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1、几何五大模型 一、五大模型简介 （1）等积变换模型 1 、等底等高的两个三角形面积相等； 2 、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图所示， Ssub1/sub：Ssub2/sub=a:b； 3 、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图所示， Ssub1/sub：Ssub2/sub=a:b； 4 、在一组平行线之间的等积变形，如图所示， Ssub ACD/sub=Ssub BCD/sub ；反之，如果 Ssub ACD/sub=Ssub BCD/sub ， 则可知直线 AB平行于 CD 。 例、如图，三角形ABC的面积是 24，D、E、F 分别是 BC 、AC 、AD的中 点，求三角
2、形DEF的面积。 （2）鸟头（共角）定理模型 1 、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三 角形； 2 、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹 边的乘积之比。 如图下图三角形ABC中，D、E 分别是 AB 、AC上或 AB 、AC延长线 上的点 则有： Ssub ABC/sub ：Ssub ADE/sub= （AB AC ）： （AD AE ） 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！ 如图连接 BE ，根据等积变化模型知，Ssub ADE/sub ： Ssub ABE/sub =AD ：AB 、Ssub ABE/sub ： Ssub CBE/sub=AE： C
3、E ，所以 Ssub ABE/sub ： Ssub ABC/sub=Ssub ABE/sub ： （Ssub ABE/sub+Ssub CBE/sub ） =AE ：AC ， 因此 Ssub ADE/sub ：Ssub ABC/sub=（Ssub ADE/sub ： Ssub ABE/sub ）（ Ssub ABE/sub ：Ssub ABC/sub ） = （AD ：AB ）（ AE ：AC ）。 例、如图在 ABC中，D在 BA的延长线上， E在 AC上，且 AB ：AD=5:2， AE ：EC=3:2， ADE的面积为 12 平方厘米，求ABC的面积。 （3）蝴蝶模型 1 、梯形中比例关
4、系 (“梯形蝴蝶定理”) 例、如图，梯形ABCD ，AB与 CD平行，对角线AC 、BD交于点 O ，已知 AOB 、BOC的面积分别为25 平方厘米、 35 平方厘米，求梯形ABCD 的面积。 2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理” )： 例、如图，四边形ABCD 的对角线 AC 、BD交于点 O ，如果三角形ABD 的 面积等于三角形BCD面积的 1/3 ，且 AO=2 、DO=3 ，求 CO的长度是 DO 长度的几倍。 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途 径，通过构造模型， 一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内 的三角形相联系； 另一方面， 也可以得到与面积
5、对应的对角线的比例关 系。 （4）相似模型 1 、相似三角形：形状相同, 大小不相等的两个三角形相似； 2 、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线 和其他两边或两边延长线相 交，所构成的三角形与原三角形相似。 3 、相似三角形性质： 相似三角形的一切对应线段( 对应高、对应边）的比等于 相似比； 相似三角形周长的比等于相似比； 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类， 注意这两大 类中都含有 BC平行 DE这样的一对平行线！ 例、如图，已知在平行四边形ABCD 中，AB=16 、AD=10 、BE=4 ，那么 FC 的长度是多少？ （
6、5）燕尾模型 由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴，所以在数学上把这样的 几何图形叫做燕尾模型, 看一下它都有哪些性质： Ssub ABG/sub ：Ssub ACG/sub=Ssub BGE/sub ： Ssub CGE/sub=BE ：CE Ssub BGA/sub ：Ssub BGC/sub=Ssub GAF/sub ： Ssub GCF/sub=AF： CF Ssub AGC/sub：Ssub BGC/sub=Ssub AGD/sub： Ssub BGD/sub=AD： BD 例、如图， E、D分别在 AC 、BC上，且 AE：EC=2:3，BD ：DC=1:2，AD 与 BE交于点 F
7、，四边形 DFEC 的面积等于 22 平方厘米，求三角形ABC 的面积。 二、五大模型经典例题详解 （1）等积变换模型 例 1、图中的 E、F、G分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正 方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？ 例 2、如图所示， Q 、E、P、M分别为直角梯形ABCD 两边 AB 、CD上的点， 且 DQ 、CP 、ME彼此平行，已知AD=5 、BC=7 、AE=5 、EB=3 ，求阴影部分 三角形 PQM 的面积。 （2）鸟头（共角）定理模型 例 1、如图所示，平行四边形ABCD ，BE=AB 、CF=2CB 、GD=3DC、HA=4AD ， 平行四边形 ABC
8、D 的面积为 2，求平行四边形ABCD 与四边形 EFGH 的面 积比。 例 2、 如图所示，ABC的面积为 1， BC=5BD 、 AC=4EC 、 DG=GS=SE、 AF=FG ， 求FGS的面积。 （3）蝴蝶模型 例 1、如图，正六边形面积为1，那么阴影部分面积为多少？ 例 2、如图，长方形ABCD 被 CE 、DF分成四块，已知其中3 块的面积分 别为 2、5、8 平方厘米，求余下的四边形OFBC 的面积。 例 3、如图，已知正方形ABCD 的边长为 10 厘米， E为 AD的中点， F为 CE的中点， G为 BF的中点，求三角形BDG 的面积。 （4）相似模型 例 1、如图，正方形
9、的面积为1，E、F分别为 AB 、BD的中点，GC=1/3FC, 求阴影部分的面积。 例 2、如图，长方形ABCD ，E为 AD的中点， AF与 BD 、BE分别交于 G 和 H，OE垂直于 AD ，交 AD于 E点，交 AF于 O点，已知 AH=5,HF=3,求 AG的长。 （5）燕尾模型 例 1、如图，正方形ABCD 的面积是 120 平方厘米， E是 AB的中点， F 是 BC的中点，求四边形BGHF 的面积。 例 2、如图，在 ABC中， BD=2DA 、CE=2EB 、AF=2FC ，那么 ABC的面 积是阴影 GHI 面积的几倍？ 例 3、如图，在ABC中，点 D是 AC的中点，
10、点 E、F是 BC的三等分点， 若ABC的面积是 1，求四边形 CDMF 的面积。 三、巩固练习 1、如图，在角MON 的两边上分别有A、C、E、B、D、F六个点，并且 OAB 、ABC 、 2、如下图， ABCD 为平行四边形， EF平行 AC ，如果 ADE的面积为 4 平方厘米，求三角 3、如下图，在三角形ABC中，BD=2AD ，AG=2CG ，BE=EF=FC ，求四边形 DGFE 面积占三角 4、如图，四边形EFGH 的面积是 66 平方米， EA=AB 、CB=BF 、DC=CG、HD=DA ，求四边形 5、边长为 1 的正方形 ABCD 中， BE=2EC 、FC=DF ，求三角形 AGE 的面积。 6、如图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积为 11，三 7、如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，BC=120毫米，高 AD=80毫米。现在要把 AC上，这个正方形零件的边长是多少？ 8、如图，已知正方形ABCD 的面积为 120 平方厘米， E是 AB边的中点， F 是 BC边的中 9、如图，正方形ABCD 的边长是 12 厘米， E、F分别是 AB 、BC的中点， AF与 CE交于点 10、如图，在四边形ABCD 中，AB=3BE 、AD=3AF ，四边形 AEOF 的面积是 12，求平行四 四、巩固练习详解：
