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1、1月大数据精选模拟卷04（新课标卷）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设全集为，集合，则（ ）ABCD【答案】C【详解】由得，则，又，.2若命题：，则是（ ）A，B，C，D，【答案】B【详解】解：根据量词命题的否定可得：，的否定为，故选：B.32013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数，使得是素数素数对称为孪生素数从15以内的素数中任取2个构成素数对，其中是孪生素数的概率为（ ）
2、ABCD【答案】C【详解】以内的素数有，共个，任取两个构成素数对，则有：，共中取法，而是孪生素数的有，其概率为.4已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）ABCD【答案】A【详解】因为，所以，即，得，又因为，所以，得，所以.故选：A5已知，则（ ）ABCD【答案】D【详解】由，得，所以，即，故，代入得，故，因为，所以.6已知实数，满足，则的最大值（ ）A2B4C6D8【答案】C【详解】首先画出如图可行域，令，画出初始目标函数表示的直线，目标函数中，当时，由图可知当初始目标函数平移至点处时，取得最大值， 故选：C72020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安
3、全着陆嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似（如图所示）现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的93%，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为（参考数据：取，）（ ）A4B5C6D7【答案】C【详解】设石片第n次“打水漂”时的速率为，则由，得，则，即，则，故至少需要“打水漂”的次数为6故选：C.8函数的图象大致为（ ）ABCD【答案】D【详解】函数定义域关于原点对称，且，所以为奇函数，排除A C，又当
4、时，由，可知函数不单调递减，排除B，故D正确.故选：D.9已知等差数列的前项和为，若则（ ）ABCD【答案】A【详解】解：因为等差数列的前项和为，所以，所以，所以故选：A10已知函数的图像的一个对称中心为，则（ ）ABCD【答案】C【详解】因为是函数的一个对称中心，所以，因为，所以，故选：C.11从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为椭圆的左焦点，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点.若(为坐标原点)，则该椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】C【详解】依题意，设，则，又，即，设该椭圆的离心率为e，则，椭圆的离心率12已知函数，若关于x的方程有8个不等实根，则a的取值范围是（）ABCD【答案】A【详解】函数
5、的图象如图所示：因为关于x的方程有8个不等实根，所以必须有两个不相等的实数根，由函数的图象可知，令，则方程有8个不等实根，转化为有两个不等根，即有两个不等根，令，其图象如图所示：由图象可知：a的取值范围是二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13复数_【答案】【详解】由复数除法运算法则可得，14已知正数满足，则的最小值为_【答案】9【详解】因为正数满足，所以，即，所以，当且仅当，即，时，等号成立.15已知抛物线：的焦点为，是上一点，则_.【答案】【详解】由抛物线的焦半径公式可知：，所以，16已知直三棱柱其外接球的体积为_.【答案】【详解】已知AB=AC,三角形为等腰三角形，取M为BC
6、的中点，连接AM,则AMBC,由已知得BC=,又,，再由正弦定理,（r为三角形外接圆半径），r=2,设两底面的外接圆的圆心分别为，外接球球心为的中点，外接球的半径,所以球的体积为,三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知公比大于0的等比数列的前项和为，是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【详解】解：（1）设数列的公比为.由题意知，即，化简得，因为，所以.所以.（2）由（1）可知.所以，由，可得，所以.18一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表：转速x（转/秒）16
7、14128每小时生产缺损零件数y（件）11985（1）作出散点图；（2）如果y与x线性相关，求出回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺损的零件最多为10个，机器的转速应控制在什么范围内？（结果保留整数）附：线性回归方程中，其中为样本平均值【详解】（1）根据表中的数据画出散点图如右图：（2）由题中数据可得，（3）令，解得，故机器的运转速度应控制在15转/秒内19在四棱锥中，四边形为正方形，平面平面为等腰直角三角形，（1）求证：平面平面；（2）设为的中点，求点到平面的距离【详解】解：（1）证明：面面，且平面平面，面面，又面又因为由已知且，所以面，又面面面.(2)中，取的中点，
8、连，则面面且它们交于面面由，由已知可求得，所以.所以点到平面的距离为.20已知椭圆：，点（）（1）证明：点在椭圆上；（2）求点到直线的距离的取值范围；（3）直线过椭圆的右焦点，交椭圆于、两点，求线段长度的取值范围；【详解】（1）证明：因为，所以点在椭圆上；（2）设点到直线的距离为，则，当时，取最小值为；当时，取最大值为；因此：.（2）右焦点坐标为，若直线与轴垂直，则直线的方程为，代入椭圆方程得：，则；若直线与轴不垂直，设直线的斜率为，则，设，联立，得：，则有：，则，设，则，则，综上所述：.21已知函数（1）讨论函数在上的单调性；（2）若，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围【详解】（1），因
9、为所以分以下情况讨论：当时，恒成立，故在单调递增；当时，当单调递减，时单调递增；当时，恒成立，故在单调递减.综上所述：当时在单调递增，无单调递减区间；当时在单调递减，在单调递增；当时，在单调递减，无单调递增区间.（2）因为，由1知，函数在上单调递增，不妨设，则，可化为，设，则，所以为上的减函数即在上恒成立，等价于在上恒成立，设，所以，因，所以，所以函数在上是增函数，所以（当且仅当时等号成立）所以即的最小值为12请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；（2）射线和分别与曲线交于点，与直线交于点，求四边形的面积【详解】解：(1)由，由，且消去参数，得由直线的参数方程将代上式，化简得，直线的直角坐标方程为(2)由(1)知，曲线的方程为，将代入上式，得将代入上式，解得，所以，将代入上式，解得，所以将代入，解得，即将代入，解得，即所以四边形的面积23选修4-5：不等式选讲（10分）已知（1）求不等式的解集；（2）若存在使得，求的取值范围【详解】解：（1）由已知得所以当时，或，解得或，故的解集为.（2）由题得，当且仅当时取等.所以，,解得：
