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1、专题04 平面几何中的向量方法一、单选题1如图，在梯形中，为线段的中点，且，则ABCD【试题来源】河南省2021届高三名校联盟模拟信息卷（文）【答案】D【分析】根据向量的线性运算法则求解即可【解析】由题意，根据向量的运算法则，可得，故选D2如图，四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE，则=ABCD【试题来源】2020-2021学年高二数学单元测试定心卷（人教B版2019选择性必修第一册）【答案】B【分析】由向量线性运算的几何含义知，即可得与的线性关系式【解析】四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE，所以=+=故选B.3已知是内的一点，且，若和的面积分
2、别为，则的最小值是ABCD【试题来源】辽宁省锦州市渤大附中与育明高中2020-2021学年高三上学期数学第二次月考【答案】B【解析】利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把转化为利用基本不等式求得的最小值即可因为，所以 故选B4在四边形中， ，且，则四边形是A平行四边形B菱形C矩形D正方形【试题来源】陕西省商洛市商南高中高三上学期期中（文）【答案】C【分析】由，可判断四边形为平行四边形由然后可得，故可得答案【解析】：由可得四边形为平行四边形，因为，即，所以所以四边形为矩形故选C5若且，则四边形的形状为A平行四边形B矩形C菱形D等腰梯形【试题来源】人教A版（
3、2019） 必修第二册 必杀技 第6章【答案】C【分析】根据条件中的向量关系反映出来大小关系和方向关系来判断【解析】可知，四边形为平行四边形，因为，所以四边形为菱形故选C6在中，则是A直角三角形B等边三角形C钝角三角形D等腰直角三角形【试题来源】人教A版（2019） 必修第二册 过关斩将 第六章【答案】B【分析】根据向量的线性运算化简判定即可【解析】，则，故是等边三角形故选B【名师点睛】本题主要考查了利用向量判定三角形形状的方法，属于基础题型7若，且，则四边形是A平行四边形B菱形C等腰梯形D非等腰梯形【试题来源】人教A版（2019） 必修第二册 必杀技 第6章【答案】C【分析】由题意可知，且，
4、而对角线，由此可知四边形为等腰梯形【解析】因为，所以，因为，所以四边形是等腰梯形，故选C8中，设，若，则的形状是A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D无法确定【试题来源】人教A版（2019） 必修第二册 过关斩将 第六章【答案】C【分析】有题意可得，从而可判断出，得为钝角，从而得出答案【解析】因为，所以，所以角为钝角，故选C【名师点睛】本题主要考查根据向量的数量积判断角的大小，进而判断三角形的形状，属于基础题9过内部一点任作一条直线，于，于，于，都有，则点是的A三条高的交点B三条中线的交点C三边中垂线的交点D三个内角平分线的交点【试题来源】人教A版（2019） 必修第二册 过关斩将 第六章【答
5、案】B【分析】根据特殊位置法，可以判断，当直线经过三个顶点时，可得为中线，由此可得结论【解析】当直线经过C点时，即为，于是，是边上的中线；同理，当经过A点时，是边上的中线；当经过B点时，是边上的中线；因此，点是的三条中线的交点，故选B【名师点睛】本题主要考查三角形的五心的应用，解题时要认真审题，注意向量的灵活运用，属于中档题10已知，则的形状是A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等边三角形【试题来源】人教B版（2019） 必修第三册 过关斩将 第八章【答案】A【分析】利用坐标表示，根据向量数量积坐标表示，可得结果【解析】，为直角三角形故选A.11已知的面积为2，在所在的平面内有两点、，满足，
6、则的面积为ABC1D2【试题来源】河北省衡水中学2019届高三下学期六调（理）【答案】B【分析】画出，通过，标出满足题意的 位置，利用三角形的面积公式求解即可【解析】由题意可知，为的中点，可知为的一个三等分点，如图：因为所以故选B【名师点睛】本题考查向量在几何中的应用，三角形的面积的求法，考查转化思想与计算能力12已知是以C为直角顶点且斜边长为2的等腰直角三角形，P为所在平面内一点，则的最小值为ABCD【试题来源】江苏省常州市教育学会2019-2020学年高一上学期期末【答案】B【分析】利用建系的方法，表示出，然后根据向量的坐标运算，化简变形，可得到结果【解析】如图，设点，由是斜边长为2的等腰
7、直角三角形，所以，所以，所以，故，化简得，所以的最小值为，故选B13若为所在平面内任一点，且满足，则的形状为A等腰三角形B直角三角形C正三角形D等腰直角三角形【试题来源】上海市西南位育中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】A【分析】由，推出，可知的中线和底边垂直，则为等腰三角形【解析】因为，所以，所以，所以的中线和底边垂直，所以是等腰三角形故选A【名师点睛】考查向量的运算和利用向量的方法判断空间线线垂直关系，知识点较为基础，考查了学生对基本向量相乘相关知识的掌握程度，为容易题14顶点为，则为A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形【试题来源】2021年高考数学复习一轮复习
8、笔记【答案】A【分析】利用证得三角形是直角三角形【解析】依题意可知，与不恒等，所以，所以，所以三角形是直角三角形故选A【名师点睛】本题主要考查利用向量进行垂直关系的判断，属于基础题15若直线经过点，且直线的一个法向量为，则直线的方程为ABCD【试题来源】辽宁省大连市一三中学2020-2021学年高二10月月考【答案】D【分析】利用直线的法向量和直线的关系，利用向量的数量积的坐标运算求得直线上的动点的坐标的关系，即为所求【解析】设直线上的动点，则，直线的方程为，故选D【名师点睛】关键是利用轨迹方程思想，利用向量垂直的条件，向量数量积的坐标运算求得线上的动点的坐标的关系二、填空题1已知为四边形所在
9、平面内一点，且向量，满足等式，则四边形的形状为_【试题来源】2021年新高考数学一轮复习讲练测【答案】平行四边形【分析】由可得，从而可判断四边形的形状【解析】因为，故，所以，因为不共线，所以四边形的形状为平行四边形2已知是边长为6的正三角形，求=_【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高一数学（苏教版）【答案】【分析】由题意可知，两向量的夹角是， 利用数量积的定义即可求解【解析】如图是边长为的正三角形，所以，所以，故答案为.3在边长为2的菱形，E是BC的中点，则_【试题来源】海南省华中师范大学琼中附属中学2020-2021学年高二上学期期中考试【答案】-1【分析】以为基底表示出
10、，由此计算出【解析】依题意故答案为4在四边形ABCD中，且，则四边形ABCD的形状为_【试题来源】山东省淄博市第七中学2019-2020学年高一3月线上考试【答案】菱形【分析】根据题意，结合相等向量的定义得出四边形ABCD是平行四边形，再利用即可判断【解析】因为，所以，所以四边形是平行四边形因为，所以四边形是菱形故填菱形5向量与向量的夹角为钝角，则的取值集合为_【试题来源】天津市静海区第一中学2019-2020学年高一（3月）学生学业能力调研考试【答案】【分析】由题意可得，且与不共线，由此求得的取值集合【解析】因为向量，若向量与向量夹角为钝角，所以，且与不共线，即且，即且故答案为【名师点睛】本
11、题主要考查两个向量的夹角，两个向量共线的性质，属于基础题6设点在内部，且，则与的面积之比为_【试题来源】上海市七宝中学2020-2021学年高二上学期10月月考【答案】【分析】本题可根据奔驰定理以及得出结果【解析】因为点在内部，满足奔驰定理，且，所以与的面积之比为【名师点睛】本题考查奔驰定理在解决向量问题中的应用，奔驰定理可用来解决三角形中的面积比值问题，考查计算能力，是简单题三、解答题1老鼠由A向东北方向以的速度逃窜，猫由B向东南方向以的速度追问题：猫能追上老鼠吗?为什么?【试题来源】人教A版（2019） 必修第二册 过关斩将 （高手篇） 第六章【答案】不能，理由见解析【分析】根据猫和老鼠的
12、跑路方向不同分析即可【解析】猫追不上老鼠，因为猫和老鼠跑的方向是不同的，所以猫的速度再快也追不上老鼠【名师点睛】本题主要考查了对向量的方向的理解，属于基础题型2已知直角坐标平面上四点，求证四边形ABCD是等腰梯形【试题来源】人教B版（2019） 必修第二册 过关斩将 第六章【答案】证明见解析【分析】先证明与共线，与不共线，所以四边形ABCD是梯形再证明，四边形ABCD是等腰梯形即得证【解析】由已知得，因为，所以与共线，又，且，所以与不共线，所以四边形ABCD是梯形因为，所以，即故四边形ABCD是等腰梯形【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，考查共线向量和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识
13、的理解掌握水平3如图，已知的三个顶点A，B，C的坐标分别是，求顶点D的坐标【试题来源】人教A版（2019） 必修第二册 逆袭之路 第六章【答案】【分析】设顶点D的坐标为，表示出的坐标，根据得到方程组，解得【解析】设顶点D的坐标为，又，所以即解得所以顶点D的坐标为4已知位置向量，的终点分别为，试判断的形状【试题来源】沪教版 高二年级第一学期 领航者 第八章 82向量的数量积（2）【答案】为等腰直角三角形【分析】根据题意可设，根据平面向量的加法几何意义可以求出，求出它们的模以及计算出它们的数量积，最后可以判断出的形状【解析】，所以为等腰直角三角形【名师点睛】本题考查了利用平面向量的模和平面向量的数量积判断三角形形状问题，考查了数学运算能力15
