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1、2月大数据精选模拟卷03（新课标卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1全集，集合，则等于（ ）ABCD【答案】B【解析】因为，,所以，,所以2复数，则实数（ ）A-2B-1C1D2【答案】B【详解】由已知，所以3已知，则（ ）ABCD【答案】A【详解】因为又，则4张先生去某城市参加学术会议，拟选择在会议中心附近的、两酒店中的一个人住两酒店条件和价格相当，张先生在网上查看了最近入住两个酒店的客人对两酒店的综合评分，并将评分数据记录为如下的茎叶图记、两酒店的宗合评分数据的均值为，方差
2、为，若以此为依据，下述判断较合理的是（ ）A因为，应选择酒店B因为，应选择酒店C因为，应选择酒店D因为，应选择酒店【答案】B【详解】由题意，根据茎叶图中的数据，可得，可得，又由，可得.故选：B5某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层（ ）A7B8C9D10【答案】C【详解】解：设电梯所停的楼层是，则开口向上，对称轴为，故在时取
3、最小值6在中，为的中点，则（ ）ABC3D-3【答案】A【详解】解：在中，因为为的中点，所以，7函数的部分图象大致为（ ）ABCD【答案】A【详解】因为，所以，即为偶函数，排除B，D.取，排除C.8某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（ ）A2 B3 C4 D5【答案】B【解析】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=1，y=11+3=3，输出y的值为39现有三种类型的卡片各10张，这些卡片除类型不同外其他全部相同，现把这三种类型的卡片分给5个人，每人一张，要求三种类型的卡片都要用上，则分法的种数为（ ）A150B75C30D300【答案】A【解析】分法可分为两类：第一类，5
4、人中有3人卡片类型相同，则分法有种；第二类，5人中各有2人卡片类型相同，则分法有种.所以由分类加法计数原理得，分法的种数为60+90=150.10过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，且，则（ ）A2B3C4D5【答案】C【详解】焦点，抛物线方程式为设直线的方程为，代入抛物线方程，得设，由韦达定理得由，得解得，或，11函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（ ）A函数为奇函数B函数的最小正周期为C函数的图象的对称轴为直线D函数的单调递增区间为【答案】D【详解】由图象可知，则.将点的坐标代入中，整理得，即；，.将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图
5、象，.，既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；的最小正周期，故B不正确.令，解得，则函数图像的对称轴为直线.故C错误；由，可得，函数的单调递增区间为.故D正确；12已知函数，曲线上总存在两点，使曲线在两点处的切线互相平行，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【详解】解：函数，导数由题意可得，且即有，化为，而，化为对，都成立，令，则在上单调减，在上单调递增，所以，即的取值范围是二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若实数满足约束条件，则的最小值等于_【答案】【解析】依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：，则的最小值即为动直线在轴上的截距的最大值通过平移可知在
6、点处动直线在轴上的截距最大因为解得，所以的最小值14被人们常常津津乐道的兔子数列是指这样的一个事例：一对幼兔正常情况下一年后可长成成兔，再过一年后可正常繁殖出一对新幼兔，新幼兔又如上成长，若不考虑其他意外因素，按此规律繁殖，则每年的兔子总对数可构成一奇妙的数列，兔子数列具有许多有趣的数学性质，该数列在西方又被称为斐波拉契数列，它最初记载于意大利数学家斐波拉契在1202年所著的算盘全书.现有一兔子数列，若将数列的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，则数列的前2021项和为_.【答案】1348【详解】兔子数列各项为：可得此数列被2除后的余数为：由此可知是以3为周期的周期数列，可得数列
7、的前2021项和为：15已知点是抛物线上一点，为其焦点，以为圆心、为半径的圆交准线于，两点，若为等腰直角三角形，且的面积是，则抛物线的方程是_【答案】【详解】由题意可知，且，得，所以，根据抛物线的定义，可知点到准线的距离，解得：，所以抛物线方程 16如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PB底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点，若PB1，APBBAD，则棱锥PAOB的外接球的体积是_【答案】【详解】由于底面，所以三角形是直角三角形.由于底面是菱形，故，又，所以面，所以三角形是直角三角形.由此判断出棱锥外接球的直径为.由于，所以,故外接球的半径为，体积为.三、解答题（本大题共6小题
8、，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知正项等比数列前项和为，且是和的等差中项.（1）求数列的通项公式.（2）设，求数列的前项和.【详解】（1）设等比数列公比为，是和的等差中项，即，解得， ，（2），18如图矩形中，；分别为的中点，沿将点折起至点，连接.（1）当时，（如图1），求二面角的大小；（2）当二面角等于时（如图2），求与平面所成角的正弦值.【详解】（1）取中点，连接，因为，所以，因为是的中点，所以，因为，所以，因为是的中点，所以，所以就是二面角的平面角，因为，所以正三角形，可得，又因为等腰中，所以，所以，可得，所以二面角的大小为.（2）由于沿将点折起至点，所以点在底面
9、内的射影必在折痕的垂直平分线上，因为，所以四边形是矩形，所以三点共线，二面角等于，所以，因为，所以正三角形，可得，以为原点，分别以为轴，轴，与它们都垂直于的直线为轴.建立空间直角坐标系如图所示：所以，所以，所以，设平面的法向量为，令可得， ，所以，.所以与平面所成角的正弦值为.192020年国庆节期间，甲、乙等5名游客准备从庐山、三清山、婺源、井冈山4个景点中选取一个景点游览，设每人只选择一个景点，且选择任一个景点是等可能的（1）分别求“恰有2人选择井冈山”和“甲选择井冈山且乙不选择庐山”的概率；（2）记表示5人中选择景点的个数，求的分布列与数学期望【详解】（1）所有可能的选择方式有种，“恰有
10、2人选择井冈山”的方式有种，从而“恰有2人选择井冈山”的概率为 “甲选择井冈山且乙不选择庐山”的方式有种，从而“甲选择井冈山且乙不选择庐山”的概率为 （2）的所有可能值为1，2，3，4又， 故的分布列为1234的数学期望20已知椭圆的左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，长轴长为4，短轴长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在过的直线，使得直线与椭圆交于，？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【详解】解：（1）设椭圆的方程为，可得，即，所以椭圆的方程为；（2）当直线的斜率不存在时，不满足条件；假设存在过点的直线，使得直线与椭圆交于，设直线的方程为，联立椭圆的方程得，设，即，由，化为
11、，得，化为，解得，所在存在直线或满足条件.21已知函数（1）判断函数的单调性;（2）若，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围试题解析：（1），当时，则在上单调递增；当时，令，得，则在上单调递减，在上单调递增（2）不妨先证明，即，先证，即，显然成立再证，只需证，设， 则，即，得证由当时，则在上单调递增，可知，当时，又在上单调递增，当时，在上单调递减，与条件不符综上 请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线与曲线（为参数）交于两点.（1）将曲线的参数方程转化为普通方程；（2）求的长.【详解】（1）因为曲线（为参数），所以曲线的普通方程为：.（2）由题知：直线的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入，得.，.所以.23选修4-5：不等式选讲（10分）选用恰当的证明方法，证明下列不等式.（1）已知实数，均为正数，求证：.（2）已知，都是正数，并且，求证：.【详解】（1），又因为，所以，由基本不等式得，当且仅当时，取等号，即时取等号，所以.（2）因为，都是正数，所以，又，所以，所以，所以，即.
