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1、期末综合测试卷03本卷满分150分，考试时间120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则在复平面内z对应的点的坐标是ABCD【答案】A【解析】设，则，解得，所对应的点的坐标为，故选A2斜二测画法是绘制直观图的常用方法，下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是A三角形的直观图一定是三角形B正方形的直观图一定是菱形C等腰梯形的直观图可能是平行四边形D菱形的直观图一定是菱形【答案】A【解析】根据斜二测画法知三角形的直观图一定是三角形，A正确；正方形的直观图根据建系的不同，可以为平行四边形
2、，故B错误；根据斜二测画法，等腰梯形的两腰直观图中不可能平行，故C错误；根据斜二测画法，菱形的一组对边长度可以改变，所以直观图不一定是菱形，故D错误故选A.3中国古代数学专著算法统宗中有这样的记载：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本意思为现有毛诗、春秋、周易种书共册，若干人读这些书，要求每个人都要读到这种书，若人共读一本毛诗，人共读一本春秋，人共读一本周易，则刚好没有剩余现要用分层抽样的方法从中抽取册，则要从毛诗中抽取的册数为ABCD【答案】D【解析】设毛诗有册，春秋有册，周易有册，学生人数为，则，解得，因此，用分层抽样的方法从中抽取册，则要从毛诗中
3、抽取的册数为故选D4已知平面直角坐标系内两向量，则“”是“向量与夹角为锐角”的什么条件A充分必要B充分不必要C必要不充分D既不充分也不必安【答案】A【解析】若夹角为锐角，则，当同向共线时，则不存在，故，所以“”是“向量与夹角为锐角”的充要条件，故选A.5甲盒中有一个红球，两个白球，这三个球除了颜色外完全相同，有放回地连续抽取两次，每次从中任意抽取一个，取出的两个球中至少有一个白球的概率为ABCD【答案】D【解析】由题意可知，设抽到红球为事件A，抽到两个白球分别为事件 则基本事件共有，共9个，则取出的两个球中至少有一个白球由8个基本事件，所以由古典概型可知 ，故选D.6为了给热爱朗读的师生提供一
4、个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为，则正六棱锥与正六棱柱的高的比值为ABCD【答案】D【解析】设正六棱柱底面边长为，由题意可知正六棱柱的高为，则可知正六棱柱的侧面积为设正六棱锥的高为，可知正六棱锥侧面的一个三角形的边为上的高为，所以正六棱锥的侧面积为，由题意有，所以六棱锥与正六棱柱的高的比值为故选D7在半径为2的球面上有不共面的四个点，且，则A16B24C32D40【答案】C【解析】如图构造长方体，设长方体的边长分别为，则，由于四面体和长方体共外接球，
5、且长方体的外接球半径为体对角线长一半，因此球的半径，所以，故，故选C8要测量电视塔的高度，在C点测得塔顶的仰角是，在D点测得塔顶的仰角是，并测得水平面上的，则电视塔的高度是ABCD【答案】D【解析】由题意，设，由于平面，、平面，由题意可得，在中，同理可得，在中，根据余弦定理，得，即，整理得，解之得 或 （舍）即所求电视塔的高度为米故选D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9下列说法不正确的是A满足的复数只有B若a、b是两个相等的实数则是纯虚数CD复数的充要条件是【答案】ABC【解析】对于A
6、，故A错误；对于B，若，则不是纯虚数，故B错误；对于C，若，则，故C错误；对于D，则其虚部为0，故D正确故选ABC10设是平面内两个不共线的向量，则以下可作为该平面内一组基底的ABCD【答案】ACD【解析】对A，不能用表示，故不共线，所以符合对B，所以共线，故不符合对C，不能用表示，故不共线，所以符合对D，不能用表示，故不共线，所以符合，故选ACD.11随着生活水平的不断提高，我国居民的平均身高也在增长某市为了调查本市小学一年级男生身高情况，从某小学一年级随机抽取了100名同学进行身高测量，得到如下频率分布直方图，其中右侧三组小长方形面积成等差数列则下列说法正确的是A身高在范围内的频率为0.1
7、8B身高的众数的估计值为115C身高的中位数的估计值为125D身高的平均数的估计值为121.8【答案】ABD【解析】因为前三组的频率分别为，所以后三组的频率和为因为右侧三组小长方形面积成等差数列，设的频率为，所以，可得，而的频率为，则的频率为，A正确；B：由直方图知频率最高的区间，所以身高的众数的估计值为115，正确；C：由图知中位数在区间，所以得cm，错误；D：由题意：cm，正确；故选ABD12如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的是AAC BEBEF/平面ABCDCAEF的面积与BEF面积相等D三棱锥A-BEF的体积为定值【答案】ABD【解析】由于，故平面，
8、所以，所以A正确；由于， 平面，平面，所以平面，故B正确；由于三角形和三角形的底边都是，而前者是到的距离，即的长为1，而后前者是到的距离，作垂直于底面，垂足为，所以，连接，由于在中，是斜边，即，故C错误；连结BD交AC于O，由于平面，所以平面，因为，三棱锥A-BEF的体积为为定值，故三棱锥的体积为定值，故D正确故选ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13如果，的方差是，则，的方差为_【答案】3【解析】因为，的方差是，则，的方差为故答案为314在中，角、的对边分别为、，若，则_【答案】【解析】因为，则，所以，即，则，解得，由已知可得，解得，由余弦定理可得故答案为15矩形ABCD中
9、，AB=1，AD=，现将ABD绕BD旋转至的位置，当三棱锥的体积最大时，直线和直线CD所成角的余弦值为_【答案】【解析】如图所示，因为矩形，可得，所以直线和直线CD所成角即为和直线所成角，设，当三棱锥的体积最大时，即平面ABCD，因为，可得，在直角中，可得，所以，又由，在中由余弦定理得，所以直线和直线CD所成角的余弦值为故答案为16如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且平面，M为PC上的动点，若OM的最小值为4，则当OM取得最小值时，四棱锥的体积为_【答案】【解析】由题意得当时，最小，则在正方形ABCD中， ，则，故，在中，设点M到平面ABCD的距离为h，则h也为中边OC上的高，即，解
10、得，又，所以，故答案为40.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知z为复数，和均为实数，其中i为虚数单位，（1）求复数z和；（2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围【答案】（1），；（2）【解析】（1）设，由为实数，则，所以，为实数，则，所以，（2）在第三象限，所以 ，所以，所以m的取值范围为18（12分）已知等边的边长为2，点D是边上的中点，点E是边上靠近点A的三等分点（1）设，请直接写出的最小值及对应的实数；（2）设与交于点O，求【答案】（1）当时，；（2）【解析】（1）如图，由题可知，所以，所以当时，；（2）设，所
11、以，由三点共线，所以，所以，所以，所以.19（12分）在中，内角，所对的边分别，且（1）求角的大小；（2）若，当仅有一解时，写出的范围，并求的取值范围【答案】（1）；（2）或；【解析】（1），即，（2）根据题意，由正弦定理得，则，仅有一解，或，即或，或，当时，所以，所以；当时，由正弦定理得，即，综上，20（12分）如图，在直三棱柱中，点为的中点（1）求三棱锥的体积（2）求直线与平面所成角的余弦值【答案】（1）4；（2）【解析】（1）三棱柱是直三棱柱，平面，所以，所以，又是的中点，又，（2）由（1）知，又平面，所以，平面，为直线与平面所成角，在中，即直线与平面所成角的余弦值为21（12分）习近平
12、总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高将心理健康状况分为四个等级：调查评分心理等级有隐患一般良好优秀并绘制如图所示的频率分布直方图已知调查评分在的市民为人（1）求的值及频率分布直方图中的值；（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为 “良好”的概率
13、为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?（3）心理调查机构与该市管理部门设定的预案是以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由(每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数=(问卷调查评分/100)【答案】（1）2000，；（2）；（3）只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动，理由见解析【解析】（1）由已知条件可得，每组的纵坐标的和乘以组距为1，所以，解得（2）由（1）知，所以调查评分在的人数占调查评分在人数的，若按分层抽样抽取人，则调查评分在有人，有人， 因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，所以选出的人经过心理疏导后，心理等级均达不到良好的概率为，所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为（3）由频率分布直方图可得，估计市民心理健康问卷调查的平均评分为， 所以市民心理健康指数平均值为，所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动22（12分）如图，圆锥的底面直径和高均是，过上的一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖
