《北师大版必修一二高二数学下学期期末专项复习05 空间向量与立体几何（重点）解析版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版必修一二高二数学下学期期末专项复习05 空间向量与立体几何（重点）解析版（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题05 空间向量与立体几何（重点）一、单选题1已知向量，且与互相垂直，则k的值是（ ）A1BCD【答案】D【解析】由向量垂直得，结合向量的点坐标求出，即可求k的值.依题意得：，即，而，4kk250，解得.故选：D2已知向量=(1，0，1)，=(0，1，1)，O为坐标原点，则三角形OAB的面积为（ ）ABC1D【答案】D【解析】利用向量的夹角公式可得，进而可求出，最后由三角形面积公式可得结果.，由于，所以，所以三角形OAB的面积为，故选:D.3已知向量，若共面，则x等于（ ）AB1C1或D1或0【答案】A【解析】由共面，设，根据坐标运算列出方程求解即可.因为共面，设所以解得：，即故选：A4已知
2、长方体，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A0BCD【答案】B【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角；解：如图建立空间直角坐标系，则，所以，设异面直线与所成的角为，则故选：B5如图，已知正方体的棱长为4，E为棱的中点，点P在侧面上运动，当平面与平面，平面所成的角相等时，的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解.如图，建立空间直角坐标系，则,. 设 则 易知平面和平面的一个法向量分别为.设平面的法向量为，则 即 取，可得所以 为平面的一个法向量.由题意,平面与平面，平面所成的角相等，所以.或 在平面上，直线过点和的中点，在平面上，
3、直线只过点，即点，取为的中点,连接，则点在上运动或点在点处，由等面积法可得的最小值为.故选：B.【点睛】对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.6在下列结论中：若向量共线，则向量所在的直线平行；若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；若三个向量两两共面，则向量共面；已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得其中正确结论的个数是（ ）A0B1C2D3【答案】A【解析】根据向量共线的概念、异面直线的概念及空间向量的基本定理逐一判断.平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故错两条异面直
4、线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故错.三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥中，两两共面，但它们不是共面向量，故错根据空间向量基本定理，需不共面才成立，故错故选:A7在三棱锥中，两两垂直，为棱上一动点，.当与平面所成角最大时，与平面所成角的正弦值为（ ）ABCD【答案】C【解析】首先利用线面角的定义，可知当为的中点时，取得最小值，此时与平面所成角最大，再以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量坐标法求线面角的正弦值.，且，平面，易证平面，则与平面所成角为，当取得最小值时，取得最大值在等腰中，当为的中点时，取得最小值.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
5、则，则，设平面的法向量为，则，即令，得.因为，所以与平面所成角的正弦值为.故选：C【点睛】关键点点睛：本题重点考查线面角，既考查了几何法求线面角，又考查向量法求线面角，本题关键是确定点的位置，首先利用线面角的定义确定点的位置，再利用向量法求线面角.8平面过正方体的顶点，点、分别为、的中点，若平面，平面，则直线与直线所成角的正切值为（ ）ABCD【答案】B【解析】以为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，用向量法计算即可.不妨设AB=2, 以为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，则设平面EFG的一个法向量，则，不妨令x=1，则易知平面ABCD的一个法向量为，设直线m，n的方
6、向向量分别为，因为平面，所以不妨令=1，则同理可求设直线与直线所成角为，则所以故选：B【点睛】向量法解决立体几何问题的关键：(1)建立合适的坐标系；(2)把要用到的向量正确表示；(3)利用向量法证明或计算.二、多选题9点P是棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的值可能是（ ）A3BC2D1【答案】CD【解析】如图建系，可得点A、的坐标，设，可得的坐标，进而可得的表达式，根据x，y的范围，即可求得答案.如图建系：因为P在底面A1B1C1D1内，所以设，又，所以，所以，因为，所以的最小值为-2，最大值为0，所以的值可能是-2，-1.故选：CD【点睛】解题的关键是
7、在适当位置建系，根据题意，设出P点坐标，在根据坐标中x，y的范围求解，考查数形结合，计算求值的能力.10在长方体中，分别为棱的中点，则正确的选项是（ ）A异面直线与所成角的大小为60B异面直线与所成角的大小为90C点到平面的距离为D点到平面的距离为【答案】BC【解析】建立空间直角坐标系，求出，后，由可判断A、B；求出平面的一个法向量后，由点到平面的距离为可判断C、D.如图建立空间直角坐标系，连接，则，所以，所以，所以，所以异面直线与所成角的大小为90，故A错误，B正确；又，设平面的一个法向量，则，令，则，则点到平面的距离为，故C正确，D错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：（1）建立合理的空间
8、直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角；（2）转化点到平面的距离为方向向量在平面法向量方向上投影的绝对值.11已知正方体的棱长为，为棱上的动点，下列说法正确的是（ ）AB二面角的大小为C三棱锥的体积为定值D若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为【答案】AC【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断ABD各选项的正误，利用锥体的体积公式可判断C选项的正误.以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系.则、，设点，其中.对于A选项，则，所以，A选项正确；对于B选项，设平面的法向量为，由，取，可得，则，设平面的法向量为，由，取，则，所以
9、，所以，二面角的大小不是，B选项错误；对于C选项，平面，平面，平面，到平面的距离等于点到平面的距离，而点到平面的距离为，即三棱锥的高为，因此，C选项正确；对于D选项，平面，则为平面的一个法向量，且，又，所以，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，D选项错误.故选：AC.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.12已知矩形，将沿
10、矩形的对角线所在的直线进行翻折，翻折过程中（ ）A存在某个位置，使得B存在某个位置，使得C存在某个位置，使得D存在某个位置，使得，、均不等于零【答案】AD【解析】由向量数量积为零得出向量垂直，运用假设存在某个位置，应用线面垂直的判定和性质，结合矩形的条件可判断各选项的正误.在矩形中，分别过点、作、，垂足分别为点、.由已知条件，. 对于A选项，若存在某个位置，使得，平面，平面，则，在中，斜边，存在，故A正确；对于B选项，若存在某个位置，使得，平面，平面，则，在中，斜边，矛盾，故B错误；对于C选项，若存在某个位置，使得，平面，平面，在平面内，过点能作两条直线与垂直，矛盾，故C错误；对于D选项，取平
11、面平面，平面平面，平面，平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、，则，则，则，D选项正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题考查垂直关系存在性的验证，在推导时，可转化为利用线面垂直来推导线线垂直，也可以找个合适的位置，建立空间直角坐标，利用向量法来求解.三、填空题13在棱长为1的正方体中，若，则_【答案】【解析】根据空间向量的加法法则求出向量的和，然后再计算模正方体棱长为1，则对角线长为，所以故答案为：14正方体的棱长为是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_【答案】【解析
12、】当弦MN经过圆心时，弦MN最长，此时，MN=2，以D为原点，如图，建立如图所示的空间直角坐标系，即可得出结果.当弦MN经过圆心时，弦MN最长，此时，MN=2，以D为原点，如图，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设M,N是上下底面的中心，则， 因为P为正方体面上的点，P在上下两个面相同，P在四个侧面相同，当P在底面ABCD时，当=0或2时，=0或2时，最小为-2；当时，最大为0；当P在侧面时，当=0或2时，=0或2时，最小为-2；当时，最大为0；所以取值范围：故答案为：【点睛】关键点点睛：固定M，N的位置，建立空间直角坐标系是结果动点问题的常用方程.本题考查了数形结合思想、计算能力，属于中档题
13、目.15若平面向量为单位向量， 空间向量满足，则对任意的实数，的最小值为_【答案】【解析】由，求出的最小值.即，当且仅当取等号即的最小值为故答案为：【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于由，结合不等式的性质得出最值.16下列四个命题：（1）已知向量是空间的一组基底，则向量也是空间的一组基底；（2） 在正方体中，若点在内，且，则的值为1；（3） 圆上到直线的距离等于1的点有2个；（4）方程表示的曲线是一条直线.其中正确命题的序号是_.【答案】(1)(2)(4)【解析】（1）已知向量是空间的一组基底，即向量不共面，则也不共面，所以向量是空间的一个基底，正确；（2），正确；（3）由圆的方程，得到圆心坐标为，半径为，则圆心到直线的距离为， 圆上的点到直线的距离为的点有个，错误；（4）由题意可化为或，不成立，方程 表示的曲线是一条直线，正确，故答案为(1)(2)(4).四、解答题17如图，在四棱锥中，面面，M为的中点（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（）证明见解析；（）【解析】（）取的中点为，连接，可证，可证明；（）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.（）（1）记的中点为，连接，面面，面面，面为的中点， ，面，又面，（）面，又，故可如图建系,不妨设，则，由等边三角形AED可知，,，则有，
