《19.3.1 正方形及其性质 课件华东师大版数学 八年级下册》由会员分享，可在线阅读，更多相关《19.3.1 正方形及其性质 课件华东师大版数学 八年级下册（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,华东师大版 数学 八年级（下）,第19章 矩形、菱形与正方形 19.3 正方形 第1课时 正方形及其性质,1.理解正方形的概念，了解正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系 2.掌握正方形的有关性质 3.能运用正方形的性质解决有关计算和证明问题.,学习目标,同学们观察下列一组图片，你发现了那些几何图形：,导入新知,定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正 方形； 要点精析： (1)正方形的四条边相等，说明正方形是特殊的菱形； (2)正方形的四个角都是直角，说明正方形是特殊的矩形 即：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形,合作探究,新知一 正方形的定义,例1,下面四个定义中不正确的是()
2、A有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 B有一组邻边相等的四边形叫做菱形 C有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 D有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形,B,1下列说法错误的是() A正方形是平行四边形 B正方形是菱形 C正方形是矩形 D菱形和矩形都是正方形,巩固新知,2已知，在四边形ABCD中，ABC90，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形， 那么这个条件可以是() AD90 BABCD CADBC DBCCD,正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形正方 形具有矩形的性质，同时又具有 菱形的性质,合作探究,新知二 正方形边的性质,正方形边的性质：四条边相等，邻边垂直，对
3、边平行.,例2,如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE3，EC1.连结AE，点F在射线AB上，且满足CFAE，则A，F两点间的距离为_,1或7,DE3，EC1，正方形ABCD的边长为4. 在RtADE和RtCBF中， AECF，ADCB，RtADERtCBF， BFDE3. 点F在射线AB上， 分两种情况：当点F在线段AB上时，AFAB BF431；当点F在AB的延长线上时， AFABBF437.,导引：,1正方形具有而矩形不一定具有的性质是() A四个角都相等 B四条边相等 C对角线相等 D对角线互相平分 2如图，正方形ABCD的面积为2， 则以相邻两边中点连线EF为边 的正方形EF
4、GH的周长为() A2 B C4 D,巩固新知,3(中考毕节)如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BEEC21，则线段CH的长是() A3 B4 C5 D6,动手操作：制作一张正方形纸片，通过折叠并观察， 回答下列问题. 问：它是轴对称图形吗？有几条对称轴？对称轴之间 有什么位置关系？有什么数 量关系？,合作探究,新知三 正方形角的性质,1.正方形的性质： (1)角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相 垂直平分，每条对角线平分一组对角；既是轴对称图 形，有4条对称轴，又是中心对称图形；面积为边长 的平方或对角线平方的一半 (2)正方形
5、的特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分 成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分 成四个全等的等腰直角三角形； 周长相等的四边形 中，正方形的面积最大 2. 易错警示：正方形具备其他四边形的所有性质，应用时 要细心寻找,例3,如图，已知正方形ABCD.求ABD、DAC、DOC 的大小.,分析：,由正方形的特殊性质，可知 DOC90. 易证ABOCBO， 从而可得ABD 同理可得DAC45.,例4,已知：如图，在正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DGAE于G，DG交AO于F，求证：EFAB.,导引：,要证EFAB，由于OBA 45，EOF90，即需证 OEF45，即
6、要证明OE OF，而OEOF可通过证明 AEODFO获得,解：,四边形ABCD是正方形， AOEDOF90， AODO，OBA45. DGAE， EAOAEOEDGGED90. 又AEOGED，EAOEDGFDO. AEODFO(ASA.)OEOF. OEF45.OEFOBA，EFAB.,通过证明三角形全等得到边和角相等，再进一 步得到平行或垂直，是有关正方形中证边或角相等 的最常用的方法，而正方形的四条边相等，四个角 都是直角为证明三角形全等提供了条件,归纳小结,例5,如图，正方形ABCD的边长为1 cm，AC为对角线，AE平分BAC，EFAC，求BE的长,导引：,线段BE是RtABE的一边
7、， 但由于AE未知，不能直接用 勾股定理求BE，由条件可证 ABEAFE，问题转化为 求EF的长，结合已知条件易 获解,合作探究,解：,四边形ABCD为正方形， B90，ACB45，ABBC1 cm. EFAC，EFAEFC90. 又ECF45， EFC是等腰直角三角形，EFFC. BAEFAE，BEFA90，AEAE， ABEAFE. ABAF1 cm，BEEF，FCBE. 在RtABC中， FCACAF( 1)cm，BE( 1)cm.,1已知正方形纸片ABCD的边AB长2 cm.求这个正方形的周长、对角线长和面积. (长度精确到0.1 cm) 2(中考怀化)如图，在正方形ABCD中，如果A
8、FBE，那么AOD的度数是_,巩固新知,3(中考黄冈)如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若CBF20，则AED的度数是_,4(中考怀化)如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则BFC等于() A45 B55 C60 D75,正方形同时具备平行四边形、矩形、菱形的所有 性质，因此，正方形的四个角都是直角，四条边都相 等，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分 一组对角，正方形是轴对称图形，有四条对称轴这 些性质为证明线段相等、垂直，角相等提供了重要的 依据,归纳新知,1(4分)正方形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A四条边都相
9、等B对角线互相垂直平分 C对角线相等 D对角线平分一组对角,C,课堂练习,2(4分)如图，在菱形ABCD中，B60，AB4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A14 B15 C16 D17,C,3(4分)(鄂尔多斯中考)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边ABE，则BED为( ) A15 B35 C45 D55,C,A,5(8分)(自贡中考)如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CEDF，连结AE和BF相交于点M. 求证：AEBF.,6(4分)下列说法不正确的是( ) A一组邻边相等的矩形是正方形 B对角线相等的菱形是正方形 C对角线互相垂直的
10、矩形是正方形 D有一个角是直角的平行四边形是正方形 7(4分)(日照中考)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：ABBC；ABC90；ACBD；ACBD中选两个作为补充条件，使ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是( ) A B C D,D,B,8(8分)(舟山中考)如图，等边AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且CEF45. 求证：矩形ABCD是正方形 证明：四边形ABCD是矩形，BDC90，AEF是等边三角形，AEAF，AEFAFE60，CEF45， CFECEF45，AFDAEB180456075，AEBAFD(AAS)，ABA
11、D，矩形ABCD是正方形,解有关正方形的问题，要充分利用正方形的四 边相等、四角相等、对角线垂直平分且相等等性质 解题，正方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾 股定理是解决正方形的相关证明与计算问题的三把 钥匙,归纳小结,1如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BEEC21, 则线段CH的长是( ) A3 B4 C5 D6,B,课后练习,2如图，在边长为2的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连结PB，PQ，则PBQ周长的最小值为_,3(易错题)(绍兴中考)如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，PAD30，以点
12、B为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则ADE的度数为_,15或45,4(教材P121习题T2变式)(长沙中考改编)如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DECF，AF与BE相交于点G. (1)求证：BEAF； (2)若AB4，DE1，求AG的长 解：(1)证明：四边形ABCD是正方形，BAEADF90，ABADCD，DECF，AEDF，BAEADF(SAS)，BEAF,5(青岛中考)如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连结CE，CF，OE，OF. (1)求证：BCEDCF；
13、(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由 解：(1)证明：四边形ABCD是菱形，BD，ABBCDCAD，点E，F分别为AB，AD的中点，AEBEDFAF，BCEDCF(SAS) (2)当ABBC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：由(1)得AEOEOFAF，四边形AEOF是菱形，ABBC，OEBC，OEAB，AEO90，四边形AEOF是正方形,6如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PAPE，PE交CD于点F. (1)证明：PCPE； (2)求CPE的度数； (3)如图，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当ABC120时，连结CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由,解：(1)证明：在正方形ABCD中，ABBC，ABPCBP45，又PBPB，ABPCBP(SAS)，PAPC，PAPE，PCPE (2)ABPCBP，BAPBCP，DAPDCP，PAPE，DAPE，DCPE，CFPEFD，CPFEDF90 (3)在菱形ABCD中，ABBC，ABPCBP60，又PBPB，ABPCBP(SAS)，PAPC，BAPBCP，PAPE，PCPE，DEPDAPDCP，PAPC，DAPAEP，DCPAEP，CFPEFD，CPFEDF180ADC18012060，EPC是等边三角形，PCCE，APCE,再见,
