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1、期末综合测试卷02本卷满分150分，考试时间120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1已知向量，且，则AB8C6D【答案】B【解析】因为向量，所以，又，所以，所以故选B2有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道13名同学成绩的A平均数B众数C中位数D方差【答案】C【解析】把13名同学成绩按由大到小排列，取成绩靠前的6个成绩进入决赛，即最中间一个数之前的6个成绩进入决赛，13个成绩按由大到小排列时，最中间一个数即是中位数故选C.3
2、已知复数z满足（i为虚部单位），则z的共轭复数的虚部为A2BCD【答案】A【解析】由已知，所以的虚部为2故选A4已知一正方形在斜二测画法下的直观图的面积是，则该正方形的面积为A36BC72D【答案】C【解析】如图设原正方形的边长为，作出其直观图如图根据斜二测画法的原则可知，高，对应直观图的面积为，即，故原正方形的面积为，故选C5在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积是ABCD【答案】D【解析】由已知是正三棱锥，设是正棱锥的高，由外接球球心在上，如图，设外接球半径为，又，则，由得，解得，所以表面积为故选D6某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打
3、开一个通道若是号通道，则需要小时走出迷宫；若是号、号通道，则分别需要小时、小时返回智能门再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止则你走出迷宫的时间超过小时的概率为ABCD【答案】A【解析】记事件走出迷宫的时间超过小时，事件包括个基本事件一是进入号通道，回来后进入号通道的概率为；二是进入号通道，回来后进入号通道的概率为；三是进入号通道，回来后进入号通道的概率为故故选A7如图中，的平分线交的外接圆于点，则ABCD【答案】D【解析】连接BO、DO、BD，如图所示：由题意得，AD为的平分线，所以四边形ABDO为菱形，即，又，所以，所以，又，所以=故选D.8在平面四边形中，若
4、的取值范围是，则的长为ABC1D2【答案】D【解析】设，如图，延长，交于点，平移，当且仅当经过点时，所以，当且仅当经过点时，所以，以上两式相乘得，故选D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9经过简单随机抽样获得的样本数据为，则下列说法正确的是A若数据，方差，则所有的数据相同B若数据，的均值为3，则数据的均值为6C若数据，的中位数为90，则可以估计总体中有至少有的数据不大于90D若数据，的众数为78，则可以说总体中的众数为78【答案】AC【解析】A中方差为零，说明，故A正确；选项B中，所以
5、，所以B错误；选项C符合百分位数的定义，正确；选项D中样本数据具有随机性，样本的众数不一定是总体的众数，故选AC10已知向量是两个非零向量，在下列条件中，一定能使共线的是A且B存在相异实数，使C（其中实数x，y满足）D已知梯形ABCD，其中【答案】AB【解析】A联立和消去向量可得出 ，所以，且，所以共线B因为都是非零向量，且，所以都不为0，所以，所以共线C当 时，满足，此时对任意的向量都有，所以得不出共线；D因为在梯形中AB与CD不一定平行，所以得不出共线故选A B11在中，角A，B，C所对的边外别为a，b，c，下列说法中正确的是A若，则B若，则为等腰三角形CD若，则为钝角三角形【答案】ACD
6、【解析】由可知，再根据正弦定理可得，所以，故A正确；由及正弦定理可知，即，又所以或，可知为等腰三角形或直角三角形，故B错误；由正弦定理知，故C正确；因为 ，又，故中有且只有一个角为钝角，故D正确故选ACD12如图，在正方体，中，是棱的中点，是线段（不含端点）上的一个动点，那么在点的运动过程中，下列说法中正确的有A存在某一位置，使得直线和直线相交B存在某一位置，使得平面C点与点到平面的距离总相等D三棱锥的体积不变【答案】BCD【解析】对于A，假设存在，则四点共面，而点不在平面内，故A错误对于B，因为，所以平面，所以当是直线与平面的交点时就满足要求，故B正确对于C，因为的中点在平面内，所以点与点到
7、平面的距离总相等，故C正确对于D，连接，交于O，则O为中点，所以，又平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离为定值，从而三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值，故D正确故选BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13某个微信群在某次进行的抢红包活动中，若某人所发红包的总金额为15元，被随机分配为3.50元，4.75元，5.37元，1.38元共4份，甲乙丙丁4人参与抢红包，每人只能抢一次，则甲乙二人抢到的金额之和不低于8元的概率为_【答案】【解析】由题意可得，甲、乙二人抢到的金额的基本事件总数为，共6种，“甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元”包含，共3种，所以甲、乙二人抢到的金额
8、之和不低于8元的概率故答案为14在中，若，则的最大值是_【答案】【解析】因为，所以，由余弦定理得，得，由余弦定理可得，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，根据余弦函数在上单调递减可知，此时角取得最大值为，所以的最大值是，故答案为15在半径为3的球面上有三点，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是_【答案】【解析】由题设，如下图示，为的外心且，所以，又，则，所以，即为等边三角形，所以两点的球面距离为故答案为16已知一正四面体棱长为4，其内部放置有一正方体，且正方体可以在正四面体内部绕一点任意转动，则正方体在转动过程中占据的空间体积最大为_【答案】【解析】正方体可以在正四面体内部绕一点任意转动，
9、所以正方体在正四面体的内切球中，要使得正方体在转动过程中占据的空间体积最大，即正方体的棱长最长，即正方体的外接球恰好为正四面体的内切球，所以正方体的棱长最长时，正方体的对角线为正四面体的内切球的直径如图正四面体，设为底面中心，则平面，连接并延长交于点则为的中点，故，所以 ，所以 ，所以正四面体的体积为 ，正四面体的表面积为 ，设正四面体的内切球的半径为，则，解得 ，由正方体的对角线为正四面体的内切球的直径，设正方体的棱长为 ，则，解得 ，体积为，答案为.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在中，内角，所对的边分别为，已知，（1）求的值；（2）且
10、，求正实数的值【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，由余弦定理知，即，由正弦定理知，；（2）因点D在边BC上，且，则，而，则有为直角三角形，又，所以18（12分）已知向量，满足，（1）若，求的值；（2）若的夹角为，求与的夹角的余弦值【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以或，当时，当，所以的值为；（2）因为，所以19（12分）某饮料公司为了调查某款新品饮料在市场上的反响，决定从本地区代理销售的个商家中随机抽取个进行关于市场认可度的调查，调查结果以分值（百分制）呈现收集的数据绘制成频率分布表如下：分组频数频率（1）估计这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）（2）若商家
11、给出的认可度分值不低于分，则认为商家看好该款新品饮料的销售前景；否则，次月将不再销售该款新品饮料试估计本地区看好该款新品饮料的销售前景的商家个数【答案】（1）77分；（2）2400【解析】（1）这组数据的平均数为分（2）由频率分布表可得不低于分的频率为，用样品估计总体，可以估计不低于分的商家数为，所以估计本地区看好该款新品饮料的销售前景的商家个数为20（12分）袋中装有个形状、大小完全相同的球，其中标有数字“”的球有个，标有数字“”的球有个，标有数字“”的球有个规定取出一个标有数字“”的球记分，取出一个标有数字“”的球记分，取出一个标有数字“”的球记分在无法看到球上面数字的情况下，首先由甲取出
12、个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的球规定取出球的总积分多者获胜（1）求甲、乙平局的概率；（2）从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性【答案】（1）；（2）不影响【解析】（1）记标有数字“”的球为，标有数字“”的球为，标有数字“”的球为，则甲取球的所有情况为，共种，由于个小球总分为分，故甲、乙平局时都得分，此时，甲取出的三个小球中有个标有数字“”的球和个标有数字“”的球，或有个标有数字“”的球和个标有数字“”的球，共有种情况，故平局的概率（2）由甲先取球时，若甲获胜，得分只能是分或分，即取出的三个小球中有个标有数字“”的球和个标有数字“”的球，或有个标有数字“”的球和个
13、标有数字“”的球和个标有数字“”的球共种情况，故甲获胜的概率由（1）可得平局的概率，所以甲输，即乙获胜的概率所以甲、乙获胜的概率相同同理，由乙先取球时，甲、乙获胜的概率也相同故先后取球的顺序不影响比赛的公平性21（12分）如图，在正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）中，是的中点（1）求三棱锥的体积；（2）求证：平面【答案】（1） ；（2）证明见解析【解析】（1）在正三棱柱中，平面 所以三棱锥以为底面时，高为由是的中点 （2） 连接交于点，连接，所以为的中点在中，是的中点，为的中点，所以 平面，平面，所以平面22（12分）如图所示，在直三棱柱中，是边长为4的等边三角形，D，E分别为，BC的中点（1）证明：平面；（2）若，求点E到面的距离【答案】（1）证明过程见解析；（2）【解析】（1）取BC1的中点F，连接DF，EF，因为E为BC中点，所以，因为D为AA1的中点，所以，所以四边形ADFE为平行四边形，所以DF，因为AE平面BDC1，DF平面BDC1，所以平面BDC1（2）由（1）可知平面，所以E到面的距离等于到面的距离，设到面的距离为，取的中点，连接，因为是边长为4的等边三角形，所以有，因此，在直三棱柱中，平面，而平面，因此，而平面，所以平面，于是有，由勾股定理可得，所以，所以有，所以点E到面的距离为21
