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1、课后限时集训(三十)正弦定理、余弦定理建议用时：40分钟一、选择题1(2020大连测试)在ABC中，AB2，AC3，B60，则cos C()AB CDD由正弦定理得，sin C.又ABAC，0CB60，cos C.故选D.2(2020南昌模拟)在ABC中，已知C，b4，ABC的面积为2，则c()A2B2 C2DB由Sabsin C2a2，解得a2.由余弦定理得c2a2b22abcos C12，故c2.3(多选)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，以下四个结论中，正确的是()A若abc，则sin Asin Bsin CB若ABC，则sin Asin Bsin CCacos Bbcos
2、 AcD若a2b2c2，则ABC是锐角三角形ABC对于A，由于abc，由正弦定理，可得sin Asin Bsin C，故A正确；对于B，ABC，由大边对大角可知，abc，由正弦定理，可得sin Asin Bsin C，故B正确；对于C，根据正弦定理可得acos Bbcos A2R(sin Acos Bsin Bcos A)2Rsin(BA)2Rsin(C)2Rsin Cc(其中R为ABC的外接圆半径)，故C正确；对于D，a2b2c2，由余弦定理可得cos C0，由C(0，)，可得C是锐角，但A或B可能为钝角，故D错误4(2020全国卷)在ABC中，cos C，AC4，BC3，则cos B()A
3、B CDA由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C1692439，AB3，所以cos B，故选A.5(多选)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则()A若2cos C(acos Bbcos A)c，则CB若2cos C(acos Bbcos A)c，则CC若边BC的高为a，则当取得最大值时，AD若边BC的高为a，则当取得最大值时，AAC因为在ABC中，0C，所以sin C0.对于A，B，利用正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，整理得2cos Csin(AB)sin C，即2cos Csin(AB)sin C，即2cos Csin
4、 Csin C，又sin C0，所以cos C，所以C，故A正确，B错误对于C，D，由等面积法得a2bcsin A，所以a22bcsin A，又b2c2a22bccos A2bcsin A2bccos A，则2sin A2cos A4sin4，当且仅当A2k，kZ，即A2k，kZ时，取得最大值4，又0A，所以A.故C正确，D错误6(多选)(2020山东烟台期中)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(ab)(ac)(bc)91011，则下列结论正确的是()Asin Asin Bsin C456BABC是钝角三角形CABC的最大内角是最小内角的2倍D若c6，则ABC的外接圆的半径为
5、ACD因为(ab)(ac)(bc)91011，所以可设(其中x0)，解得所以由正弦定理可得sin Asin Bsin C456，所以A正确由上可知边a最短，边c最长，所以角A最小，角C最大又cos A，cos C，所以cos 2A2cos2A1，所以cos 2Acos C，由三角形中角C最大且角C为锐角，可得ABC是锐角三角形，且2A(0，)，C，所以2AC，所以B错误，C正确设ABC的外接圆的半径为R，则由正弦定理得2R，又sin C，所以2R，解得R，所以D正确故选ACD.二、填空题7在ABC中，A，ac，则_.1由ac得sin Asin C，即sin sin C，sin C，又0C，C，
6、从而B，bc，因此1.8(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Aacos B0，则B_.bsin Aacos B0，.由正弦定理，得cos Bsin B，tan B1.又B(0，)，B.9(2020北京高考适应性考核)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a4，b5，c6，则cos A_，ABC的面积为_依题意得cos A，所以sin A，所以ABC的面积为bcsin A.三、解答题10结构不良试题(2020北京西城区统一测试)已知ABC满足_，且b，A，求sin C的值及ABC的面积从B，a，a3sin B这三个条件中选一个，补充到上面问题
7、中，并完成解答解当选择条件时，B，A，sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B.由正弦定理，得，解得a3，SABCabsin C.当选择条件时，ab，AB，又A为钝角，无解当选择条件时，由题意得B为锐角由正弦定理，得，得sin B，a3，sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B.SABCabsin C.11(2020全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2cos A.(1)求A；(2)若bca，证明：ABC是直角三角形解(1)由已知得sin2Acos A，即cos2Acos A0.所以20，cos A.由于0A，故A.(
8、2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin Bsin Csin A.由(1)知BC，所以sin Bsinsin .即sin Bcos B，sin.由于0B，故B.从而ABC是直角三角形1已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC的外接圆的面积为3，且cos2Acos2Bcos2C1sin Asin C，则ABC的最大边长为()A2B3 CD2C由cos2Acos2Bcos2C1sin Asin C得1sin2A1sin2B1sin2C1sin Asin C，即sin2Asin2Bsin2Csin Asin C，由正弦定理得b2a2c2ac，即c2a2b2ac，则cos B，则
9、B150，即最大值的边为b，ABC的外接圆的面积为3，设外接圆的半径为R，R23，得R，则2R2，即b2sin B2，故选C.2(2020广西桂林模拟)在ABC中，若，则ABC的形状是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形D由已知，所以或0，即C90或，由正弦定理，得sin Ccos Csin Bcos B，即sin 2Csin 2B，因为B，C均为ABC的内角，所以2C2B或2C2B180，所以BC或BC90，所以ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2(bc)2(2)bc，sin Asin Bcos2，B
10、C边上的中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小；(2)求ABC的面积解(1)由a2(bc)2(2)bc，得a2b2c2bc，cos A，又0A，A.由sin Asin Bcos2，得sin B，即sin B1cos C，则cos C0，即C为钝角，B为锐角，且BC，则sin1cos C，化简得cos1，解得C，B.(2)由(1)知，ab，在ACM中，由余弦定理得AM2b222bcos Cb2()2，解得b2，故SABCabsin C22.1已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cos2Acos2Bcos2C1sin Asin C，且sin Asin C1，则ABC的形状
11、为()A等边三角形B等腰直角三角形C顶角为150的等腰三角形D顶角为120的等腰三角形Dcos2Acos2Bcos2C1sin Asin C，(1sin2A)(1sin2B)(1sin2C)1sin Asin C，可得sin2Asin2Csin2Bsin Asin C，根据正弦定理得a2c2b2ac，由余弦定理得cos B，B(0，180)，B120，sin2Bsin2Asin2Csin Asin C.变形得(sin Asin C)2sin Asin C，又sin Asin C1，得sin Asin C，上述两式联立得sin Asin C，0A60，0C60，AC30，ABC是顶角为120的等
12、腰三角形，故选D.2结构不良试题(2020北京高考)在ABC中，ab11，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a的值；(2)sin C和ABC的面积条件：c7，cos A；条件：cos A，cos B.解选条件：c7，cos A，且ab11.(1)在ABC中，由余弦定理，得cos A，解得a8.(2)cos A，A(0，)，sin A.在ABC中，由正弦定理，得，sin C.ab11，a8，b3，SABCabsin C836.若选条件：cos A，cos B，且ab11.(1)A(0，)，B(0，)，cos A，cos B，sin A，sin B.在ABC中，由正弦定理，可得，.又ab11，a6，b5.(2)sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.SABCabsin C65.10
