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1、2月大数据精选模拟卷05（新课标卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，若，则实数a的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【详解】由不等式，解得或，即，又由，解得或，当时，可得集合，此时不满足；当时，可得集合，若，要使得，则满足，解得；若，要使得，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围是.故选：D.2已知复数和满足，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【详解】设，则表示点到点的距离是到点距离的倍.则，化简得：，即复数在复平面对应得点为以为圆心，5为半径的圆上的点.设，因为
2、，所以点和点距离为3，所以复数在复平面对应得点为以为圆心，2为半径的圆即以为圆心，8为半径的圆上构成的扇环内（含边界），如图所示：表示点和原点的距离，由图可知的最小为0，最大为.故选：A.3设函数，若函数的图象在点(1，)处的切线方程为y=x，则函数的增区间为（ ）A(0，1)B(0，)C(，)D(，1)【答案】C【详解】的定义域为，函数的图象在点(1，)处的切线方程为y=x，解得：欲求的增区间只需，解得：即函数的增区间为(，)4已知a，b，c是实数，则“ab”是“ac2bc2”的（ ）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分又不必要条件【答案】B【详解】因为abac2bc2, 而
3、ac2bc2 ab，例如，所以“ab”是“ac2bc2”的充分不必要条件，故选：B5将函数图象上的每一个点按向量（其中和为常数.且）移动后.所得图象关于直线对称.则的值可能为（ ）；.ABCD【答案】A【详解】解：函数图象上任一点按向量平移后，得到，所以，即，又因为函数关于对称，所以，解得，因为，所以或故选：A6函数在上的大致图象为（ ）ABCD【答案】B【详解】因为，在处有定义，且由，得是偶函数，其函数图象关于轴对称，所以排除A；又由，所以排除C，D.72020年春季.新冠肺炎疫情在全球范围内相维爆发.因为政治制度、文化背景等因素的不同.各个国家疫情防控的效果具有明显差异.右图是西方某国在天
4、内感染新冠肺炎的累计病例人数（万人）与时间（天）的散点图.则下列最适宜作为此模型的回归方程的类型是（ ）ABCD【答案】C【详解】根据散点图，可以看出，三点大致分布在一条“指数”函数曲线附近，选项A对应的“直线型”的拟合函数；选项B对应的“幂函数型”的拟合函数；选项D对应的“对数型”的拟合函数；8已知数列的前项和为，且，则（ ）A52B68C96D108【答案】B【详解】由题意，数列满足，可得当时，可得，所以.故选：B.9已知函数，则下列说法正确的是（ ）A是偶函数B1是的极小值点C3是的极大值点D在区间内单调递增【答案】B【详解】因为，其定义域为，所以是奇函数，所以项错；，可以得到当或时，当
5、时，所以在上单调增，在上单调减，所以1是的极小值点，是的极大值点，所以B项正确，C、D两项都是错误的，故选：B.10在平面直角坐标系中，已知点，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【详解】解：设点，由可得化简得即点的轨迹是圆心为，半径为的圆，因为点在圆上，所以圆和有公共点，所以，又，所以11光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图，此光线从点
6、发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则与的离心率之比为（ ）ABCD【答案】A【详解】设，设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，在图中，的周长为，所以，可得，在图中，由双曲线的定义可得，由椭圆的定义可得，则，即，由题意可知，的周长为，即，所以，.因此，与的离心率之比为.故选：A.12已知函数的图象上存在关于直线对称的不同两点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【详解】依题意，函数的图象上存在关于对称的不同两点，则存在，且，使得，则，因此，设，故问题转化为存在，使得函数与有交点，又在上恒成立，所以函数在上单调递增，故，因此，为使函数与有交点，只需.二、填空题：本题共4小题，每小题5分
7、，共20分。13的展开式中的常数项是_【答案】-26【详解】原式，展开式中的常数项是：14直线过点且交拋物线于两点，若是线段的中点，则直线的斜率为_.【答案】【详解】设，则，将两点的坐标代入抛物线方程得，解得，则，或，可得斜率为15数学多选题四个选项，在给出的选项中，有多项符合题目要求全都选对的得分，部分选对的得分.有选错的得分.已知某道数学多选题正确答案为，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了一到三个选项，则他能得分的概率_.【答案】【详解】由条件可知若选择一到三个选项，共有种方法，其中得分包含种方法，则他能得分的概率.16已知函数若函数的零点有2个或3个，则实数a的取值范围为_【答案】【
8、详解】时，当时，递增，当时，递减，且此时，时，当时，递增，当时，递减，且此时，所以极小值，极大值，在且，的示意图如图所示，所以当它与有2个或3个交点时，故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知各项均为正数的等差数列满足，且，构成等比数列的前三项.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【详解】解析：（1）因为等差数列中，所以，设数列公差为，因为，构成等比数列，则，即，解得或(舍)即，又等比数列中，所以，；（2），18如图所示.在四棱锥中.底面为正方形.为侧棱的中点.（1）求证：经过三点的截面平分侧棱；（2）若底面，且，求二面角的
9、大小.【详解】（1）证明：设截面与侧棱交于点.连结，因为底面为矩形,所以，又平面，且平面，所以平面，又平面，且平面平面，所以，又因为，所以，因为为的中点，所以为的中点，即截面平分侧棱，（2）解：设.建立如图所示的空间直角坐标系.则，设平面的一个法向量，所以，即，令，得，设平面的一个法向量，所以，即，令，得，所以.由图知二面角为锐角，故其大小为.19某高校为了加快打造一流名校步伐，生源质量不断改善.据统计，该校年到年所招的学生高考成绩不低于分的人数与对应年份代号的数据如下：年份年份代号不低于分的人数（单位：人）（1）若关于具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测年该校所招的学生高考成
10、绩不低于分的人数；（2）今有、四位同学报考该校，已知、被录取的概率均为，被录取的概率为，且每位同学是否被录取相互不受影响，用表示此人中被录取的人数，求的分布列与数学期望.参考公式：，.参考数据：，.【详解】（1）根据表中数据，计算可得，又，则，关于的回归直线方程为，令，可得，即该高校年所招的学生高考成绩不低于分的人数预测值为人；（2）由条件可知，的所有可能取值为、，的分布列如下表所示：.20设分别为椭圆的左顶点和右焦点，为它的一个短轴端点.已知的面积为（1）求椭圆的离心率；（2）经过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，当的方向变化时.是否存在常数，使得恒成立？若
11、存在.求出的值；若不存在，请说明理由.【详解】解：（1）设椭圆的半焦距为,由已知得即，又，所以.即，由均大于零，于是.解得，即椭圆的离心率为.(2)由(1)知,所以椭圆的方程可化为.设直线的方程为,代入并整理得.设.则.由弦长公式.得.设线段的中点坐标为.则.则的垂直平分线方程为.令,得点的横坐标为.于是.故存在常数满足条件.21已知函数的最小值为.（1）求的值；（2）已知非零实数，满足，若不等式恒成立，求实数的取值范围.【详解】解：（1），时，；时，；时.综上，函数值域为，故最小值为4，即；（2）由（1）知，故，当且仅当时等式成立，即，解得，故实数的取值范围为.请考生在第22、23两题中任选
12、一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线和直线的直角坐标方程；（2）若点为直线上一动点，直线与曲线相交于，两点，且，求点的直角坐标.【详解】（1）由题意知，曲线的直角坐标方程为，的直角坐标方程为；（2）设点，直线上任意一点满足：(是参数)，代入曲线得，设点、对应的参数分别为、，由，解得或6，检验满足 即点的坐标为或.23选修4-5：不等式选讲（10分）设函数.（1）求不等式的解集；（2）若存在使不等式成立，求实数的取值范围.【详解】解：（1）由得：，或，解得：或.不等式的解集是.（2），当时显然成立，所以成立，即，令，即，时，时，时，所以，所以实数a的取值范围是
