《备战2021年高考数学解题方法专练10数形结合思想（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《备战2021年高考数学解题方法专练10数形结合思想（解析版）（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题10 数形结合思想【方法指导】1数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质2运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：（1）等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其
2、带来的负面效应（2）双方性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错（3）简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线3数形结合思想解决的问题常有以下几种：（1）构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；（2）构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；（3）构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；（4）构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；
3、（5）构建立体几何模型研究代数问题；（6）构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；（7）构建方程模型，求根的个数；（8）研究图形的形状、位置关系、性质等4数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点（1）集合的运算及Venn图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线；（5）对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；（6）对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点、顶点是关键点），做好知识的迁移与综合运用5数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在
4、解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度具体操作时，应注意以下几点：（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；（2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解；（3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证【例题解读】【典例1】在直角坐标平面内的两个不同点M，N满足条件：M，N都在函数的图像上；M，N关于原点时称则称点对为函数的一对“友好
5、点对”（注：点对与为同一“友好点对”）已知函数，此函数“友好点对”有（ ）A0个B1个C2个D3个【来源】【新东方】【2021.4.27】【宁波】【高一上】【高中数学】【00112】【答案】C【分析】根据题意，“友好点对”可知，要求解的“友好点对”，只需作出函数的图象关于原点对称的函数为，结合图象的交点个数，即可求解.【详解】由函数，当时，可得，则，则函数的图象关于原点对称的函数为，由题意知，作出函数的图象及函数的图象，如图所示，由图象可得两个函数图象共有两个交点，即函数的“友好点对”有：2个.故选：C.【点睛】方法点拨：把函数的“友好点对”，转化为作出函数的图象关于原点对称的函数为与函数的图
6、象的交点个数，结合图象的交点个数是解答的关键.【典例2】已知函数的定义域为R，若关于x的方程有5个不同的根，则的值为（ ）AB16C5D15【来源】【新东方】【2021.4.27】【宁波】【高一上】【高中数学】【00109】【答案】D【分析】根据函数解析式画出图像，结合方程根的情况，判断函数交点情况，从而求得参数的值，进而求得交点横坐标，从而解决问题.【详解】由函数解析式作出函数图像如下：由方程有5个不同的根知，必有一个解为1，即，则，则方程另一个解为，设则，故故选：D.【点睛】方法点睛：数形结合找到方程有5个不同根对应的交点情况，然后求得参数值.【典例3】已知为抛物线上一点，过抛物线的焦点作
7、直线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ）ABCD【来源】普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（四）【答案】D【分析】过点作与准线垂直并交准线于点，求出直线过定点，然后可得在以为直径的圆上，以为直径的圆上，的最小值为圆上的点到准线的距离的最小值，然后可求出答案.【详解】抛物线的焦点，准线方程为，过点作与准线垂直并交准线于点令直线为直线，变形可得，令解得则直线经过定点设，连接，取的中点为，则的坐标为，若，则在以为直径的圆上，以为直径的圆上，其方程为又由，得，如图，的最小值为圆上的点到准线的距离的最小值，过点作与准线垂直并交于点，与圆交于点，与抛物线交于点，则即为的最小值，即故选：D【典例4】已知定
8、义在上的奇函数在上单调递增，且满足，则关于的不等式的解集为（ ）ABCD【来源】山东省德州市2021届高三二模数学试题【答案】C【分析】令，利用奇偶性定义可知为奇函数，并可确定在，上单调递增，由知，结合不成立可确定与大致图象，由图象可确定解集.【详解】为上的奇函数，令，则，为上奇函数；在上单调递增，在上单调递增，在上单调递增，由奇函数性质知：在上单调递增；，则，又，当时，当时，不成立，即不成立，由此可在坐标系中画出与大致图象如下图所示：由图象可知：当时，即当时，.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式的求解，解题关键是能够通过构造函数的方式，结合奇偶性和单调性的知识确定函数的大致图象
9、，利用数形结合的方式求得结果.【专题训练】一、单选题一、单选题1下列命题中，真命题是（ ）A，使得B(，)C函数有两个零点D，是的充分不必要条件【来源】安徽省江淮十校2021届高三下学期4月第三次质量检测理科数学试题【答案】D【分析】对于ABD三个选项可以通过赋值法来判断，对于C，可以通过把函数零点问题转化为函数图像交点问题，由数形结合易知零点个数.【详解】时，没有正整数的平方小于0，A错误；当时，B错误；把方程转化为函数与的交点问题，如图所示有三个零点，除，4外，还有一个小于0的交点，C错误，当，时，一定有，但当，时，也成立，故D正确.故选：D.2已知函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
10、ABCD【来源】广东省肇庆市2021届高三下学期第三次统一检测数学试题【答案】B【分析】先分离参数，再将零点问题转化成两个函数的交点问题来求解即可【详解】由，设，当时，当时，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故，因为函数有三个零点，故故选：B3已知，在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【来源】2021年新高考测评卷数学（第六模拟）【答案】D【分析】不等式等价于，分类讨论，和，分别求出实数的取值范围，最后取交集即可.【详解】易知，不等式，即.当时，则，又，所以；当时，对任意的实数，不等式恒成立；当时，则，又，所以；综上，实数的取值范围为.故选：D【点睛】方法点睛：本
11、题考查不等式恒成立求参数问题， 不等式恒成立问题常见方法：分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；数形结合( 图像在 上方即可)；讨论最值或恒成立.4若等腰直角三角形一条直角边所在直线的斜率为，则斜边所在直线的斜率为（ ）A或2B或3C或4D或5【来源】2021届云南省昆明市高考“三诊一模”第二次教学质量检测数学（文科）试题【答案】C【分析】设一条直角边所在直线的倾斜角是，则斜边的倾斜角是或，利用三角函数求倾斜角的正切值，即可求得直线的斜率.【详解】因为等腰直角三角形一条直角边所在直线的斜率为，即，设其倾斜角为，则，因为斜边与直角边的倾斜角相差45，则斜边的倾斜角为或，所以，所以斜边所在直线的
12、斜率为或4故选：C5已知圆经过原点，则圆上的点到直线距离的最大值为（ ）ABCD【来源】北京市顺义区2021届高三二模数学试题【答案】B【分析】由题意画图，数形结合可知，当圆心在C处时，点到直线的距离最大，进而可求结果.【详解】如图：圆心为，经过原点，可得则圆心在单位圆上，原点到直线的距离为延长BO交于点C，以C为圆心，OC为半径作圆C，BC延长线交圆C于点D，当圆心在C处时，点到直线的距离最大为此时，圆上点D到直线的距离最大为故选：B【点睛】关键的点睛：由题意画图，数形结合可得，点D到直线的距离最大是解题的关键.本题考查了作图能力，数形结合思想，运算求解能力，属于一般题目.6已知函数，且在上
13、单调.设函数，且的定义域为，则的所有零点之和等于（ ）ABCD【来源】云南省2021届高三二模理科数学试题【答案】C【分析】由的值域，结合已知条件知可求，由求，进而得，要确定的所有零点之和，需确定内与在的交点横坐标及对应对称轴即可.【详解】由题设，知：，而，必有，又在上单调，即，则，即有，又，所以，则，令有，故判断与在有几个交点及对应对称轴有哪几条即可，如下图示：共有6个零点且，即.故选：C.【点睛】关键点点睛：根据函数的性质求参数、，写出的解析式，要求零点可将问题转化为判断与在的交点，利用数形结合的方法，找到交点并确定两个交点间的对称轴.二、多选题7关于函数，下列说法正确的是（ ）A当时，在
14、处的切线方程为B若函数在上恰有一个极值，则C对任意，恒成立D当时，在上恰有2个零点【来源】江苏省南通市海门市包场高级中学2020-2021学年高三上学期10月第二次阶段检测数学试题【答案】ABD【分析】直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D选项.【详解】解：对于A，当时，所以，故切点为（0，0），则，所以，故切线斜率为1，所以在处的切线方程为：，即，故A正确；对于B，则，若函数在上恰有一个极值，即在上恰有一个解，令，即在上恰有一个解，则在上恰有一个解，即与的图象在上恰有一个交点，令，解得：，当时，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以极大值为，极小值为，而，作出，的大致图象，如下：由图可知，当时，与的图象在上恰有一个交点，即函数在上恰有一个极值，则，故B正确；对于C，要使得恒成立，即在上，恒成立，即在上，恒成立，即，设，则，令，解
