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1、1月大数据精选模拟卷04（新课标卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则（ ）ABCD【答案】B【详解】，.2在复平面内，复数对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【详解】由复数的运算法则，可得，对应的点位于第四象限.故选：D.3已知向量，若，则m为（ ）ABC2D4【答案】B【详解】向量，.若，则，解得：.故选：B4已知函数是区间上的可导函数，且导函数为，则“对任意的，”是“在上为增函数”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件
2、D既不充分也不必要条件【答案】A【详解】因为函数是区间上的可导函数，且导函数为，若“对任意的，”，则在上为增函数；若在上为增函数，则对任意的恒成立，即由“对任意的，”能推出“在上为增函数”；由“在上为增函数”不能推出“对任意的，”，因此“对任意的，”是“在上为增函数”的充分不必要条件.5抛物线上的点到直线的距离的最小值为（ ）ABCD【答案】B【详解】设是抛物线上任一点，则到直线的距离为，易知时，的最大值是，故选：B6函数的部分图象可能是（ ）ABCD【答案】A【详解】函数的定义域为则所以该函数为奇函数，故排除又，故排除，则正确7的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A等于（ ）AB
3、或CD或【答案】D【详解】因为，由正弦定理可得，又因为，可得，所以，又由，所以或.8在三棱锥中，平面，则三棱锥外接球的表面积是（ ）ABCD【答案】D【详解】在中，由余弦定理可得，则，所以，由平面，则，所以平面，所以，所以为直角三角形，又为直角三角形，所以是外接球直径，O是的中点，即为球心，又，所以，所以外接球半径为，所以球O的体积.故选：D.9的展开式中的系数为（ ）ABC64D-128【答案】D【详解】展开式的通项公式为，令，则，所以的展开式中的系数为.故选：D10北京时间2020年12月17日1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品在预定区域安全着陆，嫦娥五号任务取得圆满成功.这是发挥新型
4、举国体制优势攻坚克难取得的又一重大成就，标志着中国航天向前迈出的一大步，将为深化人类对月球成因和太阳系演化历史的科学认知作出贡献.在所有航天工程中，火箭的作用毋庸置疑，在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（km/s）和燃料的质量M（kg）、火箭（除燃料外）的质量m（kg）的函数关系是.按照这个规律，若火箭的最大速度可达到第二宇宙速度11.2km/s，则火箭的燃料质量M与火箭质量m之比约为（ ）（参考数据：）A0.0044B2.0056C1.0056D0.0056【答案】D【详解】由题意可知，则，所以.故选：D11如果以原点为圆心的圆经过双曲线的焦点，而且被该双曲线的右准线分成弧长为的两段圆
5、弧，那么该双曲线的离心率等于（ ）ABCD2【答案】B【详解】如图所示，由题意可知圆的半径，设双曲线的右准线与圆交于两点，则，设准线与轴交于点，则，所以离心率.故选：B.12已知是定义在上的单调函数，是上的单调减函数，且，则（ ）ABCD【答案】B【详解】由已知得，则，所以，所以，则，则，所以又因为是上的单调减函数，所以二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13曲线在点处的切线方程为_【答案】【详解】由题意得：，所以切线的斜率，又切点为，所以切线方程为，即，14已知实数x，y满足不等式组，则的最大值是_【答案】9【详解】画出表示的可行域，如图所示：，可得交点，可变为，当过点时，有最大
6、值，且为9.15对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量_次（若，则）【答案】32【详解】根据正态曲线的对称性知：要使误差在的概率不小于0.9545，则且，所以.16如图，位于山西省朔州市应县佛宫寺内的释迦塔，俗称应县木塔，是我国现存最高最古老的木结构塔式建筑，木塔顶部可以近似地看成一个正八棱锥，其侧面和底面的夹角大小为，则该正八棱锥的高和底面边长之比为_.(参考数据：)【答案】【详解】如图所示:点是正八棱锥的顶点，点是底面的中心，是底面的一条边，是的中点,根据题意知，因为，设，则，又因为二面角的大小为，
7、即，所以，即正八棱锥的高和底面边长之比为.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知数列是首项的等比数列，其前项和中成等差数列，（1）求数列的通项公式；（2）设，若是的前n项和，求.【详解】解：（1）由题设可得：，公比，又，；（2）由（1）可得：，.18如图，在三棱锥中，平面，是的中点，是线段上的一点，且，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦.【详解】（1）因为，所以，又，所以，又因为，所以是的斜边上的中线，所以是的中点，又因为是的中点所以是的中位线，所以，又因为平面，平面，所以平面（2）据题设知，两两互相垂直，以为原点，分别为，轴建立如
8、图所示的空间直角坐标系，因为，且，分别是，的中点，所以，所以，所以，设平面的一个法向量为，则，即，所以，令，则，设直线与平面所成角的大小为，则故直线与平面所成角的正弦值为.19某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄蓝两种颜色的单车，已知黄蓝两种颜色单车的投放比例为.监管部门为了解两种颜色单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同.（1）求抽取的5辆单车中有3辆是蓝色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放
9、回市场中，并继续从市场中随机抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过4次.在抽样结束时，已取到的黄色单车数量用表示，求的分布列及数学期望.【详解】（1）因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为，用表示“抽取的5辆单车中蓝色单车的个数”，则服从二项分布，即，所以抽取的5辆单车中有3辆是蓝色单车的概率为；（2）随机变量的可能取值为：01234.，.所以的分布列如下表所示：01234.20已知椭圆的左右焦点分别为，过点作直线交椭圆于，两点(与轴不重合)，的周长分别为12和8.（1）求椭圆的方程；（2）在轴上是否存在一点，使得直线与的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请
10、说明理由.【详解】（1）设椭圆的焦距为，由题意可得，解得，所以，因此椭圆的方程为.（2）因为直线过点且不与轴重合，所以设的方程为，联立方程，消去并整理得，设，则，所以，.设，则直线与的斜率分别为，则.所以当，即当时，；当时，.因此，所有满足条件的的坐标为和.21已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）求在上的最小值【详解】解：（1）的定义域为，当时，当时，则的单调递增区间为；当时，则的单调递减区间为.（2）当时，在上单调递减，此时，当时，在上单调递增，此时，当时，若，则单调递减；若，则单调递增此时，综上所述：请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一
11、个题目计分22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；（2）若曲线交于两点，求直线的直角坐标方程及的长.【详解】（1）依题意，即，所以曲线，故，即曲线的极坐标方程为；曲线即，即，则曲线的直角坐标方程为；（2）联立，两式相减可得，即直线的直角坐标方程为；又圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以弦长.23选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数.（1）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围；（2）若，求证：.【详解】（1）当时，即，即，则或，得或，于是有或，又，或，因此实数的取值范围是；（2）要证，只需证，则，.
