行列式的计算及应用毕业论文

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1、绥化学院本科毕业设计（论文）行列式的计算及应用学生姓名： 张 萍 学 号： 201051037 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2010 级 指导教师： 付 丽 讲 师 Suihua University Graduation Paper Calculating Methods of Determinant and its ApplicationStudent name Zhang Ping Student number 201051037 Major Mathematics and Applied Maths Supervising teacher Fu Li Suihua Univer

2、sityI摘 要行列式理论是代数学的重要组成部分, 并成为一种重要的学习工具，不仅用来计算高等代数问题，还可以用来解决初等数学中的一些重点难点问题，因此懂得解行列式就非常重要本文总结了行列式的几种计算方法，并对每种方法进行例题跟踪，并叙述了行列式在初中代数和解析几何等几个方面的应用，以便更好的运用行列式解决实际的问题关键词：线性方程组; 行列式; 初中代数；解析几何IIAbstractThe determinant is an important component of the theory of algebra , and become an important mathematical

3、tool, so it is very important to know the solution determinant. This paper summarizes eleven methods of calculating the determinant, and each method are examples of tracking. Also describes the determinant in the application of the two aspects of junior high school algebra and analytic geometry, to

4、solve series of problems in several aspects, in order to better use the determinant to solve practical problems.Key words: linear equations; determinant; junior high school; algebra analytic geometryIII目 录摘 要.IAbstract.II第 1 章 行列式的计算方法1第 1 节 利用行列式定义与性质计算.1第 2 节 化三角形法.3第 3 节 降阶法.4第 4 节 递推公式法及数学归纳法.5第

5、 5 节 利用范德蒙行列.7第 6 节 行列式的特殊计算法.8第 2 章 行列式的应用.11第 1 节 行列式在代数中的应用.11第 2 节 行列式在几何中的应用.12第 3 节 行列式在多项式理论中的应用.14结 论.16参考文献.17致 谢.18绥化学院 2014 届本科生毕业论文1第章 行列式的计算方法第 1 节 利用行列式定义与性质计算定义 11 对任何 阶方阵 ，其行列式记为 nijnAaijnAa121212nnntpij ppp 其中 是数组 1，2， 的全排列， 表示对关于这些全排列的项(共有12np项) 全体求和 !n性质1 行列互换，行列式不变，即.nnnnnnaaa 21

6、2121212112性质1表明，行列式中行与列的地位是对称的，所以凡是有关行的性质，对列同样成立性质2 对换行列式两行的位置，行列式反号性质3 若行列式有两行相同，则行列式等于0性质4用一个数乘以行列式的某一行，等于用这个数乘以这个行列式，或者说某一行的公因式可以提出来，即.nniiinnniii naaaakaka 2111221112推论1 若行列式某行（列）元素都是0，则行列式等于0推论2若一个行列式的任两行成比例，则行列式值为0性质5 行列式具有分行相加性，即绥化学院 2014 届本科生毕业论文2= + .nnnnaacbcbaa 211121 nnnaba 21112 nnnacca

7、 21112性质6 把行列式的某一行的若干倍加到另一行，行列式值不变，即.nnkhkiniinnn kkk knikiki aaaaaccaa 212112121 11例 11计算行列式 .0543D解 展开式中项的一般形式是.1234jja显然，如果 ，那么 ，从而这个项都等于零因此只需考虑 的那些51j01j 51j项；同理，只需考虑 ， ， 这些列指标的项这就是说行列式不为零2434j的项只有 这一项，而 这一项前面的符号应该是正的，所以13214a6)2(.1205D例 22 计算 级行列式 .ncdcd 解 这个行列式的特点是每一行有一个元素是 ，其余 个是 . 根据性质1nd6，把

8、行列式第二列加到第一列，行列式不变，再把第三列加到第一列，行列式不变，直到第 列也加到第一列，即得n绥化学院 2014 届本科生毕业论文3= .cdnccddncd)1()(1 1()1dcnd把第二行到第 行都分别加上第一行的-1 倍，就有.dcdcdncd 0)(根据例 1 得 .1)()ndncd把行列式的某一行（或列）的元素写成两数和的形式，然后利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和, 进而使行列式简化以便计算5例 3 计算行列式 .321aaD解 321321 0aaa= .323)(第 2 节 化三角形法化三角形法是将原行列式化为上(下)三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法

9、，这是计算行列式的重要方法之一. 利用行列式的定义容易求得上(下)三角形行列式或对角形行列式对于各行（或各列）之和相等的行列式，将其各行（或列）加到第1行（或第1列）或第 行（或第 列） ，然后再化简n绥化学院 2014 届本科生毕业论文4例 计算行列式 .0123D解 = .41302431 rD1320423 r 250134432r原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁，因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作某种保值变形，再化为三角形行列式例 2 计算行列式 .xaD解 它的特点是各列元素之和为 ，因此把各行都加到

10、第一行，然后第一)3(行再提出 ，得)3(xaxaxaD1)3(将第一行乘以 分别加到其余各行，化为三角形行列式，则)(a= .axxD011)3( 3)(3ax第 3 节 降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用行列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开绥化学院 2014 届本科生毕业论文5例 1 计算行列式 .412730D解 2134)(21430022314 cD.376)(706134231 r第 4 节 递推公式法及数学归纳法应用行列式的性质，把一个 阶行列式表示为具有相同

11、结构的较低阶行列式（比n如， 阶或 阶与 阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式根1n2据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给 阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法使用递推方法首先要利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明但给定一个行列式要猜想其值是比较困难的，因此数学归纳法一般直是用来证明行列式等式例 1 计算 阶行列式 n4314nD解 按第一列展开211 34314034 nnn DD绥化学院 2014 届本科生毕业论文6于是有= ，32133nnnn DD12及= )()( 32211 nnn nnD3)(

12、12从上两式削去 ，得 31对于形如 的所谓三角行列式，可直接展开得两项递推公式，然后采用如下方法求解21nnD方法 1 如果 较小，则直接递推计算方法 2 用第二数学归纳法：即验证 时结论成立，设 结论成立，若可1nkn证明出 时结论也成立，则对任意自然数结论也成立k方法 3 将 变形为 ，其中21nnD )(211nnnpDqp，qp由韦达定理知 和 是一元二次方程 的两个根确定 和 后，令pq02xpq，利用 递推求出 ，再由 递推1)(nDxf )1()nff )(nf )(1nfn求出 n方法 4 设 ，代入 ，得 ，因此nx021nnD021nnxx有 （称为特征方程） ，求出根

13、和 （假设 ） ，则02x x21这里 , 可通过取 和 来确定12nDk1k2例 2 求 阶行列式的值 .n 0110nD解 按第一行展开得 ，即 作特征方程 解得2n.2nD012x，则ixi21,nibiaD)( )(绥化学院 2014 届本科生毕业论文7当 时， ，代入 式得 当 时， ，代入 得1n01D)1(;0iba2n12D)(联立求解得 ，故 ba21()nDi例 3 计算 阶行列式 n xaaxnn 122100 解 用数学归纳法 当 时2= .2112)(xaxD21x假设 时，有kn.kkkkk axxx121则当 时，把 按第一列展开，得11k1kD= 11)( kkaxxa= .21kk第 5 节 利用范德蒙行列式范德蒙行列式具有逐行元素