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1、2月大数据精选模拟卷01（新课标卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若，则（ ）A0B1CD2【答案】C【详解】，.2已知集合，则集合（ ）ABCD【答案】C【详解】已知集合，则.3已知随机变量满足，其中.若，则（ ）ABCD【答案】B【详解】根据题意可得分布列如下：01，解得，解得，.4过抛物线：的焦点的直线与抛物线交于，两点，的中点为，且到抛物线的准线距离为4，则（ ）A2B4C6D8【答案】D【详解】到抛物线的准线距离为，则.过点，分别作准线的垂线，垂足分别为，则.故选：
2、D5已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A24B28C32D36【答案】B【详解】根据三视图可知，该几何体是由长宽高分别为的长方体和一个高为的正四棱锥组合而成的组合体，如图： 其体积为.故选：B6已知定义在R上的奇函数满足，且当时，其中a为常数，则的值为（ ）A2BCD【答案】B【详解】由题意，函数满足，所以函数的周期为，又由当时，因为函数奇函数，所以，所以，则，令，可得，可得，所以.故选：B7函数的图像最近两对称轴之间的距离为，若该函数图像关于点成中心对称，当时m的值为（ ）ABCD【答案】D【详解】的最小正周期,，所以，令,则,函数f(x)的对称轴心为,所以，当时,解得：
3、,又,8若x2，则函数的最小值为（ ）A3B4C5D6【答案】D【详解】x2，x20，当且仅当，即x4时取等号，函数的最小值为6.9已知角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴上，终边上一点的坐标为，且为锐角，则（ ）ABCD【答案】B【详解】因为，所以点在单位圆上，所以，又为锐角，所以为锐角，结合二倍角公式可得，故选：B10三棱锥中，则三棱锥外接球表面积的最小值是（ ）ABCD【答案】B【详解】设底面外接圆圆心为，半径为，则，即.设三棱锥高为，球的半径为.由，得球心在上，且，则，当且仅当时等号成立，此时外接球表面积最小，则.故选：B11已知双曲线的离心率为2，则双曲线的离心率是（ ）A2BCD【答
4、案】B【详解】因为双曲线的离心率为2，所以离心率，所以，所以双曲线的离心率为.12设函数.若不等式对恒成立，则的最大值为（ ）ABCD【答案】D【详解】由不等式对恒成立，即为，即对恒成立，设，由，可得在上递增，且，当时，；，作出的图象，再设，可得表示过，斜率为的一条射线（不含端点），要求的最大值，且满足不等式恒成立，可得的最大值，由于点在轴上移动，只需找到合适的，且切于点，如图所示：此时，即的最大值为.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若，满足约束条件，则的最大值为_.【答案】6【详解】解：根据约束条件画出可行域如下图所示：作直线：，平移直线，当其过点时，取得最大值，
5、最大值为.14平面向量，的夹角为，且，则的最大值为_.【答案】【详解】，因为，所以，所以，所以，所以，令，则，当且仅当，即时，等号成立.所以的最大值为.15展开式中常数项为_.(用数字作答)【答案】-4【详解】中的通项公式为，令，解得，所以常数项为.16在棱长为的正方体中，棱，的中点分别为，点在平面内，作平面，垂足为.当点在内（包含边界）运动时，点的轨迹所组成的图形的面积等于_.【答案】【详解】由正方体性质可知平面平面，且平面，故点的轨迹所组成的图形与平面在平面正投影图形全等，又为正三棱锥，故正投影如图即再平面的正投影为，且，点的轨迹所组成的图形的面积为，三、解答题（本大题共6小题，共70分解
6、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知各项均为正数的等差数列中，成等比数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【详解】（1）设等差数列的公差为.因为，成等比数列，所以，即，整理可得或，而，且，所以，解得，所以，即数列的通项公式；（2）由（1）可得，所以.18如图，在直三棱柱中，交于点，为的中点.（）求证：平面；（）求二面角的余弦值.【详解】（）因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，所以. 因为，所以平面. 因为平面，所以. 因为，所以平面. （）由（）知两两垂直，如图建立空间直角坐标系.则,.设，所以，因为，所以，即.所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为，所以 所以
7、 即 令，则，所以平面的一个法向量为. 所以. 由已知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.192020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品.根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率必须大于90%.为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口置，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率服从正态分布.假设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立.记表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于的数量.（1）求的概率；（2）求的数学期望；（3）一天内抽检的口罩中，如果出
8、现了过滤率小于的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？附：若随机变量，则，.【详解】（1）抽取口罩中过滤率在内的概率，所以，所以，故（2）由题意可知，所以.（3）如果按照正常状态生产，由（1）中计算可知，一只口罩过滤率小于或等于的概率，一天内抽取的10只口覃中，出现过滤率小于或等于的概率，发生的概率非常小，属于小概率事件.所以一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修.可见这种监控生产过程的方法合理.20已知椭圆：的离心率为，左、右焦
9、点分别为、.设是椭圆上一点，满足轴，.（1）求椭圆的标准方程；（2）过且倾斜角为45的直线与椭圆相交于，两点，求的面积.【答案】（1）；（2）【详解】（1）由条件可知，解得：，所以椭圆的标准方程是；（2）设直线，直线与椭圆方程联立，得，.21已知函数在处取得极值，.（1）求的值与的单调区间；（2）设，已知函数，若对于任意、，都有，求实数的取值范围.【详解】（1）由题意得的定义域为，函数在处取得极值，解得，则由得或，、的关系如下表：极大值极小值函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）由（1）得函数，当时，对任意、，都有，即当，时，在上单调递减，在上单调递减，则，则，即，解得或，结合，得，故实
10、数的取值范围为.请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 （1）求直线与曲线的普通方程；（2）若直线与曲线交于，两点，且，求【详解】（1）由得，平方相加利用消去参数可得，故曲线的普通方程为，将代入直线方程得，故直线的普通方程为；（2）可知曲线是以为圆心，3为半径的圆，则圆心到直线的距离，解得或2.23选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集为空集，求实数m的取值范围【详解】（1）由不等式可得：，可化为：，或，或，解得：，或，或，综上不等式的解集为 （2）因为，当且仅当时，等号成立.所以，由不等式的解集为空集，得，所以，解得或，所以，实数的取值范围为
