《北师大版必修一二高二数学下学期期末专项复习06 空间向量与立体几何（难点）解析版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版必修一二高二数学下学期期末专项复习06 空间向量与立体几何（难点）解析版（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题06 空间向量与立体几何（难点）一、单选题1已知是长方体外接球的一条直径，点在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】在长方体中建立空间直角坐标系，用向量法求解.根据题意，以D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图示.设长方体外接球球心为O，则DB1为外接球的一条直径，设O为DB1中点，不妨设M与D重合，N与B1重合.则外接球的直径长为，所以半径r=1；所以由P在长方体表面上运动，所以，即所以，即故选：B【点睛】向量法解决立体几何问题的关键：(1)建立合适的坐标系；(2)把要用到的向量正确表示；(3)
2、利用向量法证明或计算.2如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，分别为，上的点，且，（ ）A1BC2D【答案】B【解析】把用表示出来，然后平方转化为数量积求模，又，故选：B【点睛】方法点睛：本题考查求向量的模，解题方法是用基底表示出向量，然后平方把模转化为数量积计算，本题在用基底表示向量时直接用向量的加法法则和数乘定义，如果结合减法可以更加容易理解，直接表示为：，再结合线性运算的结论分别基底去表示3在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，侧棱，点，分别是，的中点，点在平面上的射影是的重心，则点到平面的距离为（ ）ABCD【答案】A【解析】如图，建立空间直角坐标系，首先设，利用，求，利用点到平面的距
3、离为求解.如图所示，以为坐标原点，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，设，则，可得，因为点在平面上的射影是的重心，所以平面，所以，即，解得，即，则点到平面的距离为.故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键是方法，利用空间直角坐标系解决问题，第二个关键是利用则点到平面的距离为.4正方体的棱长为3，点E，F分别在棱上，且，下列几个命题：异面直线与垂直；过点B，E，F的平面截正方体，截面为等腰梯形；三棱锥的体积为过点作平面，使得，则平面截正方体所得的截面面积为其中真命题的序号为（ ）ABCD【答案】B【解析】对于：取的三等分点为，使，利用已知条件找到异面直线， 所成的角，即可得出结果；对于：取 的
4、三等分点为，使，利用已知条件得到四边形 即为所求截面，即可得出结论；对于：利用等体积法求解即可；对于：取 的三等分点为，使，取 的三等分点为，使，猜想出面 即为所求的截面，建立空间坐标证明推测，代入数值即可求出结论解：对于：取的三等分点为，使，又，且，四边形为平行四边形， 且，四边形 为平行四边形，则 为异面直线， 所成的角，连接，由题意得：，所以，故正确；对于：取 的三等分点为，使，又， 且，四边形 为平行四边形，则 且，又由得： 且，于是且，四边形 为平行四边形，取的中点为，连接，又，则四边形 即为所求截面，由题意知：，则不正确；对于：，又面，所以，故正确；对于：取 的三等分点为，使，取
5、的三等分点为，使，则面 即为所求的截面，建立如图所示的空间坐标系，则，0，3，3，0，1，所以面，由已知条件得：，等腰梯形 的高为：，所以截面面积为：，故正确故选：【点睛】本题主要考查异面直线所成角以及线线平行问题，还考查了等体积法求四棱锥的体积以及利用空间向量解决线面垂直问题； 问题的关键是截面不容易找5在三棱锥中，面面，是的中点.设，若，则二面角的余弦值的范围为（ ）ABCD【答案】D【解析】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，先求组成二面角的两个半平面的法向量，再求两个法向量的夹角的余弦值范围即可.解：面面，面面，面，所以面，在平面作直线直线，则，以为坐标原点，建立如图所示的空间
6、直角坐标系，不妨设，则，在，易求边上的高为，线段在上的投影长为，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，则平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，即，令，则平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，显然是关于的减函数，时，时，故选：D.【点睛】考查用坐标向量法求二面角平面角余弦值的范围，运算量大，易出错，难题.6已知三棱锥中，且、两两垂直，是三棱锥外接球面上一动点，则到平面的距离的最大值是ABCD【答案】C【解析】是棱长为1的正方体上具有公共顶点的三条棱,以为原点,分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,三棱锥外接球就是正方体的外接球，由正方体及球的几何性质可得点与重合时，点到平面的距离最大
7、，求出平面的法向量，由点到直线的距离公式即可得结果.三棱锥，满足两两垂直，且，如图是棱长为1的正方体上具有公共顶点的三条棱,以为原点,分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,则，设平面的法向量，则，取，得，三棱锥外接球就是棱长为1的正方体的外接球，是三棱锥外接球上一动点，由正方体与球的几何性质可得，点点与重合时，点到平面的距离最大，点到平面的距离的最大值为.故选C.【点睛】求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.7如图，在三棱锥ABCD中，平面ABC平面BCD，BA
8、C与BCD均为等腰直角三角形，且BAC=BCD=90，BC=2，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AC成30的角，则线段PA长的取值范围是（ ）A（0，）B0，C（，）D（，）【答案】B【解析】由于为动点，且锥体较为规则，可考虑建系法求解，设中点为，连接，以方向为轴，方向为轴，方向为轴，结合向量夹角的余弦公式及不等关系即可求解如图，由题可知，平面ABC平面BCD，BAC与BCD均为等腰直角三角形，且BAC=BCD=90，作中点为，连接，则，则平面，再作轴方向平行于，则，故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，由于与共线，故，所以，所以，化简得，又，代入化
9、简可得：，即，所以，则，即故选：B【点睛】本题考查由异面直线夹角求直线长度，建系法是处理问题关键，考查了消元法与整体代换思想，转化与化归思想，计算能力，属于难题8在正四面体（所有棱长均相等的三棱锥）中，点在棱上，满足，点为线段上的动点.设直线与平面所成的角为，则（ ）A存在某个位置，使得B存在某个位置，使得C存在某个位置，使得平面平面D存在某个位置，使得【答案】C【解析】设正四面体的底面中心为点，连接，则平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设正四面体的棱长为，然后利用空间向量法逐一分析求解可得结果.如下图所示，设正四面体的底面中心为点，连接，则平面，以点为坐标原点，、
10、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设正四面体的棱长为，则、，设，其中，对于A选项，若存在某个位置使得，解得，不合乎题意，A选项错误；对于B选项，若存在某个位置使得，该方程无解，B选项错误；对于C选项，设平面的一个法向量为，由，取，得，设平面的一个法向量为，由，取，则，若存在某个位置，使得平面平面，则，解得，合乎题意，C选项正确；对于D选项，设平面的一个法向量为，由，令，则，若存在某个位置，使得，即，整理得，该方程无解，D选项错误.故选：C.【点评】本题考查利用空间向量法求解空间角以及利用空间向量法处理动点问题，计算量大，属于难题.二、多选题9（多选题）在四面体中，以上说法正确的有（ ）A若
11、，则可知B若为的重心，则C若，则D若四面体各棱长都为2，分别为的中点，则 【答案】ABC【解析】作出四面体直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得.对于 ， ， ，即，故正确；对于，为的重心，则，,即，故正确；对于，若，则，,，故正确； 对于，故错误.故选：ABC【点睛】用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立10已知图1中，、是正方形各边的中点，分别沿
12、着、把、向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面垂直，再顺次连接，得到一个如图2所示的多面体，则（ ）A是正三角形B平面平面C直线与平面所成角的正切值为D当时，多面体的体积为【答案】AC【解析】取、的中点、，连接、，证明出平面，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，求出，可判断A选项的正误，利用空间向量法可判断BC选项的正误，利用几何体的体积公式可判断D选项的正误.取、的中点、，连接、，在图1中，、是正方形各边的中点，则，为的中点，平面平面，平面平面，平面，平面，在图1中，设正方形的边长为，可得四边形的边长为，在图1中，和均为等腰直角三角形，可得，四边形是边长为的正方形
13、，、分别为、的中点，则且，且，所以，四边形为矩形，所以，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，则、.对于A选项，由空间中两点间的距离公式可得，所以，是正三角形，A选项正确；对于B选项，设平面的法向量为，由，取，则，则，设平面的法向量为，由，取，可得，则，所以，平面与平面不垂直，B选项错误；对于C选项，设直线与平面所成角为，则，所以，C选项正确；对于D选项，以为底面，以为高将几何体补成长方体，则、分别为、的中点，因为，即，则，长方体的体积为，因此，多面体的体积为，D选项错误.故选：AC.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.11如图，在平行四边形中，沿对角线将折起到的位置，使得平面平面，下列说法正确的有（ ）A平面平面B三棱锥四个面都是直角三角形C与所成角的余弦值为D过的平面与交于，则面积的最小值为【答案】ABD【解析】先根据勾股定理判断，
