数运算法则,（右侧函数变量隐去了）,练习1：根据第2式和第4式推出第3式。,练习2：根据cosx和sinx的导数推出tanx的导数。,6. 常用导数表,例1. 求下列函数的导数，其中（4）对t求导 （1） （2） （3） （4）,介绍：偏导数,对一个多元函数可以求偏导：以f(x,y,z)为例，对x求偏导时将y,z看做常数；对y求偏导时将x,z看做常数；对z求偏导时将x,y看做常数。,例. f(x,u)=cos(ux)+u
3、,7. 利用导数求极值,函数在极值处斜率为0，可据此用求导的方法求极值。,例2. 求下列函数的极值： （1）y=x2+4x+1的最小值； （2） 在x0范围内的最小值； （3） 的最大值；,8. 泰勒级数,其中f(m)(x0)是f的m阶导数在x0处的值， f(0)(x0)= f(x0)。,若要保留到第k阶小量，在x0靠近x时，,例3. 求下列函数的近似： （1）cosx在x=0附近保留到第三阶小； （2） sinx在x=0附近保留到第三阶小； （3）1/(1-x)2在x=0附近保留到第二阶小。,速度是位移对时间的求导。如果已知速度与时间的函数关系，我们可以用v(t)dt求出dt时间内的位移（因
4、为dt无穷小，在这段时间内物体可看作匀速运动，相对误差为无穷小），然后再求和就得到一段时间内的位移，这个过程我们称为积分。如果知道初始位置，我们就能求出任一时刻的位置。,二.积分,一个函数的积分在几何上可以理解为函数图线下方包围的面积。比如v-t图下方包围的面积就是v对t的积分，物理上知道这是位移，也就是说位移是速度的积分。若给了v(t)，并且若指定t的范围，可以求出一个确切的位移，这是定积分；如果不指定t的范围，则求不出确切的位移值，这是不定积分。,定积分基本定理：若被积函数f(x)是某个函数(x)的导数，即f(x)=(x)，则在xa到xb区间内f(x)对x的定积分等于(x)在这区间内的增量
5、：,不定积分：,因为(x)和(x)+C的导数一样。,在不定积分中代入上下限后能得到定积分值，其中常数C消去了。,一些积分定理：,例4. 求下列函数的积分： （1）sin(ax+b)； （2）sinxcosx； （3）,物理中用到的一些积分举例：,三.矢量的运算,1. 矢量的加减法可用三角形法则,2. 矢量的数乘,3. 矢量的内积（点乘、标积）,矢量的标积得到一个数。矢量的标积满足交换律和分配律。,是两个矢量的夹角,4. 矢量的外积（叉乘、矢积、矢量积）,是两个矢量的夹角,C的方向可由右手螺旋定则确定，如图。,矢量的矢积得到一个矢量。矢量的矢积满足反交换律和分配律。一个矢量和自己进行矢积得到零。,物理上一些用到的矢积举例：,线速度,力矩,角动量,安培力,洛仑兹力,
