《自-k52006年高考第一轮复习数学：13.1 数学归纳法 .》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自-k52006年高考第一轮复习数学：13.1 数学归纳法 .（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考第十三章 极限网络体系总览考点目标定位1数学归纳法、极限要求：(1)理解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.（2）了解数列极限和函数极限的概念.(3)掌握极限的四则运算法则,会求某些数列与函数的极限(）了解函数连续的意义,理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.复习方略指南极限的概念和方法是近代数学的核心内容,微积分学的基本概念、基本方法在现代实践中越来越多的被应用,并在现代数学及相关学科的研究中不断得到进一步的发展.本章的主要内容由两部分组成,一是数学归纳法,二是极限.学习极限时要注意数列极限和函数极限的联系和区别、函数的极限与函数
2、连续性的渐进性.13.1 数学归纳法知识梳理1.数学归纳法的定义:由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方法:（1）先证明当n=n0（n是使命题成立的最小自然数）时命题成立；(2）假设当nk（kN*，kn0）时命题成立,再证明当n=k+时命题也成立,那么就证明这个命题成立,这种证明方法叫数学归纳法.2.数学归纳法的应用:证恒等式；整除性的证明;探求平面几何中的问题;探求数列的通项;不等式的证明.特别提示（1）用数学归纳法证题时,两步缺一不可；（2)证题时要注意两凑:一凑归纳假设;二凑目标点击双基1设f（n)=+(nN *),那么f（n1)-f（n)等于A.BC.+D.-解析:f(
3、n1）f（)= + + +-(+)=+-=答案：D2.(24年太原模拟题)若把正整数按下图所示的规律排序，则从002到004年的箭头方向依次为解析:2002=0+,而an=4n是每一个下边不封闭的正方形左、上顶点的数.答案：D.凸n边形有f()条对角线,则凸n+1边形有对角线条数f(n+)为A.f(n)+n+1 B.f(n)n (n)n1 D.f(n)+n-2解析:由n边形到n+1边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原n-2个顶点连成的 -条对角线，及原先的一条边成了对角线.答案：C用数学归纳法证明“（+）(n）(n+）=2n1（2n-1)”,从“k到k+”左端需增乘的代数式为A2k+ B.2
4、(k+1) C. .解析:当1时，显然成立.当n=时,左边=(k1）(k+2）(k+k)，当=k+1时，左边=（k1+1)（1+2）(k+1+k)（k1+k+1）=(k+2)（3)(k+）(k+1k)(k+k+1）(k+1）（+2）（k+k)(k+）(+2）（k+k）2(2k）.答案：（004年春季上海，8)根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有_个点.解析:观察图形点分布的变化规律,发现第一个图形只有一个中心点;第二个图形中除中心外还有两边,每边一个点；第三个图形中除中心点外还有三个边，每边两个点;；依次类推,第n个图形中除中心外有n条边，每边n-个点，故第n个图形中
5、点的个数为n（n-1)+1.答案：n2-n+1典例剖析【例1】 比较2与2的大小（n *)剖析：比较两数(或式）大小的常用方法本题不适用,故考虑用归纳法推测大小关系，再用数学归纳法证明.解:当n=1时，2112,当=时,2=22,当n=3时,2332，当n=4时,442,当n=5时，25,猜想：当5时，2n2下面用数学归纳法证明:(1)当n=5时,252成立.(2)假设n=k(N *，5）时2kk2，那么12k=+2kk2+(1+1）kkC+=k22k+1=（k+1) .当nk+1时，2n.由（1）(2)可知，对n5的一切自然数2n2都成立.综上，得当n或n时，n2;当2，时，nn2；当3时，
6、2n2评述：用数学归纳法证不等式时,要恰当地凑出目标和凑出归纳假设，凑目标时可适当放缩深化拓展当n5时,要证2n，也可直接用二项式定理证:2n=(1+1）n=C+C+C+C+C+C+n+n2nn2【例2】 是否存在常数a、b、使等式1（2-12)+(n22）+n（nn2）4+bn+c对一切正整数n成立?证明你的结论.剖析:先取n1,2,3探求a、b、c的值，然后用数学归纳法证明对一切n*，a、b、c所确定的等式都成立.解：分别用1，2,3代入解方程组下面用数学归纳法证明.()当=1时,由上可知等式成立;（2）假设当n=k1时，等式成立,则当n=k+1时，左边=1（k+1）212+（1）2-22
7、+k（k+1)2k2+(+1)（k）2-（k+1)21(k12）+2（k222)+(k2k2）+1（2k+1)+2（2+）+k（+1）=k4+(-）+（2+1）+2(2k）+k（k+)=(k1)4（k+1)2当n=+1时,等式成立.由(1)(2）得等式对一切的n*均成立.评述:本题是探索性命题，它通过观察归纳猜想证明这一完整的思路过程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力【例3】（03年全国)设a0为常数,且an3n1an-1（nN*)证明:1时，an=3n+(1）-12n+（)2na0.剖析:给出了递推公式，证通项公式,可用数学归纳法证.证明：(1)当n=1时，
8、+2-20=1-a0，而=30201-2a0当n=1时，通项公式正确.(2）假设n=k（kN*)时正确,即ak3k+(-1)k12+(-1）k2ka0,那么ak+1=k2ak=3k-3k+(1）k2k+（-1）+2k+1a0=k+()+1+（1)k+12k+10=3k+1+（1）k2+（1)k+12k1a当n=k+1时,通项公式正确.由()(2）可知，对N*,an=(-1）n12n+（-)2na0.评述：由n=正确=+时也正确是证明的关键深化拓展本题也可用构造数列的方法求a.解：0为常数，a=20.由an=312a-1,得=-+1，即=-+.-（）.是公比为-，首项为的等比数列.-(-a0）(
9、-)-1n(0)(-2)n13+3n=+(-1)n-12n(-)nna.注：本题关键是转化成an+1=can+d型.闯关训练夯实基础1.如果命题（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立,现已知(）对=4不成立,则下列结论正确的是A.P(n）对nN成立B.P（n)对n且nN*成立C.P()对n. 下面用数学归纳法证明上面猜想：当n=时，不等式成立.假设n=k时，不等式成立,即(1+1)（1)（1+).那么=k+时,(+1)(1)()（)（1+)=又2-()20,当nk+1时成立综上所述,nN*时成立由函数单调性可判定n1g+.平面内有n条直线，其中无任何两条平行，也无任何三条共点，求证:这n条直线把平面分割成(n2+n+2）块.证明:（）当n=1时,1条直线把平面分成2块，又
