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1、中考数学压轴题之二次函数专题09 二次函数背景下的动点问题探究 【方法综述】动点是常见的综合问题中的构成要件，通过点的运动命题者可以构造各种问题情景。动点的呈现方式从动点个数往往有单动点或双动点，从运动呈现方式分为无速度动点和有速度动点，从动点的引起的变化分为单个动点变化和以动点驱动的图形运动。【典例示范】类型一 常规单动点问题例1：（广东省深圳市）已知二次函数y=ax2+bx+3的图象分别与x轴交于点A（3，0），C（-1，0），与y轴交于点B点D为二次函数图象的顶点（1）如图所示，求此二次函数的关系式：（2）如图所示，在x轴上取一动点P（m，0），且1m3，过点P作x轴的垂线分别交二次函数
2、图象、线段AD，AB于点Q、F，E，求证：EF=EP；（3）在图中，若R为y轴上的一个动点，连接AR，则1010BR+AR的最小值_（直接写出结果）【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）见解析；（3）6105【解析】解：（1）将A（3，0），C（-1，0）代入y=ax2+bx+3，得：9a+3b+3=0a-b+3=0 ，解得：a=-1b=2 ，此二次函数的关系式为y=-x2+2x+3（2）证明：y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，点D的坐标为（1，4）设线段AB所在直线的函数关系式为y=kx+c（k0），将A（3，0），C（0，3）代入y=kx+c，得：3k+c=0c=3，解得：k=
3、-1c=3，线段AB所在直线的函数关系式为y=-x+3同理，可得出：线段AD所在直线的函数关系式为y=-2x+6点P的坐标为（m，0），点E的坐标为（m，-m+3），点F的坐标为（m，-2m+6），EP=-m+3，EF=-m+3，EF=EP（3）如图，连接BC，过点R作RQBC，垂足为QOC=1，OB=3，BC=10(勾股定理)CBO=CBO，BOC=BQR=90，BQRAOB，BRBC=QROC ,即BR10=QR1,RQ=1010BR，AR+1010BR=AR+RQ，当A，R，Q共线且垂直AB时，即AR+1010BR=AQ时，其值最小ACQ=BCO，BOC=AQC，CQACOB，AQBO=
4、ACBC,即AQ3=410AQ=6105，1010BR+CR的最小值为6105故答案为：6105例2：（2019年广西）如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴与抛物线相交于点M，与x轴相交于点N，点P是线段MN上的一个动点，连接CP，过点P作PECP交x轴于点E（1）求抛物线的顶点M的坐标；（2）当点E与原点O的重合时，求点P的坐标；（3）求动点E到抛物线对称轴的最大距离是多少？【答案】（1）（1，-4）（2）当点E与原点O的重合时，点P的坐标为（1，-3-52）或（1，5-32）（3）点E到抛物线对称轴的最大距离是4【解析】解：（1）y=x2-2x-3=
5、（x-1）2-4，抛物线的顶点M的坐标为（1，-4）（2）当x=0时，y=x2-2x-3=-3，点C的坐标为（0，-3）过点C作CF直线MN，垂足为点F，如图1所示PON+OPN=90，OPN+CPF=180-CPO=90，PON=CPF又PNO=CFP=90，PONCPF，CFPN=PFON，即1PN=3-PN1，PN=352，当点E与原点O的重合时，点P的坐标为（1，-3-52）或（1，5-32）（3）过点C作CF直线MN，垂足为点F，设PN=m，分三种情况考虑，如图2所示当0m3时，由（2）可知：PENCPF，ENPF=PNCF，即EN3-m=m，EN=-m2+3m=-（m-32）2+9
6、4-10，当m=32时，EN取得最大值，最大值为94；当m=0或3时，点E和点N重合，此时EN=0；当3m4时，PCF+CPF=90，CPF+EPN=90，PCF=EPN又CFP=PNE=90，PCFEPN，ENPF=PNCF，即ENm-3=m1，EN=m2-3m10，当3m4时，EN的值随m值的增大而增大，当m=4时，EN取得最大值，最大值为4综上所述：点E到抛物线对称轴的最大距离是4针对训练1（山东省济南市历下区）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-12x2+bx+c，经过点A(1,3)、B(0,1)，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C (1)求抛物线的表达式及其顶点坐标； (2)如
7、图，点M是第一象限中BC上方抛物线上的一个动点，过点作MHBC于点H，作MEx轴于点E，交BC于点F，在点M运动的过程中，MFH的周长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)如图，连接AB，在y轴上取一点P，使ABP和ABC相似，请求出符合要求的点P坐标【答案】（1）抛物线的解析式为y=-12x2+52x+1，顶点坐标为(52,338)；（2）最大值为655+2；（3）满足条件的P点有(0,52)，(0,133)【解析】（1）将A(1,3)，B(0,1)，代入y=-12x2+bx+c，解得b=52，c=1抛物线的解析式为y=-12x2+52x+1 顶点坐标为(52
8、,338) （2）由B(0,1)，C(4,3)得直线BC解析式为：y=12x+1 设M(m,-12m2+52m+1)，则得F(0,12m+1)则MF=-12m2+52m+1-(12m+1)=-12m2+2m -120 MF有最大值，当m=2时，MF最大值为2 将直线AC与y轴交点记作D，易得BD:CD:BC=1:2:5因为ME/y轴，MFH=DBC又CDB=MHP=900，MHFCDBFH:MH:MF=1:2:5CMHF=(355+1)MF 所以CMHF的最大值为655+2 （3） ADBD=BDCD=12，CDB为公共角，ABDBCD ABD=BCD 1当PAB=ABC时，PBAC=ABBC
9、， BC=(0-4)2+(1-3)2=25， AB=(0-1)2+(1-3)2=5，AC=3 PB=32， P1(0,52) 2当PAB=BAC时，PBBC=ABAC， PB25=53， PB=103， P2(0,133) 综上所述满足条件的P点有(0,52)，(0,133)2（四川省简阳市2019届九年级）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x-ax-4a0与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点.（1）若D点坐标为32,254，求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）若点M为抛物线对称轴上一点，且点M的纵坐标为a，点N为抛物线在x轴上方一点，若以C
10、、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，求a的值；（3）直线y=2x+b与（1）中的抛物线交于点D、E（如图2），将（1）中的抛物线沿着该直线方向进行平移，平移后抛物线的顶点为D，与直线的另一个交点为E，与x轴的交点为B，在平移的过程中，求DE的长度；当EDB=90时，求点B的坐标.【答案】（1）y=-x2+3x+4;C0,4;（2）a=-2213； a1=-2-213，a2=6-2213;（3）B-1,0【解析】（1）依题意得：254=-32-a32-4解得a=-1，抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-4）或y=-x2+3x+4C0,4（2）由题意可知Aa,0、B4,0、C0,-4a对
11、称轴为直线x=a+42，则Ma+42,aMN/BC，且MN=BC，根据点的平移特征可知Na-42,-3a则-3a=-a-42-aa-42-4，解得：a=-2213（舍去正值）；当BC为对角线时，设Nx,y，根据平行四边形的对角线互相平分可得a+42+x=4a+y=-4a，解得x=4-a2y=-5a，则-5a=-4-a2-a4-a2-4解得：a=62213a1=-2-213，a2=6-2213（3）联立y=2x+134y=-x2+3x+4解得：x1=32y1=254(舍去)，x2=-12y2=94则DE=25，根据抛物线的平移规律，则平移后的线段DE始终等于25设平移后的Dm,2m+134，则E
12、m-2,2m-34平移后的抛物线解析式为：y=-x-m2+2m+134则DB：y=-12x+n过m,2m+134，y=-12x+52m+134，则B5m+132,0抛物线y=-x-m2+2m+134过B5m+132,0解得m1=-32，m2=-138B1-1,0，B2-138,0（与D重合，舍去）B-1,03（浙江省金衢十二校2019届九年级3月联考数学）如图1，抛物线y1=-43x2-43tx-t+2与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，过y轴上的点C(0，4)，直线y2=kx+3交x轴，y轴于点M、N，且ON=OC.(1)求出t与k的值.(2)抛物线的对称轴交x轴于点D，在x轴上方的对称
13、轴上找一点E，使BDE与AOC相似，求出DE的长.(3)如图2，过抛物线上动点G作GHx轴于点H，交直线y2=kx+3于点Q，若点Q是点Q关于直线MG的对称点，是否存在点G(不与点C重合)，使点Q落在y轴上？，若存在，请直接写出点G的横坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)t=-2，k=34；(2)12或8；(3)1-134；1+134；19+55316；19-55316.【解析】解：（1）将点C(0，4)代入抛物线y1=-43x2-43tx-t+2，得-t+2=4，t=-2，抛物线y1=-43x2+83x+4，ON=OC，N（-4，0），将N（-4，0）代入直线y2=kx+3，得-4k+3=0，k=34，直线y2=34x+3，t=-2，k=34.（2）如图1，链接BE，在y
