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1、2月大数据精选模拟卷03(新课标卷)理科数学本卷满分150分,考试时间120分钟。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1全集,集合,则等于( )ABCD【答案】B【解析】因为,,所以,,所以2复数,则实数( )A-2B-1C1D2【答案】B【详解】由已知,所以3已知,则( )ABCD【答案】A【详解】因为又,则4张先生去某城市参加学术会议,拟选择在会议中心附近的、两酒店中的一个人住两酒店条件和价格相当,张先生在网上查看了最近入住两个酒店的客人对两酒店的综合评分,并将评分数据记录为如下的茎叶图记、两酒店的宗合评分数据的均值为,方差
2、为,若以此为依据,下述判断较合理的是( )A因为,应选择酒店B因为,应选择酒店C因为,应选择酒店D因为,应选择酒店【答案】B【详解】由题意,根据茎叶图中的数据,可得,可得,又由,可得.故选:B5某大楼共有12层,有11人在第一层上了电梯,他们分别要去第2至12层,每层1人,因特殊原因,电梯只能停在某一层,其余10人都要步行到所要去的楼层,假设初始的“不满意度”为0,每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1,每向上步行1层的“不满意度”增量为2,要使得10人“不满意度”之和最小,电梯应该停在第几层( )A7B8C9D10【答案】C【详解】解:设电梯所停的楼层是,则开口向上,对称轴为,故在时取
3、最小值6在中,为的中点,则( )ABC3D-3【答案】A【详解】解:在中,因为为的中点,所以,7函数的部分图象大致为( )ABCD【答案】A【详解】因为,所以,即为偶函数,排除B,D.取,排除C.8某程序框图如图所示,若输入x的值为1,则输出y的值是( )A2 B3 C4 D5【答案】B【解析】解:模拟程序框图的运行过程,如下;输入x=1,y=11+3=3,输出y的值为39现有三种类型的卡片各10张,这些卡片除类型不同外其他全部相同,现把这三种类型的卡片分给5个人,每人一张,要求三种类型的卡片都要用上,则分法的种数为( )A150B75C30D300【答案】A【解析】分法可分为两类:第一类,5
4、人中有3人卡片类型相同,则分法有种;第二类,5人中各有2人卡片类型相同,则分法有种.所以由分类加法计数原理得,分法的种数为60+90=150.10过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点,且,则( )A2B3C4D5【答案】C【详解】焦点,抛物线方程式为设直线的方程为,代入抛物线方程,得设,由韦达定理得由,得解得,或,11函数的部分图象如图所示,将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象,则下列说法正确的是( )A函数为奇函数B函数的最小正周期为C函数的图象的对称轴为直线D函数的单调递增区间为【答案】D【详解】由图象可知,则.将点的坐标代入中,整理得,即;,.将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图
5、象,.,既不是奇函数也不是偶函数,故A错误;的最小正周期,故B不正确.令,解得,则函数图像的对称轴为直线.故C错误;由,可得,函数的单调递增区间为.故D正确;12已知函数,曲线上总存在两点,使曲线在两点处的切线互相平行,则的取值范围为( )ABCD【答案】B【详解】解:函数,导数由题意可得,且即有,化为,而,化为对,都成立,令,则在上单调减,在上单调递增,所以,即的取值范围是二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13若实数满足约束条件,则的最小值等于_【答案】【解析】依题意,可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域,目标函数化为:,则的最小值即为动直线在轴上的截距的最大值通过平移可知在
6、点处动直线在轴上的截距最大因为解得,所以的最小值14被人们常常津津乐道的兔子数列是指这样的一个事例:一对幼兔正常情况下一年后可长成成兔,再过一年后可正常繁殖出一对新幼兔,新幼兔又如上成长,若不考虑其他意外因素,按此规律繁殖,则每年的兔子总对数可构成一奇妙的数列,兔子数列具有许多有趣的数学性质,该数列在西方又被称为斐波拉契数列,它最初记载于意大利数学家斐波拉契在1202年所著的算盘全书.现有一兔子数列,若将数列的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列,则数列的前2021项和为_.【答案】1348【详解】兔子数列各项为:可得此数列被2除后的余数为:由此可知是以3为周期的周期数列,可得数列
7、的前2021项和为:15已知点是抛物线上一点,为其焦点,以为圆心、为半径的圆交准线于,两点,若为等腰直角三角形,且的面积是,则抛物线的方程是_【答案】【详解】由题意可知,且,得,所以,根据抛物线的定义,可知点到准线的距离,解得:,所以抛物线方程 16如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PB底面ABCD,O为对角线AC与BD的交点,若PB1,APBBAD,则棱锥PAOB的外接球的体积是_【答案】【详解】由于底面,所以三角形是直角三角形.由于底面是菱形,故,又,所以面,所以三角形是直角三角形.由此判断出棱锥外接球的直径为.由于,所以,故外接球的半径为,体积为.三、解答题(本大题共6小题
8、,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17已知正项等比数列前项和为,且是和的等差中项.(1)求数列的通项公式.(2)设,求数列的前项和.【详解】(1)设等比数列公比为,是和的等差中项,即,解得, ,(2),18如图矩形中,;分别为的中点,沿将点折起至点,连接.(1)当时,(如图1),求二面角的大小;(2)当二面角等于时(如图2),求与平面所成角的正弦值.【详解】(1)取中点,连接,因为,所以,因为是的中点,所以,因为,所以,因为是的中点,所以,所以就是二面角的平面角,因为,所以正三角形,可得,又因为等腰中,所以,所以,可得,所以二面角的大小为.(2)由于沿将点折起至点,所以点在底面
9、内的射影必在折痕的垂直平分线上,因为,所以四边形是矩形,所以三点共线,二面角等于,所以,因为,所以正三角形,可得,以为原点,分别以为轴,轴,与它们都垂直于的直线为轴.建立空间直角坐标系如图所示:所以,所以,所以,设平面的法向量为,令可得, ,所以,.所以与平面所成角的正弦值为.192020年国庆节期间,甲、乙等5名游客准备从庐山、三清山、婺源、井冈山4个景点中选取一个景点游览,设每人只选择一个景点,且选择任一个景点是等可能的(1)分别求“恰有2人选择井冈山”和“甲选择井冈山且乙不选择庐山”的概率;(2)记表示5人中选择景点的个数,求的分布列与数学期望【详解】(1)所有可能的选择方式有种,“恰有
10、2人选择井冈山”的方式有种,从而“恰有2人选择井冈山”的概率为 “甲选择井冈山且乙不选择庐山”的方式有种,从而“甲选择井冈山且乙不选择庐山”的概率为 (2)的所有可能值为1,2,3,4又, 故的分布列为1234的数学期望20已知椭圆的左、右焦点在轴上,中心在坐标原点,长轴长为4,短轴长为.(1)求椭圆的标准方程;(2)是否存在过的直线,使得直线与椭圆交于,?若存在,请求出直线的方程;若不存在,请说明理由.【详解】解:(1)设椭圆的方程为,可得,即,所以椭圆的方程为;(2)当直线的斜率不存在时,不满足条件;假设存在过点的直线,使得直线与椭圆交于,设直线的方程为,联立椭圆的方程得,设,即,由,化为
11、,得,化为,解得,所在存在直线或满足条件.21已知函数(1)判断函数的单调性;(2)若,当时,不等式恒成立,求实数的取值范围试题解析:(1),当时,则在上单调递增;当时,令,得,则在上单调递减,在上单调递增(2)不妨先证明,即,先证,即,显然成立再证,只需证,设, 则,即,得证由当时,则在上单调递增,可知,当时,又在上单调递增,当时,在上单调递减,与条件不符综上 请考生在第22、23两题中任选一题作答注意:只能做所选定的题目如果多做,则按所做的第一个题目计分22选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在平面直角坐标系中,过点且倾斜角为的直线与曲线(为参数)交于两点.(1)将曲线的参数方程转化为普通方程;(2)求的长.【详解】(1)因为曲线(为参数),所以曲线的普通方程为:.(2)由题知:直线的参数方程为(为参数),将直线的参数方程代入,得.,.所以.23选修4-5:不等式选讲(10分)选用恰当的证明方法,证明下列不等式.(1)已知实数,均为正数,求证:.(2)已知,都是正数,并且,求证:.【详解】(1),又因为,所以,由基本不等式得,当且仅当时,取等号,即时取等号,所以.(2)因为,都是正数,所以,又,所以,所以,所以,即.