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1、4月大数据精选模拟卷01（新课标卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，集合，则（ ）.ABCD【答案】A【详解】因为，所以，故选：A.2设，则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【详解】；易知集合是的真子集，故是充分不必要条件.故选：A.3已知i是虚数单位，若，则（ ）ABCD【答案】D【详解】由题可知：所以故选：D4已知数列满足点在直线上，则数列的前项和ABCD【答案】D【详解】因为在直线上，所以即故选：D.
2、5我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中算经十书是指汉唐一千多年间的十部著名的数学著作，这些数学著作曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书.十部书的名称是：周髀算经九章算术海岛算经张丘建算经夏侯阳算经五经算术缉古算经缀术五曹算经孙子算经.算经十书标志着中国古代数学的高峰.算经十书这10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这10部专著中据说有6部成书于魏晋南北朝时期，其中张丘建算经夏侯阳算经就成书于魏晋南北朝时期.某中学拟从算经十书专著中的魏晋南北朝时期的6部算经中任选2部作为“数学文化”进行推广学习，则所选2部专著中至少有一部是张丘建算经夏侯阳算经的概率为（ ）ABCD【答
3、案】B【详解】将张丘建算经夏侯阳算经分别记为a，b，其余的4部算经依次记为c，d，e，f，从上述6部算经中任选2部算经，所有的基本事件有ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15种情况，其中，事件“张丘建算经夏侯阳算经至少有1部被选中”所包含的基本事件有ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，共9种情况，由古典摡型的概率计算公式，可得所求事件的概率为.故选：B.6函数的图象可能是（ ）ABCD【答案】A【详解】由，当且仅当时，取等号又，所以，故所以只有A正确故选：A7若，则（ ）ABCD3【答案】A【详解】由诱导公式化简整理得
4、：，由于，所以故选：A8在平面直角坐标系中，直线的方程为，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为（ ）ABCD【答案】B【详解】由直线方程可得该直线横过定点，又由相切可得该圆的半径等于圆心到直线的距离，最大值为，故选：B.9已知函数为奇函数，其中，则曲线在点处的切线方程为（ ）ABCD【答案】B【详解】由题意，函数，因为函数为奇函数，可得，又由，得，所以，则，可得，且，所以曲线在点处的切线方程为，即.故选：B10过双曲线的右焦点作垂直于轴的直线交双曲线于、两点，为左焦点，当的面积为时，双曲线的离心率为（ ）.ABCD【答案】D【详解】因为直线过双曲线的右焦点，且垂直于轴，所以直
5、线方程为，所以的直线交双曲线于 所以，又顶点到底边的高为，则，即，则此双曲线的标准方程为，此时、，故选：D.11设是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（2x）时，当x2，0时， ，若在区间（2，6）内，关于x的方程f（x）loga（x+2）=0（a0且a1）有且只有4个不同的根，则实数a的范围是（）AB（1，4）C（1，8）D（8，+）【答案】D【详解】对于任意的，都有，函数是一个周期函数，且.又当时， ，且函数是定义在R上的偶函数，若在区间内关于的方程恰有4个不同的实数解，易知当0a1时，方程最多有1个解，故舍去；则函数与在区间上有四个不同的交点，如下图所示；又，则对于函数，由题意可得，
6、当时的函数值小于1，即，由此解得： ，的范围是. 12在棱长为的正四面体中，点为所在平面内一动点，且满足，则的最大值为（ ）ABCD【答案】B【详解】如图所示，在平面内，所以点在平面内的轨迹为椭圆，取的中点为点，连接，以直线为轴，直线为建立如下图所示的空间直角坐标系，则椭圆的半焦距，长半轴，该椭圆的短半轴为，所以，椭圆方程为.点在底面的投影设为点，则点为的中心，故点正好为椭圆短轴的一个端点，则，因为，故只需计算的最大值.设，则，则，当时，取最大值，即，因此可得，故的最大值为.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在中，若，则_【答案】0【详解】如图，由题可知，点为的中点，点为上靠
7、近的三等分点，故答案为：014已知函数f(x)=x2lnx+x，则f(x)在点处的切线方程为_.【答案】【详解】，又f（1）=1，f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程为，故答案为：15的展开式中的系数为_.【答案】40【详解】由,所以的系数为40故答案为：4016抛物线()的焦点为，准线为，是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是_.【答案】【详解】过A作AQ于Q，过B作BP于P，设，如图所示，根据抛物线的定义，可知，在梯形中，有，在中，又，故的最大值是.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知正项数列的前项和为，满足.
8、（1）求证：是等差数列，并求；（2）设数列满足，求数列的前项和.【详解】（1）当时，解得，当时，整理得，又各项均为正，则，则，则是以为首项为公差的等差数列，；（2），两式相减得：，.18如图，在三棱柱中，.（1）证明：平面；（2）设点D为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1） 证明：如图，连接由，所以为等边三角形因为，所以，所以，又平面，所以平面.（2）解法1：如图，设E为的中点，连结，作于F.因为平面，所以平面，又平面，所以.在中，D为的中点，所以，又，所以平面.因为，所以平面，所以，又因为平面，所以平面，所以直线与平面所成角为.在中，所以，所以.因此，直线与平面所成角的正弦值为
9、.解法2：如图，以C为原点，以射线分别为x，y轴正半轴，建立空间直角坐标系，则因此，.设平面的法向量为，由，得可取.设直线与平面所成角为，则.因此，直线与平面所成角的正弦值是.19随着手机的日益普及，学生使用手机对学校管理和学生发展带来诸多不利影响.为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件关于加强中小学生手机管理工作的通知，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，对我校80名学生调查得到部分统计数据如下表，记为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”；为事件：“学
10、习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件的频率是事件的频率的2倍.不使用手机使用手机合计学习成绩优秀人数12学习成绩不优秀人数26合计（1）求表中，的值，并补全表中所缺数据；（2）运用独立性检验思想，判断是否有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响？参考数据：，其中.0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【详解】解：（1）由己知得解得补全表中所缺数据如下：不使用手机使用手机合计学习成绩优秀人数281240学习成绩不优秀人数142640合计423880（2）根据题意计算观测值为，所以有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响.
11、20已知抛物线：经过点.（1）求抛物线的方程及其准线方程；（2）设过点的直线与抛物线交于，两点，若，轴.垂足为，求证：以为直径的圆恒过定点.【详解】（1）由抛物线经过点，得，即.所以抛物线的方程为，其准线方程为.（2）证明：由题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为.将代入，消去得，显然，设，则，.，是线段的中点，设，则，又轴，所以垂足的坐标为.设以为直径的圆恒经过点，则，由，得，即，因为对任意的实数，式要恒成立，所以，解得所以以为直径的圆恒过定点，该定点的坐标为.21已知函数，.（1）证明：有且仅有一个零点；（2）当时，试判断函数是否有最小值？若有，设最小值为，求的值域；若没有，请说明理由.
12、【详解】（1），时，显然有，函数无零点；又，时，单调递增又，即，故存在唯一的，使，综上可知，函数有且仅有一个零点.(备注：亦可用放缩取点，如，用此法需证，其他取点方法合理即可)（2），单调递增.又，故存在唯一，使，即.，单调递减；，单调递增.因此函数有最小值.令，则，故单调递减.进而，即的值域为.请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）求曲线上的动点到直线距离的最大值.【详解】（1）直线的参数方程为(为参数)，消去参数，得.曲线的极坐标方程为，,即，曲线的直角坐标方程为，即.曲线的参数方程为(为参数)，设曲线上的动点，则点到直线的距离，曲线上的点到直线的距离的最大值为.23选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数.（1）在平面直角坐标系中作出函数的图象；（2）设函数的最小值为，若，都为正数，且，求证：.【详解】（1）解：由，得作出函数的图象如图5所示.（2）证明：由（1）可知，函数的最小值为2，所以.，都为正数，当且仅当时，等号成立.
